與給定多邊形相切的C2 連續(xù)三角B 樣條可調(diào)曲線及其在造型中的應(yīng)用*

王成偉 張卷美

1. 北京服裝學(xué)院，北京市 100029；

2. 北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

與給定多邊形相切的分段光滑曲線有著廣泛地應(yīng)用背景[1-2]，有很多學(xué)者對給定多邊形相切的樣條曲線進(jìn)行了深入的研究[3-9]。 陳素根等[10]在三角函數(shù)空間{1，sint，cost，sin2t，cos2t}中構(gòu)造出一類三角B 樣條基函數(shù)，基函數(shù)中含有一個(gè)形狀參數(shù)，并由此定義了帶有形狀參數(shù)的三角B 樣條曲線。 由于此三角B 樣條曲線不與控制多邊形相切，本文的目的重新構(gòu)造三角B樣條曲線的控制頂點(diǎn)，使其與給定的多邊形相切且具有保形性。 具體做法如下:在原來的兩個(gè)控制頂點(diǎn)之間增加一個(gè)新的控制點(diǎn)，切點(diǎn)的位置根據(jù)需要可以調(diào)整，還可以通過調(diào)整三角B 樣條曲線中的形狀參數(shù)，來調(diào)整曲線離多邊形的遠(yuǎn)近，曲線可以是閉的也可以是開的，這使曲線設(shè)計(jì)的靈活性大大加強(qiáng)。 算法實(shí)例表明，該算法不但計(jì)算簡單，而且是實(shí)用有效的。

1 三角B 樣條可調(diào)曲線的構(gòu)造

設(shè)bj(j ＝0，1，…，m) 是m ＋1(m ＞3) 個(gè)控制點(diǎn)，由此形成m - 2 個(gè)曲線段連成的一條三角B 樣條曲線，而第i(1 ≤i ≤m - 2) 個(gè)曲線段定義為

其中帶形狀參數(shù)α 的三角B 樣條基函數(shù)為:

這里α 為形狀參數(shù)，0 ≤α ≤1。

從三角B 樣條曲線的定義(1)式和(2)式中，我們可以得到如下性質(zhì):

(1)權(quán)性:X0(t) ＋X1(t) ＋X2(t) ＋X3(t)≡1。

(2)非負(fù)性:當(dāng)0 ≤α ≤1 時(shí)，對于t ∈[0，1] 有Xi(t) ≥0，i ＝0，1，2，3。

(3)對稱性:Xi(t)＝X3-i(1 - t)，i ＝0，1，2，3。

(4)保凸性:由性質(zhì)(1)和(2)可知，當(dāng)0 ≤α ≤1，0 ≤t ≤1 時(shí)，由控制頂點(diǎn)bi-1，bi，bi＋1，bi＋2來定義的三角B 樣條曲線段Pi(t) 是包含在其控制多邊形之內(nèi)。

(5)曲線的端點(diǎn)性質(zhì):

當(dāng)α 增大，曲線離控制多邊形就越近；當(dāng)α減小，曲線離控制多邊形就越遠(yuǎn)。 如圖1 所示，三角B 樣條曲線段Pi(t) 從下到上，α 分別取0，0.5，1。

1.1 C2 連續(xù)的三角B 樣條閉曲線

定義 給定的一多邊形 ＜V0，V1，…，Vn＞，若矢量Vi-2Vi-1×Vi-1Vi與矢量Vi-1Vi×ViVi＋1方向相反，則頂點(diǎn)Vi稱為該多邊形的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

若多邊形的任一個(gè)頂點(diǎn)都不是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，則稱多邊形是凸的；否則稱多邊形是非凸的。

若多邊形是凸的，則由它產(chǎn)生的曲線也是凸的；若多邊形是非凸的，Vi是多邊形的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，則由多邊形產(chǎn)生的曲線在多邊形的Vi-1Vi邊上產(chǎn)生一個(gè)拐點(diǎn)。 這時(shí)就稱曲線對多邊形是保形的。

定理1 設(shè)＜V0，V1，…，Vn，V0＞是閉的多邊形，定義三角B 樣條曲線的控制點(diǎn)如下:

式中λi(0 ≤λi≤1)。

由控制點(diǎn)b2，b3，…，b2n＋5，b2n＋6形成的三角B 樣條曲線為

它是與給定多邊形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每邊相切的C2連續(xù)的閉曲線且曲線對該多邊形具有保形性。

