在變式探究中突破數(shù)學(xué)思維定勢

楊珍珍

【摘要】通過對2018年高考全國I卷文科第21題及其變式的研究，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，引領(lǐng)學(xué)生運用類比、聯(lián)想、特殊化、一般化、數(shù)形結(jié)合等的數(shù)學(xué)研究方法探索、提出并解決新的問題。數(shù)學(xué)壓軸題的變式過程可以讓學(xué)生突破定勢思維，學(xué)會舉一反三、融會貫通，體驗數(shù)學(xué)壓軸題中“變與不變”的美;有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究和創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;定勢思維;創(chuàng)新意識;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。變式探究有利于突破定勢思維，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、主動探索與解決問題的能力，以便讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。下面筆者以2018年高考全國I卷文科第21題和2019年高考預(yù)測題為例，對解法及其變式進行探究，希望對高三學(xué)子有所裨益。

2.問題分析

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的主要工具，它主要用來討論函數(shù)（特別是復(fù)雜函數(shù)）的單調(diào)性，進而解決求函數(shù)的最值、極值等的問題。導(dǎo)數(shù)問題（尤其是含參的導(dǎo)數(shù)問題），作為高考的壓軸題，難度大、變化多且對高考考生的要求高，這就需要我們靈活變通，勤思多想，找到一種以不變應(yīng)萬變的方法。本文主要采用變式探究的研究方法，提高學(xué)生解題的融會貫通能力，以期突破學(xué)生的數(shù)學(xué)定勢思維，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”的過程中體驗數(shù)學(xué)壓軸題“變與不變”的美，進而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.解法研究

數(shù)學(xué)的壓軸題是通過利用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法建立條件與結(jié)論之間的發(fā)展過程，從而形成不同的審題思路和切入點，得到不同的解題思路。本題屬于高考壓軸題的常規(guī)題型，第一問思路清晰，方法固定，通過求導(dǎo)再利用極值點處的導(dǎo)數(shù)值為零，來求出參數(shù)的值，進而求函數(shù)的單調(diào)性;第二問的基本考點是函數(shù)的恒成立問題，通過放縮利用函數(shù)的單調(diào)性進行討論研究。

第（1）問屬于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的常規(guī)題型，不過在計算過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生混淆了零點和極值點的概念，于是，把極值點換成零點就可以成為該題的一道變式，學(xué)生們可以下去自己完成。

在證明這道題第（2）問時，很多學(xué)生在解答過程中充分性和必要性發(fā)生了混淆，出現(xiàn)了條件和結(jié)論顛倒證明的情況，除了引導(dǎo)學(xué)生正確理解充分性和必要性以外，還應(yīng)鼓勵學(xué)生多思考，充分性得到證明能不能再思考一下必要性該如何證明;進一步充要條件能否得到證明呢？我們秉承著“題不在于多，而在于精”，“萬變不離其宗”的原則，引導(dǎo)學(xué)生多思多悟，針對本題第（2）問，我們給出以下幾種變式。

于是，該題的必要性得到了證明，結(jié)合上述的證明我們不難得到充要條件也是成立的，學(xué)生們自己下去完成充要條件的證明。我們想想可不可以對該例題的題目進行一下變式呢？在老師的鼓勵和引導(dǎo)下，學(xué)生給出了如下的變式。

通過該變式，我們發(fā)現(xiàn)解法與變式一類似，這只是一種形式的變化，其本質(zhì)是不變的，因此，可以把上述兩個變式劃為一類。我們再思考一下，還能不能做出更進一步的變式呢？比如，加個其它條件，學(xué)生努力思考，大膽探索，給出如下的變式：

在這幾個變式中，我們都是給出了a的范圍來求函數(shù)的恒成立問題，那我們思考一下，能不能把給出a的一個具體值，來求一些很成立問題呢？學(xué)生突破思維定勢，大膽思考，嘗試做出如下的變式：

通過以上的變式，我們發(fā)現(xiàn)解題思路大同小異，變中有不變，是有規(guī)律可循的，經(jīng)過努力，突破數(shù)學(xué)的壓軸題也不是完全沒有可能的。善于思考與總結(jié)反思，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，接下來我們再進行拓展變式加強鞏固。

二、題目拓展及變式

1.題目（選自2019屆高考質(zhì)量預(yù)測卷）

2. 解法研究

本題屬于高考常規(guī)題型，通過利用函數(shù)極值點的定義把該問題轉(zhuǎn)化成一個方程有兩解的問題，進一步轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)有兩交點的問題，再利用數(shù)形結(jié)合的思想進行畫圖，通過觀察分析圖形進而得到答案。

3.解答

本題思路清晰，難度適宜，那么，我們能不能對這個題目進行一下改編，或者假想自己作為出題人，我們再怎么提高難度，才能不偏不怪，并且難倒一部分人，從而做到有的放矢呢？最好把基本知識技能都考查在內(nèi)，學(xué)生勇于思考，敢于創(chuàng)新，得到了以下的幾種變式：

以上四種變式表面看各不相同，但是本質(zhì)都是一樣的，利用的解法和工具都是相同的，如果我們勇于探索、大膽創(chuàng)新，勇于突破定勢思維，就會發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)原來可以如此美妙！”

三、教學(xué)思考

本文通過探究的眼光、發(fā)散的思維多方面地對高考中的數(shù)學(xué)壓軸題及其變式進行了挖掘和研究，有助于提升學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，進而促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，增強學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，引領(lǐng)學(xué)生突破定勢思維，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)壓軸題中“變與不變”的美，從而提升學(xué)生的素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王康垣.由一道高考題引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（1/2）：60-61.