有向切換拓?fù)錀l件下多無人機(jī)系統(tǒng)抗擾動(dòng)編隊(duì)-追蹤控制

趙學(xué)遠(yuǎn)，周紹磊，王帥磊，祁亞輝

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

隨著無人機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以及戰(zhàn)場環(huán)境的變化，多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題逐漸成為了學(xué)者們爭先研究的領(lǐng)域[1-2]，在近年來涌現(xiàn)出了豐碩的成果，如文獻(xiàn)[3]研究了帶有時(shí)延的多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制，所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效控制智能體形成期望編隊(duì)。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于人工力場的控制方法，使得無人機(jī)在飛行過程中在虛擬力場作用下，形成期望的編隊(duì)。而隨著多智能體一致性理論的研究，將一致性應(yīng)用于多無人機(jī)編隊(duì)控制當(dāng)中的成果越來越多，而一致性編隊(duì)控制問題的解決反過來給一致性理論成果的發(fā)展提供了很大幫助[5-7]。

在無人機(jī)飛行過程中，極容易受外外界陣風(fēng)的擾動(dòng)，這類擾動(dòng)具有隨機(jī)產(chǎn)生、短時(shí)有界的特點(diǎn)，其對多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)的控制品質(zhì)造成了一定的問題，因此如何抑制這類短時(shí)有界擾動(dòng)，提高系統(tǒng)的魯棒性極具有實(shí)際意義。而在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，多是針對已知擾動(dòng)或常數(shù)擾動(dòng)進(jìn)行的討論，如文獻(xiàn)[8]考慮了常數(shù)擾動(dòng)存在時(shí)異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性問題，所設(shè)計(jì)的控制器只能抑制常數(shù)擾動(dòng)，對隨機(jī)產(chǎn)生的外界擾動(dòng)并不能有效抑制。文獻(xiàn)[9-10]則都是針對已知擾動(dòng)設(shè)計(jì)的控制器提高智能體系統(tǒng)魯棒性。

雖然也有部分文獻(xiàn)針對未知外界擾動(dòng)展開研究，如文獻(xiàn)[11]為帶有時(shí)延的非線性多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一致性控制器，有效抑制了一維白噪聲干擾。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了H∞控制器，使得多智能體系統(tǒng)抵抗外界短時(shí)有界擾動(dòng)影響，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的一致性控制，并借助線性矩陣不等式給出了一致性控制器的設(shè)計(jì)步驟。但是上述文獻(xiàn)中系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)均為固定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但是無人機(jī)之間距離增大、障礙物阻擋等外界環(huán)境變化極易造成多無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化。而固定拓?fù)錀l件下所得到的結(jié)論不能直接應(yīng)用于有向切換拓?fù)潴w條件，因此降低對多無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)浼s束，研究有向切換拓?fù)錀l件下的抗擾動(dòng)問題更具有實(shí)際意義。

在無人機(jī)飛行過程中，會(huì)根據(jù)執(zhí)行任務(wù)不同將無人機(jī)分為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者，在戰(zhàn)場環(huán)境中，不僅需要多無人機(jī)系統(tǒng)形成期望編隊(duì)，還希望編隊(duì)能夠追蹤期望軌跡，因此多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)-追蹤控制問題更具有研究價(jià)值，其中領(lǐng)導(dǎo)者追蹤期望軌跡，跟隨者形成期望編隊(duì)。

本文針對有向切換拓?fù)錀l件下的多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)-追蹤控制問題展開研究，考慮無人機(jī)在飛行過程中受到外界短時(shí)有界擾動(dòng)，設(shè)計(jì)H∞控制，實(shí)現(xiàn)了多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)-追蹤控制，并對擾動(dòng)由一定的抑制作用，滿足了暫態(tài)性能指標(biāo)，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

1 相關(guān)引理

引理1[13]圖G的Laplacian矩陣L至少有一個(gè)零特征值，其他非零特征值均具有正實(shí)部；如果有向圖G包含有一個(gè)有向生成樹，則0是L的簡單特征值，1N是其對應(yīng)的右特征向量。

引理2[14]若矩陣W∈RN×N的所有特征值均具有正實(shí)部，那么存在一個(gè)正定矩陣Q使得

WTQ+QW>2αQ

其中0<α

2 問題描述

考慮多無人機(jī)系統(tǒng)中的無人機(jī)由二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型描述，在飛行過程中無人機(jī)受到陣風(fēng)影響，陣風(fēng)具有短時(shí)有界且隨機(jī)產(chǎn)生的性質(zhì)，這與文獻(xiàn)[8]中的常數(shù)擾動(dòng)和文獻(xiàn)[9-10]中的已知擾動(dòng)具有很大不同。第i架無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可刻畫為：

