問題教學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念中的應(yīng)用

王劍 張康明 謝煥鋼 許宗文

摘要：高等數(shù)學(xué)作為一門非常重要的基礎(chǔ)課程：既為后續(xù)專業(yè)課程提供基礎(chǔ)和方法，也在學(xué)生能力素養(yǎng)的培養(yǎng)方面起到重要作用。為了學(xué)生高效的掌握高等數(shù)學(xué)的“基本概念、基本定理和基本方法”，以及培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、空間想象和邏輯推理能力，在當(dāng)今教育背景下，改革高等數(shù)學(xué)教法是必要的。問題教學(xué)將教學(xué)內(nèi)容問題化，以問題為主線，由問題調(diào)動學(xué)生的主觀能動性、提高學(xué)習(xí)效率。本文以“導(dǎo)數(shù)概念”為例，實踐問題教學(xué)，從課中學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、效率和課后的反饋來看取得了較好教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：問題教學(xué);高等數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)概念;教育教學(xué)

中圖分類號：G633.62 ????文獻標識碼：A

0引言

高等數(shù)學(xué)課程是圍繞“基本概念、基本定理和基本方法”而開展。導(dǎo)數(shù)的概念在高等數(shù)學(xué)是重要的基本概念之一，從知識角度看：起到承上啟下作用，完善了學(xué)生對高中導(dǎo)數(shù)概念的理解，在數(shù)學(xué)物理背景下是對一類特殊極限（增量比極限）新的命名，也是今后學(xué)習(xí)微分和積分理論基礎(chǔ);從能力角度看：引導(dǎo)學(xué)生主動、獨立思考，在運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程中，探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，領(lǐng)悟用導(dǎo)數(shù)刻畫變化率的思想，認識數(shù)學(xué)的價值。在傳統(tǒng)的教法學(xué)法中，教師以演繹模式講解導(dǎo)數(shù)的概念，教師按部就班，課本上有什么就講什么，學(xué)生是教師講什么就聽什么，教學(xué)過程教師和學(xué)生都是為了完成教和學(xué)的任務(wù)而展開，采用問題教學(xué)，過程中以問題為牽引，將導(dǎo)數(shù)的概念數(shù)學(xué)物理背景下問題化，立足于學(xué)生現(xiàn)實基礎(chǔ)，教師力圖運用“未先知”，與學(xué)生一起商討、研究，發(fā)揚民主，充分調(diào)動積極性。

1問題教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念中應(yīng)用的理論依據(jù)

在導(dǎo)數(shù)概念中實踐問題教學(xué)的理論依據(jù)主要是分析教學(xué)目標、學(xué)情分析及重難點所得出。教學(xué)目的：學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法，理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實際意義，會用導(dǎo)數(shù)表達科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率。學(xué)情分析：通過高中階段導(dǎo)數(shù)知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的概念有了一定的基礎(chǔ)，經(jīng)過前面極限和函數(shù)連續(xù)性概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)思維分析問題，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，并能夠?qū)残詥栴}歸納出結(jié)論。但部分學(xué)生由于基礎(chǔ)的原因?qū)σ械乃俣群颓芯€概念比較模糊，不利于對問題的分析，對“”型的極限方法掌握的不夠全面，影響利用定義求導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念重點：理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法;難點：理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。

2問題教學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過程中設(shè)計

問題教學(xué)從教師角度來看是一種教學(xué)方式，從學(xué)生角度來看是一種學(xué)習(xí)方式。通過問題的不斷解決和不斷提出，學(xué)生即掌握了知識，也理解所學(xué)知識與其他知識或生活的內(nèi)在關(guān)系，最終培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。問題教學(xué)的課堂教學(xué)設(shè)計：創(chuàng)設(shè)情境、引出問題分析問題解決問題深化問題，學(xué)生的思維相互交融呈螺旋狀態(tài)上升?？刹捎脟@創(chuàng)設(shè)情境（引出新問題）分析問題（思考討論）解決問題（引出新問題1）分析新問題1（思考討論）解決新問題1（引出新問題2）解決新問題2（引出新問題3）分析新問題3（思考、討論 ）……解決新問題總結(jié)應(yīng)用（解決問題）。

