泰勒公式在高等數(shù)學課程教學中的案例設(shè)計*

張艷碩 常萬里 李萬玉 冷 南

1. 北京電子科技學院，北京市 100070；

2. 北京電子科技學院，北京市 100070

引言

泰勒公式是把函數(shù)用多項式近似表示的重要依據(jù)，是高等數(shù)學課程中的重要內(nèi)容，探討泰勒公式在函數(shù)的極限求解、導數(shù)應(yīng)用、近似計算和級數(shù)的斂散性判斷等方面應(yīng)用在高等數(shù)學課程學習中具有重要意義。

泰勒公式，于1715 年布魯克·泰勒發(fā)表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[1]一文中首次提出，約瑟夫·拉格朗日將其稱之為“導數(shù)計算的基礎(chǔ)”，并由此開創(chuàng)了有限差分理論。 泰勒公式廣泛應(yīng)用于數(shù)學、物理及其他領(lǐng)域，是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。 在高等教育出版社的《高等數(shù)學》第三章[2]中重點講解了泰勒公式及其相關(guān)內(nèi)容。

在高等數(shù)學中，解決數(shù)學問題常常需要進行有限和無限的相互變換，這是泰勒公式存在的重要意義，通過認識這種函數(shù)展開與向量空間的聯(lián)系可以更深的理解函數(shù)的微分學，成為解決數(shù)學問題強有力的工具。

本文旨在探討泰勒公式在高等數(shù)學課程教學中的典型設(shè)計與應(yīng)用實踐。 文章將首先從泰勒公式在實際教育教學中的前置工作進行總體概括，其次從極限、導數(shù)和積分學方面以經(jīng)典案例對泰勒公式進行典型教學設(shè)計，在總結(jié)歸納知識基礎(chǔ)的同時建立知識體系。 在實際教學過程中注重邏輯推理及知識遷移能力，明晰證明思路、加強思辨能力、精準挑選例題并體現(xiàn)知識應(yīng)用，為學生在今后高等數(shù)學課程學習做好鋪墊、開拓思路并打下堅實基礎(chǔ)。

1 泰勒公式及其擴展形式

泰勒公式[3]，也稱泰勒展開式，是用一個函數(shù)在某點的信息，描述其附近取值的公式。 如果函數(shù)足夠平滑，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況下，泰勒公式可以利用這些導數(shù)值用以做系數(shù)，構(gòu)建一個多項式近似函數(shù)，求得在這一點的鄰域中的值。 多項式函數(shù)是一種簡單而又基本的函數(shù)，具有形式簡單的表達式和很好的分析性質(zhì)。 泰勒公式是把函數(shù)用多項式近似表示的重要依據(jù)，利用該公式可以把對復雜函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為一個多項式來處理。

麥克勞林(Maclaurin)公式是泰勒公式(在x0＝0，記ξ ＝θx(0 ＜θ ＜1) 時)的一種特殊表現(xiàn)形式，通過對泰勒中值定理的研究，其擴展形式，帶有佩亞諾余項及帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式在高等函數(shù)極限與不等式研究當中有著極為廣泛的應(yīng)用。

2 泰勒公式教學前置

前置性教學是生本教育理念的重要表現(xiàn)形式，可以有效銜接前置性學習與課堂教學。 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”[4]的精髓，泰勒公式的使用可以簡化數(shù)學運算，并且可以滿足高精度的計算。 多數(shù)學生在初識高數(shù)課程時，其認知能力和邏輯思維大多都停留在高中階段，腦海中沒有明晰的連續(xù)和逼近等概念。 泰勒公式利用多項式來逼近函數(shù)，具有形式簡單、易于理解和易于計算等優(yōu)點。 通過對泰勒公式以及其擴展形式的進一步學習，為學生在高等數(shù)學在極限、微分和積分等方面的學習打下了堅實基礎(chǔ)，極大提升了學生在高數(shù)課程學習中的理解能力。我們將從無理數(shù)逼近計算、復變函數(shù)及其他方面進行深入闡述。

2.1 無理數(shù)的逼近計算

此題利用3 階泰勒公式求解的一般步驟為:

由此可見，我們可以利用泰勒公式可以實現(xiàn)無理數(shù)的逼近計算并可以利用余項估計其誤差。

2.2 泰勒公式在復變函數(shù)中的典型應(yīng)用

歐拉公式[6]是將復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相聯(lián)系的一個公式，eix＝cosx ＋isinx，e 為自然對數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位。 歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)范圍，并建立三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在數(shù)學分析、復變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更是被譽為“數(shù)學中的天橋”。下面我們應(yīng)用不帶有余項的麥克勞林公式去驗證歐拉公式。