(1)

根據(jù)無人機(jī)執(zhí)行任務(wù)不同，將負(fù)責(zé)追蹤編隊(duì)中心軌跡的無人機(jī)稱為領(lǐng)導(dǎo)者，其他形成編隊(duì)的無人機(jī)稱之為跟隨者。領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)序號(hào)為1，跟隨者無人機(jī)序號(hào)為2,…,N。

(2)

為了行文通順，在此給出平均駐留的定義。

定義1：隨著時(shí)間任意切換的多無人機(jī)系統(tǒng)內(nèi)部通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Gσ(t)，在給定時(shí)間區(qū)間[t0,t)的平均駐留時(shí)間為

其中NB(t0,t)是多無人系統(tǒng)通信拓?fù)鋱D在時(shí)間[t0,t)內(nèi)的切換次數(shù)。

3 一致性控制器設(shè)計(jì)

分別為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者設(shè)計(jì)如下控制器

(3)

將領(lǐng)導(dǎo)者的控制器代入1號(hào)無人機(jī)可得

(4)

定義領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)際狀態(tài)與編隊(duì)中心軌跡誤差為θ1(t)=x1(t)-r(t)，因此可以得到

(5)

(6)

將跟隨者的控制器代入2,…,N號(hào)無人機(jī)可得

(7)

令

ξ(t)=[ξ2(t),ξ3(t),…,ξN(t)]T可得

(8)

其中

θi(t)=xi(t)-hi(t)，i=2,…,N

(9)

定義：多無人機(jī)系統(tǒng)在形成期望編隊(duì)的過程中，如式(3)的控制器可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)滿足暫態(tài)響應(yīng)性能的H∞一致性控制，能夠有效抑制外部短時(shí)有界擾動(dòng)，如果對于給定的擾動(dòng)衰減指標(biāo)γ>0，系統(tǒng)滿足如下兩個(gè)條件：

1) 當(dāng)w(t)=0時(shí)，對于任意對給定的無人機(jī)初始狀態(tài)

(10)

2) 當(dāng)w(t)≠0時(shí)，初始狀態(tài)為0時(shí)，多無人機(jī)系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足

(11)

基于上述分析給出有向切換拓?fù)錀l件下控制器的設(shè)計(jì)步驟及對步驟設(shè)計(jì)合理性的證明。

步驟1選取反饋矩陣K1使得(A+BK1)是Hurwitz的，且式(11)成立。

步驟2選取常數(shù)0<α

步驟3求反饋矩陣K2=-BTP2。

(12)

其中σ是大于1的常數(shù)，P1為正定對稱陣。

(13)

其中，φ1=max(λ(Q))，φ2=min(λ(Q))，γ>0給定常數(shù)。

證明：由于作為領(lǐng)導(dǎo)者的1號(hào)無人機(jī)在多無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱D中，只能向跟隨者傳遞信息，而不能接收來自跟隨者的信息，因此拓?fù)鋱D的切換過程不會(huì)對其產(chǎn)生影響。

針對領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(14)

對式(14)求導(dǎo)可得

(15)

(16)

其中

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可得，當(dāng)且僅當(dāng)式(12)成立時(shí)，Φ<0顯然成立

因此

(17)

對兩端同時(shí)積分可得

(18)

對于零初始條件可得

(19)

當(dāng)w=0時(shí)，

(20)

對式(14)沿著式(20)求導(dǎo)可得

(21)

針對跟隨者，多無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化會(huì)對其產(chǎn)生影響，因此構(gòu)造分段的Lyapunov函數(shù)如下

(22)

對其求導(dǎo)可得

2wT(t)(FTQσ(t)?DTP2)θ2n

(23)

2wT(t)(FTQσ(t)?DTP2)θ2n

(24)

當(dāng)w≠0時(shí)，

(25)

那么

(26)

(27)

其中

Θ2=Qσ(t)F?P2D

因?yàn)镼σ(t)≤φ1I,FFT≤φI，則

ATP2+P2A-2αP2BBTP2+βP2+

(28)

故可得

(29)

因此?(t)>0，故 恒成立

(30)

(31)

因此對兩端同時(shí)積分可得

(32)

因此對于零初始條件可得

(33)

因?yàn)?(t)=eσk(t-tk)，那么1

(34)

當(dāng)w=0時(shí)，

(35)

對式(22)沿著系統(tǒng)(35)求導(dǎo)可得

(36)

由式(13)可得

ATP2+P2A-2αP2BBTP2+βP2<0

(37)

結(jié)合式(37)和式(36)可得

(38)

故

V2(t)

(39)

(40)