事實(shí)上

令

有

特別當(dāng)λl＝1/2 時(shí)，有ωl＝1/2 代入(6)式得

即切點(diǎn)落在第l 條邊的Pi(t) 中點(diǎn)上。

同理可證Pi(t)(i ＝1，3，5，…，2n ＋3) 的終點(diǎn)落在給定多邊形的第l ＝(i ＋1)/2 條邊＜V0，V1，…，Vn，V0＞上，且與該邊相切。

由(3)式及(4)式可知，曲線段P2n＋3(t)與P0(t)是＜V0，V1，…，Vn，V0＞連續(xù)的，故整條三角B 樣條曲線(5)式是與給定的多邊形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每邊相切的＜V0，V1，…，Vn，V0＞連續(xù)的閉曲線。

根據(jù)三角B 樣條曲線段的保凸性，三角B樣條曲線(5)式的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)與它的多邊形＜V0，V1，…，Vn，V0＞的轉(zhuǎn)折點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，且拐點(diǎn)必落在切點(diǎn)上。 這說明了曲線(5)式對該多邊形具有保形性。

綜上可知，三角B 樣條曲線(5)式是與給定的多邊形每邊相切的＜V0，V1，…，Vn＞連續(xù)的閉曲線，并且曲線對該多邊形具有保形性。

1.2 C2 連續(xù)的三角B 樣條開曲線

仿照定理1 的證明，對于三角B 樣條開曲線，有如下定理:

定理2 設(shè)＜V0，V1，…，Vn＞是開的多邊形，定義三角B 樣條曲線的控制點(diǎn)

式中λi(0 ≤λi≤1)。

由控制點(diǎn)b2，b3，…，b2n，b2n＋1形成的三角B樣條曲線

它是與給定多邊形＜V0，V1，…，Vn＞每邊相切的V0＝(10，20) 連續(xù)的開曲線且曲線對該多邊形具有保形性。

2 應(yīng)用舉例

下面舉例說明用本文的方法構(gòu)造的三角B樣條閉曲線。

例1. 給定平面上一非凸的六邊形，其頂點(diǎn)分別為V0＝(10，20)，V1＝(20，50)，V2＝(50，60)，V3＝(35，40)，V4＝(60，20)，V5＝(30，10)。 用本文的算法，對參數(shù)(λi，α) 分別取(0.3，1)、(0.4，0.7) 和(0.5，0.5) 繪制了與六邊形每邊相切三角B 樣條閉曲線的三個(gè)圖形(如圖2 所示)。 由圖2 可知，λi的取值不同，但α 取值越大曲線與給定的多邊形逼近程度越高。

例2. 在服裝紙樣曲線造型中，根據(jù)尺寸大小確定控制多邊形，使用本文的與給定多邊形斜切的三角B 樣條曲線方法，通過對參數(shù)(λi，α)進(jìn)行調(diào)整，能滿足設(shè)計(jì)的要求。 圖3 為控制參數(shù)(λi，α) 分別取(0.4，0.5) 和(0.4，0.9) 的兩幅袖山弧線的設(shè)計(jì)圖。 從圖3 可以看出，固定λi的值不變，α 越大曲線越靠近給定的多邊形。

圖示4 是衣身基本紙樣兩幅設(shè)計(jì)圖， λi分別取0，0.99， 0.3， 0，1；形狀參數(shù)α 分別取0.6和0.9。 從圖4 可以看出，每段λi的取值相同，α 取值越大，曲線與多邊形逼近程度越好，曲線越光順。

3 結(jié)束語

本文構(gòu)造的三角B 樣條曲線，不僅與給定多邊形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每邊相切，而且對給定的多邊形具有保形性，避免了曲線產(chǎn)生多余的拐點(diǎn)。

曲線是C2連續(xù)的；由(6)式可知，改變λi或α 的值，可以改變曲線與給定多邊形的相切的位置；固定λi的值不變，調(diào)整形狀參數(shù)α，α 越大曲線越靠近給定的多邊形；反之，曲線就遠(yuǎn)離給定的多邊形，這樣就可以調(diào)整曲線與給定的多邊形的逼近程度，更好的滿足設(shè)計(jì)要求。