驗證歐拉公式:eix＝cosx ＋isinx

將上面的b 換成x，便得到了歐拉公式。 由歐拉公式，對任意一個復數(shù)z ＝ib，有

ea＋ib＝eaeib＝ea(cosb ＋isinb)

即復數(shù)z 的指數(shù)函數(shù)依然是一個復數(shù)，這個復數(shù)的模r ＝ea， 幅角θ ＝b。 若b ＝0， 則ez＝ea(cos0 ＋isin0) ＝ea，與實變函數(shù)f ( x) ＝ex在x＝a 時的函數(shù)值相同。

由此可見，我們可以利用泰勒公式實現(xiàn)在數(shù)學分析、復變函數(shù)論中的相關(guān)應(yīng)用。

3 教學設(shè)計

泰勒公式[7]比較抽象，難以理解，學生一般很難吃透泰勒公式的實質(zhì)，更難以實現(xiàn)對公式的靈活運用。 因此，泰勒公式一直是高等數(shù)學教學過程中的一個難點問題。 為使學生能夠更好的理解泰勒公式思想，我們分別對極限問題、導數(shù)問題以及積分學問題進行典型案例教學設(shè)計。

3.1 基于泰勒公式的極限問題案例教學

極限是高等數(shù)學中的重要基礎(chǔ)概念，連續(xù)、微分和積分等基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上。 等價無窮小代換和洛必達法是學生們常選用的兩個方法，但兩種方法都具有一定的局限性。 等價無窮小代換只能用于乘、除因子，在用作加、減項的無窮小量時，則不能隨意用其等價無窮小進行替換。 應(yīng)用洛必達法則會造成有些函數(shù)求導十分繁瑣，多次應(yīng)用洛必達法則會使計算量增大。 此時，一般可以利用泰勒公式解決極限問題。

(1)關(guān)于極限證明的典型設(shè)計

泰勒公式在極限證明題的應(yīng)用，常常會有化繁為簡，化難為易的效果，下面我們以一道經(jīng)典極限證明問題為例，討論泰勒公式在極限證明中的具體應(yīng)用。

學生有時并不清楚利用等價無窮小sinx ～x，tanx ～x 解題時會造成分子、分母不同階，進而得出原式為0 的答案。 利用泰勒展開式可以巧妙地解決這一困惑，由帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式

通過應(yīng)用泰勒公式，能夠加深學生對于等價無窮小在實際做題中的理解與應(yīng)用，在解決極限計算問題中進一步深刻體會高等數(shù)學中的“逼近”思想。

(2)關(guān)于極限計算的典型設(shè)計

通過泰勒展開式的運用，我們可以清晰地看出，若步驟一或步驟二中使用等價無窮小x ～sinx 會因分子所忽略的余項影響計算結(jié)果，進而造成計算錯誤。 泰勒公式通過構(gòu)建一個多項式近似函數(shù)，使得計算簡化。

(3)利用泰勒公式求極限問題的注意事項

b)極限形式為f ( x) - g ( x) 時，將f ( x) ，g ( x) 分別展開到能令他們的系數(shù)不相等的最低次冪。

3.2 基于泰勒公式的導數(shù)問題案例教學

泰勒公式[8]在微分學中的應(yīng)用極為廣泛，在解決計算、證明問題時既十分方便又有規(guī)律可循。 一般地，對于題設(shè)條件中含有或蘊含有“函數(shù)具有二階或二階以上導數(shù)”的題型，都可考慮應(yīng)用泰勒公式。

(1)關(guān)于導數(shù)計算的典型設(shè)計

在解決導數(shù)計算一類問題時，特別是在函數(shù)有多階導函數(shù)時可以利用泰勒公式來進行證明。下面我們以一道典型導數(shù)計算問題為例，集中展示泰勒公式在導數(shù)計算中的具體應(yīng)用。 設(shè)f(x)在[0，1] 上具有二階連續(xù)的導數(shù)，f(0)＝f(1)＝0 且當x ∈(0，1) 時， ｜ f″(x) ｜≤2， 試證: ｜f′(x) ｜≤1。

證明:因為f(x) 在[0，1] 上具有二階連續(xù)的導數(shù)，因此，f(x) 的一階泰勒展開式存在

其中， θ1介于0 與x 之間， θ2介于x 與1之間。

通過上述證明可以看出，關(guān)于導數(shù)計算的泰勒公式在不等式的證明過程中起到了非常關(guān)鍵的作用。

(2)關(guān)于導數(shù)綜合題的典型設(shè)計

在導數(shù)的綜合應(yīng)用方面熟練應(yīng)用泰勒公式及其擴展形式麥克勞林公式、拉格朗日中值定理，有著極大的實用性和便捷性。 下面我們以一道根的唯一存在性的典型例題進行說明。 設(shè)f(x) 在[a， ＋∞) 上二階可導，且f(a) ＞ 0，f′(a) ＜0，對x ∈(a， ＋∞)，f″≤0，運用泰勒公式證明: f(x) ＝0 在(a， ＋∞) 內(nèi)存在唯一實根。