2.1創(chuàng)設(shè)情境、引出問題

問題教學(xué)關(guān)鍵在于貼近軍事，引出“好問題、好情境”，好的問題、情境可以引起學(xué)生的好奇心，活躍了學(xué)生的思維，調(diào)動主觀能動性。教師在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中是通過學(xué)生在“5公里”訓(xùn)練時，怎樣了解自身的瞬時速度和爆發(fā)力？學(xué)生通過回顧、思考、分析和討論，爆發(fā)力與加速度的關(guān)系，要解決以上問題，必需量化問題，在教師的引導(dǎo)下如何定量爆發(fā)力，并建立簡單的模型：通過測試員采集的數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)MATLAB軟件，擬合出學(xué)生“5公里”時間和路程關(guān)系為。求時刻的瞬時速度和加速度？

教師分析引例，提出問題：怎樣通過過程的平均速度，利用極限的思想去求時刻的瞬時速度？類似方法求時刻的加速度。鼓勵學(xué)生思考、提問，用數(shù)學(xué)語言解決問題。教師引導(dǎo)學(xué)生瞬時速度與平均速度概念，過程的平均速度當(dāng)時的平均速度定義成時刻的瞬時速度，現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化為求時的平均速度。學(xué)生討論會聯(lián)想到什么知識點（訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題），并用數(shù)學(xué)語言刻畫結(jié)果（培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思想），

即，

總結(jié)思考：

一類比較特殊的極限

2.2從數(shù)學(xué)角度，引出新概念

引導(dǎo)學(xué)生去除以上引例物理意義，單獨從數(shù)學(xué)角度定義，得出結(jié)論：一類特殊的極限。即引入導(dǎo)數(shù)的概念。

定義設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時，變量與自變量之比的極限存在，

即 ??，

則稱為在處的導(dǎo)數(shù)，或者稱函數(shù)在處可導(dǎo)。

記為，或，或，或。

2.3教師分析、總結(jié)問題和轉(zhuǎn)化新問題，學(xué)生參與問題討論

關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的幾個常見的問題，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題過程中加深對導(dǎo)數(shù)的理解。

問題1：實際應(yīng)用：教師提問在所學(xué)學(xué)科哪些量是用導(dǎo)數(shù)刻畫？導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的瞬時變化率問題，反應(yīng)的是因變量隨自變量變化的快慢程度，即為增量比的極限問題。角速度是轉(zhuǎn)角的該變量與時間該變量之比的極限，密度是質(zhì)量的該變量與體積該變量之比的極限，電流的強度是電量該變量與時間該變量之比的極限等等。

問題2：回歸課本：導(dǎo)數(shù)定義有哪些變化形式，在解題過程中注意變通處理。如

實踐應(yīng)用，回歸課本：例如高等數(shù)學(xué)同濟第七版教材122頁總習(xí)題二的第3題。

A項;表示單側(cè)極限;

B和C項：由導(dǎo)數(shù)定義，分子必須是對應(yīng)于自變量的函數(shù)改變量，而B和C項中分子上函數(shù)兩點的差值與函數(shù)在點的函數(shù)值沒有關(guān)系，即使計算出極限值，也不一定是在點的導(dǎo)數(shù)，如函數(shù)

可以計算出極限值，但由于函數(shù)在點處不連續(xù)，故不可導(dǎo)。

D項：成立。

問題3：類比產(chǎn)生問題 ?類比極限存在充要條件，導(dǎo)數(shù)是否也是有充要條件？回顧極限存在的充要條件（左右極限存在且相等），引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)（一類特殊的極限）分析函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。

當(dāng)時，有，由極限存在的充分必要條件可知，函數(shù)的左、右極限都存在且相等，亦即在處可導(dǎo)的充分必要條件是

左導(dǎo)數(shù)存在，且值為，

右導(dǎo)數(shù)存在，且值為。

在可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，都存在且相等。

以問題為導(dǎo)向，引出內(nèi)容。左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)，多用于求解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。

