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    例析零點虛設在解導數(shù)解答題中的應用

    2020-10-11 07:48:36賀航飛
    數(shù)理化解題研究 2020年25期
    關鍵詞:虛設實數(shù)零點

    李 寧 賀航飛

    (海南省海南中學 571158)

    導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具. 導函數(shù)的零點在研究函數(shù)單調性和極值時起著關鍵作用. 有時候導函數(shù)的零點存在但是不可求,這時就可以虛設零點參與接下來的解題. 下面從不同題型歸類剖析虛設導函數(shù)零點的應用.

    一、在證明不等式中的應用

    例1已知函數(shù)f(x)=ex-alnx(a∈R,a>0),證明:f(x)≥a(2-lna).

    又g(0)=-a<0,g(a)=a(ea-1)>0,從而存在x0∈(0,a)使得g(x0)=0,且當x∈(0,x0)時f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(x0,+∞)時f′(x)>0,f(x)單調遞增. 從而f(x)≥f(x0)= ex0-alnx0.

    評注本題f(x)的極小值剛好是最小值,而f′(x)的零點x0存在但不可求. 關于x0的信息集中在方程g(x0)=0中,借助此方程靈活變形,化簡f(x0)的解析式(設法將其中的指數(shù)結構、對數(shù)結構等復雜表達式換為較為簡單結構).

    例2已知函數(shù)f(x)=ex-x2,設x≥0,求證:f(x)>x2+4x-14.

    證明設g(x)=f(x)-(x2+4x-14)=ex-2x2-4x+14(x≥0).則g′(x)=ex-4x-4,g″(x)=ex-4. 當x∈(0,ln4)時,g″(x)<0,g′(x)單調遞減;當x∈(ln4,+∞)時,g″(x)>0,g′(x)單調遞增. 又g′(0)=-3<0,g′(2)=e2-12<0,g′(3)=e3-16>0,于是存在x0∈(2,3)使得g′(x0)=0,此時ex0=4x0+4,且當x∈(0,x0)時g′(x)<0,g(x)單調遞減;當x∈(x0,+∞)時g′(x)>0,g(x)單調遞增.

    評注對于取不到等號的函數(shù)不等式的證明,在作差求導時往往會遇到導函數(shù)零點不可求的情形. 在用零點存在性定理確定零點所在區(qū)間時,應盡可能讓這個區(qū)間長度變小. 在解析分析的過程中,可以先取一個大致區(qū)間,后期如果這個區(qū)間不能滿足需求,再回過頭調整這個區(qū)間.

    二、在恒成立求參數(shù)范圍題型中的應用

    例3 已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=(k-3)x-k+2(k∈Z). 當x>1時,不等式f(x)>g(x)恒成立,求k的最大值.

    評注分離參數(shù)后,問題轉化為求函數(shù)h(x)的最小值. 在審題時,題目求整數(shù)k的最大值,而不是求實數(shù)k的最大值,很有可能是k的最大值存在但不可求,只能估算. 本題也可以不分離參數(shù),采用先取特殊值必要性探路再證充分性的方法解決,即:由f(2)>g(2)得k<4+2ln2,由于k∈Z,從而k≤5. 容易證明當k=5時f(x)-g(x)>0恒成立,故整數(shù)k的最大值為5.

    三、在零點問題中的應用

    例4 已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx,a∈R. 若函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

    (1)當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調遞減,不可能有兩個零點.

    (2)當a>0時,設g(x)=2ax2-x-1,則二次函數(shù)g(x)開口向上且g(0)=-1<0,從而存在x0>0使得g(x0)=0,且當x∈(0,x0)時g(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(x0,+∞)時g(x)>0,f(x)單調遞增.

    綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(0,1).

    四、在極值問題中的應用

    相關練習:

    2.已知函數(shù)f(x)=x2-x-xlnx,證明:f(x)存在唯一極大值點x0,且e-2

    3.若k∈Z,當x>1時,不等式xlnx+x>k(x-1)恒成立,求k的最大值.

    4.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2(a>0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)有唯一零點x0,證明:e-2

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