對式(39)和式(40)進(jìn)行迭代計(jì)算可得

V2(t)≤e-βtμkV(0)

(41)

(42)

綜上按照所給步驟設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)-追蹤控制，并滿足暫態(tài)性能指標(biāo)。

4 仿真驗(yàn)證

將無人機(jī)考慮為由式(1)描述的二階模型，假設(shè)無人機(jī)三維空間運(yùn)動(dòng)相互解耦，多無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)湓趫D1中隨機(jī)切換，在圖2中展示多無人機(jī)系統(tǒng)通信拓?fù)鋱D的切換過程。

圖1 多無人機(jī)系統(tǒng)通信拓?fù)涫疽鈭D

圖2 拓?fù)淝袚Q過程曲線

從拓?fù)鋱D圖中可得到相應(yīng)的Laplacian矩陣，因?yàn)橥負(fù)淝袚Q過程只對跟隨者產(chǎn)生影響，故為了簡便，在此只給出跟隨者之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)的Laplacian矩陣

設(shè)無人機(jī)受到的短時(shí)有界擾動(dòng)函數(shù)為

其中

通過步驟1可求得

通過步驟2可求得

通過步驟3可求得

如圖3所示為無人機(jī)在t時(shí)刻無人機(jī)實(shí)際位置與期望編隊(duì)和編隊(duì)中心軌跡考慮暫態(tài)響應(yīng)的誤差量曲線，由定義可知，當(dāng)誤差量趨向于0時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者在編隊(duì)中心準(zhǔn)確跟蹤軌跡r(t)，跟隨者形成期望的平行四邊形編隊(duì).從圖3中發(fā)現(xiàn)經(jīng)過3 s的振蕩，誤差量基本收斂于0，開始在0附近微小振蕩，且當(dāng)4～5 s和8～12 s外界干擾作用下，振蕩幅度較小，尤其是在8～12 s期間，可以說對外界擾動(dòng)抑制效果非常明顯，只在擾動(dòng)產(chǎn)生(8 s)和擾動(dòng)結(jié)束(12 s)時(shí)產(chǎn)生了很小的振蕩，對多無人機(jī)系統(tǒng)形成期望編隊(duì)并追蹤軌跡影響甚微，滿足了暫態(tài)性能指標(biāo)。

圖3 考慮暫態(tài)響應(yīng)誤差量曲線

在不考慮暫態(tài)響應(yīng)所設(shè)計(jì)的控制器作用下，無人機(jī)實(shí)際位置與期望編隊(duì)和編隊(duì)中心軌跡的誤差量曲線如圖4所示，誤差量趨于零的過程耗時(shí)長且震蕩劇烈，當(dāng)外界擾動(dòng)作用時(shí)，振幅明顯增大，對比圖3中誤差量的變化過程，不考慮暫態(tài)響應(yīng)所設(shè)計(jì)的控制器控制品質(zhì)處于明顯劣勢。

為了清晰看出考慮暫態(tài)響應(yīng)設(shè)計(jì)的H∞控制器對多無人機(jī)系統(tǒng)的控制效果，在圖5中展示了無人機(jī)在0.5 s和4 s時(shí)刻在空間中位置，下方為0.5 s時(shí)無人機(jī)位置，上方為4 s時(shí)無人機(jī)位置。從中可以看出4 s時(shí)刻領(lǐng)導(dǎo)者位于編隊(duì)中心，準(zhǔn)確追蹤了期望軌跡，跟隨者形成了期望的平行四邊形編隊(duì)。

圖4 不考慮暫態(tài)響應(yīng)誤差量曲線

圖5 無人機(jī)空間位置示意圖

5 結(jié)論

1) 設(shè)計(jì)了H∞一致性控制器能夠?qū)ν饨鐢_動(dòng)產(chǎn)生一定的抑制作用，提高了系統(tǒng)的魯棒性，且所受擾動(dòng)為隨機(jī)短時(shí)有界擾動(dòng)，對多無人機(jī)系統(tǒng)具有實(shí)際意義。

2) 所研究的多無人機(jī)的通信拓?fù)錇橛邢蚯袚Q拓?fù)?，相比一般的有向拓?fù)浠蛘邿o向拓?fù)涠?，降低了通信要求，多無人機(jī)系統(tǒng)無需一直保持一種通信結(jié)構(gòu)。

3) 本文實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)-追蹤控制，使得多無人機(jī)編隊(duì)的領(lǐng)導(dǎo)者準(zhǔn)確追蹤期望軌跡，跟隨者形成期望的時(shí)變編隊(duì)，相比只有編隊(duì)控制，更適應(yīng)戰(zhàn)場環(huán)境需要。