但需要注意的是，當(dāng)左右導(dǎo)數(shù)都存在，但時，導(dǎo)數(shù)不存在。如函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，但兩者不相等，故在處不可導(dǎo)。

（1）關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)幾個問題。

在結(jié)束了函數(shù)在點的可導(dǎo)性問題討論，類比函數(shù)在討論了在點的連續(xù)，接著是討論了在區(qū)間的連續(xù)性，那么函數(shù)在有限區(qū)間可導(dǎo)性是怎樣的？（可由學(xué)生先類比總結(jié)，教師在完善。）

①若函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，從而對，為一個映射，再有極限的唯一性可知，是關(guān)于的一個函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。

② 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，則可得

。

2.4問題驗證高中結(jié)論，問題應(yīng)用、解決質(zhì)疑，教學(xué)內(nèi)容問題化

高中對極限理解不透側(cè)，大多數(shù)學(xué)生對 “導(dǎo)數(shù)是斜率”問題是知其能，而不知其所以能。用數(shù)學(xué)語言可定量的描述為已知曲線函數(shù)，求在點處的切線。

首先要先明確什么是切線？回顧初高中所學(xué)平面解析幾何中，圓的切線定義為“與曲線只有一個交點的直線”，但擴展開來，對所有曲線而言此定義顯然不妥，比如拋物線，軸與軸都與拋物線有1個交點，但顯然軸不是拋物線的切線。那么什么是曲線的切線呢？

曲線上有一點，在外另取曲線上一點，當(dāng)點沿曲線無限趨近于時，割線繞點旋轉(zhuǎn)而趨近于極限位置，即觀察割線傾斜角由逐漸趨向于，故有，當(dāng)時，，假設(shè)極限存在，則用此定義曲線在點的切線斜率為：

。

通過引例問題的研究，總結(jié)教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，幾何上表示為曲線在點處的切線的斜率，即。

2.5由問題產(chǎn)生新知識，真題演練

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點斜式方程，知曲線在點處的切線方程為;

法線斜率為：，

法線方程為：

例如：高等數(shù)學(xué)同濟第七版教材中例8，求雙邊曲線在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。

分析根據(jù)題意，要求曲線上某點處的切線斜率，按照導(dǎo)數(shù)的概念，求出在該點處的導(dǎo)數(shù)即可，即斜率為

，

從而可求出切線方程，化簡得;由于法線斜率為切線斜率的負倒數(shù)，則，從而求得法線方程為，化簡得。

2.6類比產(chǎn)生問題，總結(jié)結(jié)論

回顧極限與連續(xù)的關(guān)系，產(chǎn)生新問題“連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是怎樣？”

解決問題的方法：假設(shè)推理。

函數(shù)在點處可導(dǎo)，即有，則根據(jù)無窮小定義可知：當(dāng)時，（為時的無窮?。?/p>

即，

從而，函數(shù)在點處可導(dǎo)，必有函數(shù)在點處連續(xù)。

但反之，則不一定，如函數(shù)（即）在區(qū)間上連續(xù)，但在在處不可導(dǎo)。再如在區(qū)間上連續(xù)，但在在處不可導(dǎo)。

函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性得關(guān)系為：可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。

3總結(jié)與思考

問題教學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念中的應(yīng)用通過研究求變速直線運動速度的物理問題和求切線斜率的幾何問題，發(fā)現(xiàn)其在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和空間形式上具有共性，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某點變化率的極限來解決問題，從而歸納總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的定義，將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髮?dǎo)問題，在課堂上并對導(dǎo)數(shù)的定義所涉及的問題進行注釋說明，從而加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解與把握。

問題教學(xué)的教育教學(xué)功要真正有效的顯現(xiàn)出來，需要教師潛心教研、學(xué)生熱情的參與，相對于普通高校、學(xué)生與教師，軍校特殊性使得問題教學(xué)的研究和教學(xué)會更加的任重道遠。

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