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    二次函數(shù)中不等關(guān)系的解法

    2023-01-13 08:05:16丁旭東
    初中生世界 2022年47期
    關(guān)鍵詞:對稱軸交點拋物線

    文/丁旭東

    對于一次函數(shù)中的不等關(guān)系,很多同學(xué)可以利用解一元一次不等式的方法來解決問題。而對于二次函數(shù)中的不等關(guān)系,同學(xué)們肯定也想通過類比之前的學(xué)習(xí),用解一元二次不等式的方法來解決問題,但發(fā)現(xiàn)略顯困難,這便需要利用二次函數(shù)的“輔助功能”。

    一、給定x或x的范圍,確定y的大小關(guān)系

    1.兩點在對稱軸的同側(cè)時

    當(dāng)兩點在對稱軸同側(cè)時,我們只需根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷函數(shù)值的大小。

    例1已知拋物線y=-(x+2)2上的兩點A(x1,y1)和B(x2,y2),如果x1<x2<-2,那么下列結(jié)論一定成立的是( )。

    A.0<y2<y1B.y1<y2<0

    C.0<y1<y2D.y2<y1<0

    【解析】拋物線的對稱軸為直線x=-2,拋物線開口向下,函數(shù)在x<-2時,y隨x的增大而增大,

    ∴y1<y2,而y=-(x+2)2≤0,

    ∴y1<y2<0。故選B。

    2.兩點在對稱軸的異側(cè)時

    當(dāng)兩點在對稱軸異側(cè)時,我們可以利用二次函數(shù)的軸對稱性,把異側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為同側(cè),也可以利用與對稱軸距離的遠(yuǎn)近來確定函數(shù)值的大小。特別要注意的是,當(dāng)頂點在區(qū)間內(nèi),頂點的值就是最值。

    例2已知二次函數(shù)y=(x-2)2-2,關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內(nèi),下列說法正確的是()。

    A.有最大值-1,有最小值-2

    B.有最大值0,有最小值-1

    C.有最大值7,有最小值-1

    D.有最大值7,有最小值-2

    【解析】拋物線的對稱軸為直線x=2,且開口向上,所以當(dāng)x=2時,y有最小值-2。點(3,y1)的對稱點為(1,y1),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減小,所以當(dāng)x=-1時,y有最大值7。我們還可以觀察圖像,發(fā)現(xiàn)在取值范圍內(nèi),表示x=-1的點離對稱軸直線x=2最遠(yuǎn),所以當(dāng)x=-1時,y有最大值7。故選D。

    3.利用圖像與x軸的交點坐標(biāo),確定交點兩側(cè)相應(yīng)y的大小

    設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),且a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)為(x1,0)、(x2,0)(x1<x2)。

    若a>0,則當(dāng)x<x1或x>x2時,y>0,當(dāng)x1<x<x2時

    若a<0,則當(dāng)x<x1或x>x2時,y<0,當(dāng)x1<x<x2時

    例3對稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),且a≠0),如圖1所示,某同學(xué)得出了以下結(jié)論:①4a+2b+c>0;②9a+3b+c>0;③a+b≤m(am+b)(m為任意實數(shù))。其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )。

    圖1

    A.0 B.1 C.2 D.3

    二、給定y或y的范圍,確定x的大小關(guān)系

    【解析】當(dāng)x=0時,y<0。拋物線的對稱軸為直線x=1,根據(jù)圖像可知,拋物線與x軸的右邊交點橫坐標(biāo)x的范圍是2<x<3。

    ∴當(dāng)x=2時,y<0,即4a+2b+c<0,結(jié)論①不正確;

    當(dāng)x=3時,y>0,即9a+3b+c>0,結(jié)論②正確。

    ∵拋物線開口向上,拋物線的對稱軸為直線x=1,

    ∴當(dāng)x=1時,y取得最小值,最小值為y=a+b+c。

    ∴對于任意實數(shù)m,有am2+bm+c≥a+b+c。

    ∴a+b≤m(am+b)(m為任意實數(shù)),結(jié)論③正確。

    故選C。

    我們可以利用二次函數(shù)圖像與x軸、直線、雙曲線等的交點坐標(biāo),解決一元二次不等式問題。結(jié)合圖像,數(shù)形結(jié)合,通過交點坐標(biāo)(x0,y0)推斷x=x0時,y1=y2=y0,從而以x0為分界線,對比y1與y2的大小關(guān)系,確定x<x0還是x>x0,從而可以解決相關(guān)不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0),ax2+bx+c>m(或ax2+bx+c<m),ax2+bx+c>kx+b(或ax2+bx+c<kx+

    b),ax2+bx+c>(或ax2+bx+c<)的解集問題。

    例4如圖2,二次函數(shù)y1=x2+mx+1的圖像與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)的圖像相交于點B(3,1)。當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1<y2時,寫出x的取值范圍。

    圖2

    【解析】將點B(3,1)代入二次函數(shù)表達(dá)式,得m=-3,即y1=x2-3x+1,∴對稱軸為直線由圖像知,當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1<y2時

    三、給定x在某范圍內(nèi)y的值,確定參數(shù)的值

    此時要確定對稱軸的位置,針對對稱軸不同的位置,分類討論確定哪一個點的函數(shù)值是對應(yīng)y的值,得到關(guān)于參數(shù)的方程,從而求解。

    例5已知二次函數(shù)y=x2+ax+3,當(dāng)-1≤x≤6時,函數(shù)y的最大值為8,求a的值是否存在。

    【解析】∵二次函數(shù)y=x2+ax+3

    ∴二次函數(shù)的對稱軸為直線①當(dāng),即a≤-12時,此時二次函數(shù)在-1≤x≤6范圍內(nèi),y隨x的增大而減小,在x=-1處取最大值,即1-a+3=8,解得a=-4,與a≤-12不符;

    ②當(dāng),即-12<a≤-5時,此時x=-1離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn),

    ∴二次函數(shù)在x=-1處取最大值,即1-a+3=8,解 得a=-4,與-12<a≤-5不符;

    ③當(dāng),即-5<a≤2時,此時x=6離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn),

    ∴二次函數(shù)在x=6處取最大值,即36+6a+3=8,解得,與-5<a≤2不符;

    ④當(dāng),即a>2時,此時二次函數(shù)在-1≤x≤6范圍內(nèi),y隨x的增大而增大,在x=6處取最大值,36+6a+3=8,解得,與a>2不符。

    綜上所述,不存在符合題意的a的值。

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