李廣柱 陳威兵 李 瑋 張剛林 蘇 鋼
(長沙學院 長沙 410022)
近距離跟蹤雷達,目標回波具有角閃爍特性,如果處理不當,會增加雷達跟蹤目標的誤差,甚至會丟失目標。目標角閃爍噪聲的分布是非高斯的,具有較長的拖尾[1-5]。在實際應用時,常采用高斯分布和較小概率出現(xiàn)的大方差拉普拉斯分布噪聲混合進行建模,該分布模型是研究跟蹤濾波算法的重要基礎[6-7]。
本文專門研究角閃爍噪聲的分布參數(shù)估計,基于混合分布模型,采用EM算法估計分布參數(shù),給出了分布參數(shù)估計的理論推導,列出了參數(shù)估計的計算流程,并進行了仿真驗證。理論推導和仿真結果表明,采用EM算法可以估計得到混合分布模型的參數(shù)。
角閃爍噪聲,一般認為服從混合分布模型為
f(x;σ,η,ε)=(1-ε)fg(x)+εfl(x)
(1)
式(1)中fg(x)、fl(x)分別表示高斯分布和拉普拉斯分布的概率分布函數(shù),ε?1是觀測噪聲服從拉普拉斯分布的概率。其中
(2)
(3)
式(2)、式(3)中σ、η分別為高斯分布、拉普拉斯分布的參數(shù)。
假設有采樣序列x=[x0,x1,…,xN-1]T,服從上述混合分布模型,可知序列x的概率分布為
(4)
式(4)中的α為服從[0,1]分布的隨機數(shù),且α=1的概率為ε。可知似然比函數(shù)為
L(θ)=lnf(x|σ,η,ε)
(5)
似然比函數(shù)的數(shù)學期望為
(6)
式(6)中的Θ為待估計參數(shù)的集合,Θ(k)表示第k次迭代時的參數(shù)值;p(xn|g;θ)、p(xn|l;θ)分別表示在參數(shù)θ=[σ,η,ε]T的條件下,xn分別服從高斯分布和拉普拉斯分布的概率;Pg、Pl分別表示樣本服從高斯分布和拉普拉斯分布的概率;P(g|xn)和P(l|xn)表示當采樣值為xn的時候,分別服從高斯分布和拉普拉斯分布的概率。將式(1)帶入式(6)可得混合模型條件下Q(Θ;Θ(k))的表達式??芍植紖?shù)θ=[σ,η,ε]T的似然估計在Q(Θ;Θ(k))的極值處取到。求Q(Θ;Θ(k))對θ=[σ,η,ε]T的導數(shù)可得
(7)
令式(7)等于0,可得θ=[σ,η,ε]T的似然估計為
(8)
為了完成迭代的運算,還需引入P(g|xn)和P(l|xn)的更新
(9)
利用式(8)和式(9),可以通過迭代的方式得到θ=[σ,η,ε]T的估計,下面介紹具體的實現(xiàn)算法。
基于式(8)和式(9),可得到采用EM算法估計閃爍噪聲的分布參數(shù)的計算流程如下:
1)Step1,設定k=1時,分布參數(shù)的初始值θ(1)=[σ(1),η(1),ε(1)]T,可容忍的迭代次數(shù)K和可接受的迭代誤差δ;
2)Step2,對于第k+1次迭代,計算:
(10)
3)Step3,按式(9)計算P(g|xn)(k+1)和P(l|xn)(k+1);
4)Step4,按式(8)計算θ(k+1)=[σ(k+1),η(k+1),ε(k+1)]T;
在實際應用的時候,可以采集近距離跟蹤雷達在跟蹤目標過程中的觀測噪聲,采用EM算法對角閃爍噪聲的分布參數(shù)進行估計。本文采用仿真的方法驗證EM算法的有效性,改變仿真時采用的角閃爍噪聲的分布參數(shù),通過對比仿真用到的分布參數(shù)和EM算法的估計結果,可以驗證算法的有效性。
選取參數(shù)σ2=1、η=3、ε=0.05,仿真得到長度為4096點的角閃爍噪聲序列。設置分布參數(shù)的初始值為:σ2(1)=0.5、η(1)=1、ε(1)=0.1,可容忍的迭代次數(shù)K=500;可接受的迭代誤差δ=10-7。采用EM迭代算法進行估計,得到的估計結果如圖 1所示。圖 1給出的是相對誤差,故縱坐標的單位是%。
圖1 EM算法估計噪聲分布參數(shù)的相對誤差
由圖 1可見,迭代40次左右即可達到較好的效果。為了驗證EM算法估計的可重復性,本文模擬了500組相同分布參數(shù)的角閃爍噪聲序列,利用EM算法估計得到分布參數(shù):σ2、η、ε的頻數(shù)分布直方圖,如圖 2到圖 4所示。
圖2 參數(shù)σ2估計值的頻數(shù)分布直方圖
圖3 參數(shù)η估計值的頻數(shù)分布直方圖
圖4 參數(shù)ε估計值的頻數(shù)分布直方圖
通過圖2到圖4可以發(fā)現(xiàn),η,特別是ε的估計值有較長的拖尾,為此對σ2、η和ε的估計值進行Jarque-Bera分布檢驗,結果如表 1所示。
表1 估計值的Jarque-Bera檢驗
表1采用的置信度為0.05,表中h表示是否接受樣本服從高斯分布:h=0,表示樣本服從高斯分布;h=1,表示樣本不服從高斯分布,由表 1可以看出,σ2的估計值服從高斯分布,η和ε不服從高斯分布。表中p為Jarque-Bera檢驗統(tǒng)計量,p小于置信度,說明估計值不服從高斯分布,由表 1可見,η、ε的Jarque-Bera檢驗統(tǒng)計量皆小于置信度,其中ε的Jarque-Bera檢驗統(tǒng)計量很小,這與圖 4是吻合的。
表2給出σ2、η和ε估計值的前兩階矩的計算結果。
表2 500次估計值的均值和標準差
通過表 2可以發(fā)現(xiàn),采用EM算法估計混合分布模型的參數(shù)σ2和ε的效果較好,參數(shù)η的估計標準差略大,這是由于ε較小,模擬得到的角閃爍噪聲序列中服從拉普拉斯分布的噪聲點少,樣本數(shù)較少造成的。因此,可以通過提高總的觀測樣本來提高參數(shù)η的估計精度。
角閃爍噪聲是影響近距離跟蹤雷達性能的重要因素,掌握它的概率分布是改善目標跟蹤性能的重要依據(jù)。本文提出采用EM算法估計角閃爍噪聲的分布參數(shù),推導了理論模型,列出了計算流程,并進行了仿真。通過仿真發(fā)現(xiàn),EM算法能夠估計得到角閃爍噪聲的分布參數(shù),其中σ2的估計值服從高斯分布,η和ε不服從高斯分布;計算結果表明,σ2、η和ε估計值的均值與真值偏差小,綜合分析可以認為算法效果良好。下一步可以通過半實物仿真和實物仿真,估計得到角閃爍噪聲的分布參數(shù)。