新高考背景下數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用研究
——以函數(shù)性質(zhì)探究為例

楊 兵

(貴州省黔東南州民族高級(jí)中學(xué) 556000)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出了，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要全面加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的理解，提高學(xué)生空間思維想象能力，因此，教師要在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考，構(gòu)建代數(shù)和圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性.鑒于此，在新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求下，教師必須要改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，借助數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為直觀的圖象，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在直觀地觀察中、理解思路、實(shí)現(xiàn)高效地學(xué)習(xí).

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，還是一種有效的數(shù)學(xué)解題方式.就最近的幾年高考來說，數(shù)形結(jié)合思想在高考中占據(jù)十分重要的地位.結(jié)合最近的高考試題研究分析，其中約有三分之一的題目可以利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答，尤其是在高考數(shù)學(xué)選擇題、填空題目的處理中，通過數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，可對(duì)高考題目進(jìn)行快速解答.

所謂的數(shù)形結(jié)合思想主要是指在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，以數(shù)學(xué)問題作為出發(fā)點(diǎn)，并對(duì)數(shù)學(xué)題目中所隱藏的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行明確.之后，充分借助幾何圖形的形式，對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表示，并結(jié)合一定的幾何圖形，將題目中的概念、性質(zhì)等進(jìn)行明確，并對(duì)其進(jìn)行解決.在具體的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合思想”主要包括兩種，即：(1)以形助數(shù)：主要是在具體的課堂教學(xué)中，借助幾何圖形，將代數(shù)問題進(jìn)行闡明，進(jìn)而使得復(fù)雜、抽象的代數(shù)問題更加直觀、具體、生動(dòng).例如，在高中函數(shù)課堂教學(xué)中，函數(shù)式就屬于復(fù)雜的、抽象的代數(shù)式，而函數(shù)圖象則屬于幾何圖形，借助函數(shù)圖形對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行講解，可降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度；(2)以數(shù)輔形：主要是在課堂教學(xué)中，在著手對(duì)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行探討時(shí)，以代數(shù)作為手段，借助規(guī)范性、精確性的數(shù)字對(duì)圖形中所呈現(xiàn)的某些性質(zhì)進(jìn)行描述.

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

1.在函數(shù)單調(diào)性判斷中應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中，函數(shù)的單調(diào)性是其最為重要的性質(zhì)之一，也是對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究的重要方向，是針對(duì)函數(shù)概念而進(jìn)行的一種深層次的拓展和延伸.但是在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，受到多種因素的影響，學(xué)生對(duì)其理解存在較大的難度，以至于無法體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣和成就感，久而久之就會(huì)使學(xué)生逐漸喪失學(xué)習(xí)興趣.鑒于此，教師在有關(guān)函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容的教學(xué)中，就可以充分借助數(shù)形結(jié)合思想，將函數(shù)的單調(diào)性以圖形的形式直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在圖形的輔助下，對(duì)這一部分的內(nèi)容進(jìn)行有效的掌握.

例如，在對(duì)二次函數(shù)“f(x)=x2+4x+4”明確單調(diào)區(qū)間，并對(duì)其單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性進(jìn)行確定的時(shí)候，為了進(jìn)一步提升課堂教學(xué)效率，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一二次函數(shù)進(jìn)行變形，使其成為f(x)=(x+2)2，如此一來，可使得函數(shù)圖象更加直觀.在具體對(duì)其解決的時(shí)候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生畫出f(x)=x2的圖象，之后通過平移的方式，將所畫出的函數(shù)圖象向左平移2個(gè)單位，即可得到f(x)=(x+2)2的圖象(如右圖).接著，教師可借助函數(shù)圖象的形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行觀察，在直觀形象的圖象中，對(duì)該函數(shù)的單調(diào)性做出準(zhǔn)確的判斷.接下來，教師還可以采用定義法的形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)判斷的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，以確保所得出的結(jié)論更加嚴(yán)謹(jǐn).

由此可以看出，在對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷的過程中，通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，使得抽象的問題更加具體化、形象化，進(jìn)一步降低了學(xué)生學(xué)習(xí)中的難度，并在一定程度上提升了學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，促使其積極主動(dòng)參與到課堂學(xué)習(xí)中.

2.在函數(shù)最值求法中應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)課堂教學(xué)中，函數(shù)的最值求解是考試考查的重點(diǎn).在對(duì)函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，由于其對(duì)學(xué)生的分析能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力要求相對(duì)比較高，而學(xué)生在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式下形成的固化了的解題思路，嚴(yán)重制約著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.鑒于此，教師在對(duì)這一部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，也可充分借助數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生借助對(duì)圖象的觀察，對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行明確和求解.

同時(shí)，學(xué)生在借助數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)性質(zhì)問題的時(shí)候，也打破了傳統(tǒng)模式下的解題思路，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中，顯著提升了其分析、邏輯思維能力等.長(zhǎng)此以往下去，就會(huì)全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想作為一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中，簡(jiǎn)化了知識(shí)，降低了學(xué)習(xí)難度，極大地節(jié)省了學(xué)生在解題過程中所使用的時(shí)間，從而全面提升了學(xué)生的解題效率.