領(lǐng)會(huì)考點(diǎn) 研究題型 提升學(xué)生的解題能力
——以蘇科版教材“平面解析幾何”為例

徐 崇

(江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 215500)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的一個(gè)根本任務(wù)，就是在立德樹(shù)人和核心素養(yǎng)培育的背景之下，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.這樣的教學(xué)定位，意味著要將立德樹(shù)人與核心素養(yǎng)培育，與很現(xiàn)實(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的解題與應(yīng)試能力結(jié)合在一起.而這也就意味著在日常的教學(xué)中，教師要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)及其體系的建構(gòu)，同時(shí)又要在此基礎(chǔ)上切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.面對(duì)這一任務(wù)，有研究者明確指出高中數(shù)學(xué)教師要基于新時(shí)代高考的核心功能和主要任務(wù)，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱(理科數(shù)學(xué))》的精神，研究普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷中試題與服務(wù)選才這“一把尺”之間的關(guān)系，從高考解析幾何試題中分析考查題型、內(nèi)容、熱點(diǎn)等角度展開(kāi)研究，從而尋找到關(guān)于高考數(shù)學(xué)知識(shí)的基本考向以及備考思路.本文試以蘇科版教材“平面解析幾何”為例，談?wù)劰P者的探究過(guò)程與結(jié)果，以期對(duì)同行的相關(guān)研究起到拋磚引玉的作用.

一、領(lǐng)會(huì)考點(diǎn)，奠定解題能力提升的基礎(chǔ)

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的基礎(chǔ)性知識(shí)，同時(shí)也是高考的必考內(nèi)容，平面解析幾何的基本思想實(shí)際上是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.從當(dāng)前高考實(shí)際情況來(lái)看，幾何性質(zhì)考查內(nèi)容主要以離心率為主，而相應(yīng)的學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)主要與取值范圍、最值等問(wèn)題相關(guān).也正因?yàn)檫@個(gè)原因，圓錐曲線的離心率、取值范圍和最值問(wèn)題成為平面解析幾何知識(shí)考查的重要指向.這實(shí)際上是從考點(diǎn)的角度，對(duì)平面解析幾何知識(shí)進(jìn)行的研究，而要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，首先就必須以考點(diǎn)知識(shí)的領(lǐng)會(huì)來(lái)奠定解題能力培養(yǎng)的基礎(chǔ).

從宏觀角度來(lái)看，平面解析幾何部分的知識(shí)涉及到的考點(diǎn)雖然很多，但與圓錐曲線相關(guān)的考點(diǎn)，由于其具有綜合性，以及利用圓錐曲線相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)能夠涉及比較廣泛的知識(shí)，因而既表現(xiàn)出一定的解題難度，又表現(xiàn)出相應(yīng)的解題能力培養(yǎng)的空間.

當(dāng)然作為對(duì)考點(diǎn)的研究，面向培養(yǎng)學(xué)生解題能力的需要，還必須研究更加細(xì)致的“點(diǎn)”.比如說(shuō)，橢圓中的最值問(wèn)題包括兩種：一種是參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，另一種是長(zhǎng)度與面積的最值問(wèn)題.最值問(wèn)題一般都與動(dòng)態(tài)變化相關(guān)，因此在解題的時(shí)候要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，前者往往需要根據(jù)圖形的幾何特征去建立起與某個(gè)參數(shù)相關(guān)的不等式或者函數(shù)，而后者則主要是通過(guò)建立關(guān)于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，然后運(yùn)用基本不等式或函數(shù)知識(shí)去求解的.當(dāng)然最終能力的形成，在于學(xué)生具體的練習(xí)過(guò)程，而這就涉及到題型研究.

二、研究題型，鋪就解題能力提升的大道

通常情況下教師對(duì)題型研究往往進(jìn)行得比較深，比較透，但筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，要想有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，還必須帶著學(xué)生去研究題型，要讓學(xué)生對(duì)題型有非常感性的認(rèn)識(shí)，這樣他們?cè)诮忸}的時(shí)候才能做到心里有數(shù).如果把解題和考試比作打仗，那對(duì)題型的研究實(shí)際上就是為了做到知己知彼而百戰(zhàn)不殆.

例如有這樣一道題目：已知點(diǎn)A(-2，0)、B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率乘積為-1/2.記M軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

雖然這是全國(guó)卷上的題目(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21題)，但是筆者認(rèn)為其對(duì)江蘇的考生也有一定的指導(dǎo)作用.這道試題考查了曲線的方程、直線和橢圓的位置以及最值問(wèn)題，考查的是學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.在問(wèn)題解決的過(guò)程中，涉及到邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；從實(shí)際解題的角度來(lái)看，試題解法靈活，內(nèi)涵豐富，綜合性強(qiáng)，為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺(tái)，是一道好題.認(rèn)為它是好題，還有一個(gè)重要的原因，這就是這是一種有代表性的題型，這一題型所涵蓋到的平面解析幾何知識(shí)，以及涉及到的解題能力，都能夠讓學(xué)生在解題的過(guò)程中，獲得知識(shí)的鞏固與能力的提升.