因為f″(x) ≤0， 所以f′(x) 單調(diào)減少，又f′(a) ＜0，因此x ＞a 時，f′(x) ＜f′(a) ＜0，故f(x) 在(a， ＋∞) 上嚴格單調(diào)減少。 在a 點展開一階泰勒公式有

由簡到繁，由特殊到一般，是理解泰勒公式這類抽象理論知識的極好方式。 本題通過巧妙的應(yīng)用泰勒公式，極大地提升了解題速度和準確性。

(3)利用泰勒公式求導數(shù)問題的注意事項

3.3 基于泰勒公式的積分學問題案例教學

泰勒公式在積分學中有著廣泛應(yīng)用，在解決精確計算、不等式證明和積分斂散性判斷等問題時能夠做到化繁為簡，化陌生為熟悉，化復雜為簡單的作用。

(1)關(guān)于不定積分的典型設(shè)計

設(shè)f ( x) ＝x3＋x2＋x ＋1，將函數(shù)f ( x) 在x ＝1 點展開，有

從解題過程不難看出，利用泰勒公式免去了因為利用待定系數(shù)所帶來的繁雜運算，減少了錯誤發(fā)生的可能，進而簡化運算。

(2)關(guān)于定積分精確計算的典型設(shè)計

(3)關(guān)于廣義積分有限區(qū)間斂散性判斷的典型設(shè)計。

(4)關(guān)于廣義積分無限區(qū)間斂散性判斷的典型設(shè)計

在對某些正項級數(shù)的斂散性的判定時，我們可以利用比較判別法，也可以利用比值判別法的極限形式，但是有些時候，泰勒公式是一個很好的橋梁，以實現(xiàn)級數(shù)的斂散性判定。

(5)利用泰勒公式求積分學問題的注意事項。

a)在解決有關(guān)泰勒公式的積分學問題時，應(yīng)注意區(qū)分不定積分，定積分的實際應(yīng)用；

b)在解決有關(guān)廣義積分的斂散性判斷問題時，應(yīng)注意區(qū)分積分有限區(qū)間，無限區(qū)間的差異；

c)在解決某些具體題目時，泰勒公式不一定是最簡便的做法。 應(yīng)做到具體問題具體分析，靈活運用泰勒公式。

4 泰勒公式的廣泛應(yīng)用

泰勒公式是解決高等數(shù)學中許多問題的重要工具，眾多復雜的數(shù)學問題，利用泰勒公式可以得到更加簡便快捷的解決。 由于某些數(shù)值計算和理論分析的需要，對于一些稍微復雜的函數(shù)，我們經(jīng)常需要用一些合適的多項式，即相對簡單的函數(shù)來對原函數(shù)進行近似表示，泰勒公式[11]便是其中精確度比較高的一種。

泰勒公式在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢[12]，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確要求，其在微分學相關(guān)計算與證明實例中的應(yīng)用方法，借助泰勒公式解決問題更高效便捷。 帶有佩亞諾余項抑或是帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式可應(yīng)用于高階不等式[13]的證明。 利用常見函數(shù)的泰勒公式，可以大大簡化函數(shù)形式，求解時方便快捷。 還可以利用泰勒公式求極限問題，導數(shù)問題，利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，方程根的存在性證明，級數(shù)的斂散性判斷和方程的近似求解等等。 對于某些求不定積分的題型，若采取泰勒公式，將極大簡化解題過程。

同時， 泰勒公式[14]在其它學科中也有著廣泛而深遠的應(yīng)用.例如，在經(jīng)濟學風險評估、金融學中期望效用函數(shù)和均值-方差分析的關(guān)系、時間序列分析中的平穩(wěn)化過程和彈性力學等方面都需要借助泰勒公式才能獲得重要成果。

5 總結(jié)

在高等數(shù)學中，解決數(shù)學問題常常需要進行有限和無限的相互變換，這是泰勒公式存在的重要意義，通過認識這種函數(shù)展開與向量空間的聯(lián)系可以更深的理解函數(shù)的微分學，成為解決數(shù)學問題強有力的工具。 我們深入探討泰勒公式在分析和研究數(shù)學問題等方面的應(yīng)用，在對于解決一些復雜的數(shù)學問題時，常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?在具體應(yīng)用泰勒公式時，要具體問題具體分析，靈活應(yīng)用泰勒公式。 在實際教育教學中，通過實例探討泰勒公式在微積分學中的相關(guān)證明及計算中的諸多應(yīng)用，令學生們體會到應(yīng)用泰勒公式解決問題的便捷性與實用性。