比如說(shuō)，在具體的解題過(guò)程中，可以讓學(xué)生遵循一題多解的思路，將題目中給出的信息與問(wèn)題，與原有的解題經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，以從多個(gè)角度尋找問(wèn)題解決的方法.筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生解題的時(shí)候，選擇了這樣幾個(gè)角度(限于篇幅，這里以第2問(wèn)為例)：

角度1：讓學(xué)生先設(shè)出直線PQ的斜率為k，然后得出直線的方程，也就是y=kx(k>0)，然后與此前得到的C的方程聯(lián)立，就可以求出x(用k來(lái)表示)；其后經(jīng)過(guò)幾次代換之后，則可以得到一個(gè)以k為系數(shù)的方程，即(2+k2)x2-2uk2x+u2k2-8=0；再然后就可以借助于韋達(dá)定理與斜率的知識(shí)求解.這個(gè)過(guò)程中，多次化簡(jiǎn)與消元，并借助于函數(shù)的單調(diào)性求出了△PQG面積的最大值.此過(guò)程中學(xué)生的思維量極大，多次轉(zhuǎn)換才能實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的突破，這實(shí)際上就賦予了學(xué)生一個(gè)充足的培養(yǎng)自身解題能力的空間.

這是兩個(gè)不同的解決問(wèn)題的角度，盡管在課堂上花費(fèi)一定的時(shí)間，但是無(wú)論是涉及到的數(shù)學(xué)解題方法，還是運(yùn)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，都能夠有效地幫學(xué)生拓寬眼界，提升學(xué)生的解題層次，從而提升學(xué)生的解題能力.

三、因材施教，落實(shí)解題能力提升的要求

在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生之間的個(gè)體差異，同樣一個(gè)考點(diǎn)的確定與相應(yīng)的題型的選擇，不同學(xué)生在訓(xùn)練的過(guò)程中，表現(xiàn)出來(lái)的接受能力以及解題能力的提升幅度是有所差異的.從這個(gè)角度來(lái)看，高中數(shù)學(xué)教師要想切實(shí)提升學(xué)生的解題能力，就必須做到以生為本而因材施教.

如同上面所強(qiáng)調(diào)的一樣，平面解析幾何一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在歷年的高考中也都是考查的重點(diǎn)，因此這是我們高考復(fù)習(xí)的重頭戲.從近幾年江蘇高考的情況來(lái)看，涉及到平面解析幾何的題目還是比較豐富的，本質(zhì)上這是因?yàn)槠矫娼馕鰩缀沃R(shí)內(nèi)容較多，方法性、思想性都很強(qiáng)，因此高中數(shù)學(xué)教師要在高三復(fù)習(xí)中提升復(fù)習(xí)效率，就必須有策略地部署復(fù)習(xí)安排.筆者在教學(xué)中，關(guān)于這一知識(shí)所進(jìn)行的復(fù)習(xí)部署中，很重要的一點(diǎn)就是先去研究學(xué)生個(gè)體.當(dāng)然由于班級(jí)授課制的關(guān)系，再加上所教班級(jí)不止一個(gè)，因此也不可能真正地面向每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行研究.但是將學(xué)生分成不同的層次，研究每一個(gè)層次學(xué)生在平面解析幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，所表現(xiàn)出來(lái)的知識(shí)理解能力、思維能力等，然后去實(shí)施教學(xué)，就可以取得比較好的效果.

總的來(lái)說(shuō)，面向?qū)W生解題能力的提升需要，并在此基礎(chǔ)上滿足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的需要，數(shù)學(xué)教師就必須認(rèn)真研究考點(diǎn)，準(zhǔn)確把握題型，然后再面向不同層次的學(xué)生，施以不同的解題教學(xué)策略，這樣就可以切實(shí)提高學(xué)生的解題能力.而且事實(shí)表明，這樣的教學(xué)思路是能夠滿足絕大多數(shù)學(xué)生的需要的，學(xué)生對(duì)這樣的教學(xué)方式也是比較歡迎的，從教學(xué)效果的角度來(lái)看，堅(jiān)持使用這樣的教學(xué)思路，學(xué)生的解題能力可以得到明顯提升，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也能夠在這樣的過(guò)程中得到培養(yǎng).