基于三種最優(yōu)控制方法的磁懸浮球軌跡跟蹤方法

陳興賢 余偉

摘要：詳細(xì)介紹了磁懸浮球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，提出了磁懸浮球系統(tǒng)的物理模型和數(shù)學(xué)模型，并以此為依據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制方案的選擇，最后在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立了系統(tǒng)仿真模型以研究控制系統(tǒng)的軌跡跟蹤及輸入信號的性能指標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)對磁懸浮球系統(tǒng)的快速，精準(zhǔn)，穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制，提出了基于三種不同控制方法設(shè)計(jì)一種為基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置和兩種PID最優(yōu)控制模型，以實(shí)現(xiàn)對軌跡跟蹤穩(wěn)定更加完美的實(shí)現(xiàn)，并通過仿真實(shí)驗(yàn)分析對比幾種控制器的性能指標(biāo)，進(jìn)而對整體控制方案設(shè)計(jì)給予合理性建議。實(shí)驗(yàn)表明，三種控制方法雖然在控制方向和目的上各有偏頗，但是都可以穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，而且都可以通過對控制器的相關(guān)指標(biāo)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性指標(biāo)。

關(guān)鍵詞：磁懸浮球系統(tǒng);最優(yōu)控制;極點(diǎn)配置;Simulink仿真

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）22-0010-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

磁懸浮技術(shù)是集電磁學(xué)、控制工程、信號處理、機(jī)械學(xué)、動(dòng)力學(xué)等多門學(xué)科于一體的新型高科技技術(shù)。磁懸浮技術(shù)因其無接觸、無摩擦等特點(diǎn)而具有能耗低、污染小、噪聲小等優(yōu)點(diǎn)，因此在各領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

本文就基于磁懸浮球系統(tǒng)本身的不穩(wěn)定性出發(fā)，研究非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)跟蹤目的研究的一般方法。首先，從極點(diǎn)配置理論出發(fā)，通過狀態(tài)反饋器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，從而達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。接著，從控制目標(biāo)的角度研究極點(diǎn)的選擇，即提出最優(yōu)控制方法。進(jìn)而采用誤差指標(biāo)最小化函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)控制結(jié)合極點(diǎn)配置思想使系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下提出兩種最優(yōu)控制模型，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制目標(biāo)。最后通過MAT-LAB提供的實(shí)驗(yàn)?zāi)M仿真實(shí)驗(yàn)對控制效果進(jìn)行模擬仿真，通過對比提出關(guān)于磁懸浮球跟蹤系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案。

1 磁懸浮球系統(tǒng)工作原理

如圖1所示為磁懸浮球控制系統(tǒng)的基本控制流程圖模型。

由于磁懸浮球控制系統(tǒng)本身的不穩(wěn)定，使得閉環(huán)控制成為必然。上述實(shí)驗(yàn)裝置是通過傳感器實(shí)時(shí)獲取小球位置信號x（t），接著，通過感受x{t）的變化來指導(dǎo)控制器產(chǎn)生控制信號u，然后，驅(qū)動(dòng)器會(huì)跟蹤感受到的控制信號u實(shí)時(shí)控制其產(chǎn)生的控制繞組產(chǎn)生所需電流i（t），進(jìn)而以此來控制電磁鐵產(chǎn)生電磁力的大小。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)信號，比如，當(dāng)小球受到干擾向下偏離目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，位置信號x（t）會(huì)跟著實(shí)時(shí)變化增大，與此同時(shí)傳感器傳遞給控制器的信號增大，使其輸出信號u增大。隨著控制信號u的變化，驅(qū)動(dòng)器跟著變化，處理后控制電流變化，進(jìn)而指導(dǎo)繞組產(chǎn)生更大的電磁力，最后小球被吸回平衡位置，此時(shí)小球又會(huì)回到控制目標(biāo)。如此反復(fù)從而形成一個(gè)閉環(huán)控制流程。

本文將以小球位移x（t）為輸出，電壓u為輸入進(jìn)行控制設(shè)計(jì)。

2 磁懸浮球控制系統(tǒng)的一般物理模型的建立

本文選取其中一種磁懸浮小球控制系統(tǒng)的系統(tǒng)空間模型進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。

選取的空間狀態(tài)模型為：

3 線性控制器設(shè)計(jì)

由于磁懸浮球系統(tǒng)本身的不穩(wěn)定性，首先提出極點(diǎn)配置控制思想，設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定。進(jìn)而分析此時(shí)的磁懸浮球系統(tǒng)是否可以完成軌跡的跟蹤的目的。

不僅如此，本文還基于軌跡跟蹤目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計(jì)誤差最優(yōu)化函數(shù)，提出最優(yōu)PID控制器。

3.1 極點(diǎn)配置控制

已知狀態(tài)空間模型，設(shè)計(jì)狀態(tài)負(fù)反饋，控制輸入為：

為了驗(yàn)證系統(tǒng)極點(diǎn)分布對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，可在MATLAB/Simulink中建立模型來進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)。

3.2 最優(yōu)PID控制一基于ISE，ITAE控制的最優(yōu)PID控制器

經(jīng)上述分析可知，對于軌跡跟蹤問題，僅僅是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制顯然不足以描述跟蹤全貌。軌跡跟蹤的核心研究應(yīng)該是控制軌跡與目標(biāo)軌跡的貼合度，即誤差控制?；谧顑?yōu)控制思想，最優(yōu)控制可以使軌跡跟蹤系統(tǒng)按照控制跟蹤誤差最小化的目標(biāo)要求進(jìn)行最優(yōu)化控制，在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，提出基于ISE，ITAE控制方法的最優(yōu)PID控制器。

最優(yōu)PID控制器的傳遞函數(shù)為：

式中，Kp為比例系數(shù);Ki為積分系數(shù);Kd為微分系數(shù)。

PID控制器則是集中體現(xiàn)比例，積分，微分控制器的優(yōu)點(diǎn)，所以用于設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器十分合適。

ISE控制選用性能指標(biāo)為動(dòng)態(tài)誤差信號的積分指標(biāo)為：

即ISE為同等時(shí)間處理各個(gè)時(shí)刻的誤差。

所以，ISE控制思想為在系統(tǒng)穩(wěn)定前提下尋求控制軌跡跟蹤的誤差最小化，即軌跡跟蹤的貼合度最大化。

ITAE控制器選用性能指標(biāo)為動(dòng)態(tài)誤差信號的積分指標(biāo)

則ITAE對時(shí)間加權(quán)，時(shí)間t大，會(huì)迫使誤差降下來。其余設(shè)計(jì)與上述ISE控制器設(shè)計(jì)類似。

所以，lTAE控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)與ISE控制器目標(biāo)一致，都是求跟蹤軌跡的最優(yōu)曲線。具體計(jì)算可以借助MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算功能進(jìn)行最優(yōu)PID控制器三個(gè)參數(shù)的計(jì)算。進(jìn)而，設(shè)計(jì)Simulink仿真模型。

最優(yōu)PID控制的伺服控制框圖如圖2所示。

其中G（s）為已經(jīng)經(jīng)過極點(diǎn)配置的穩(wěn)定的磁懸浮球控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù);Gc（s）為最優(yōu)控制器傳遞函數(shù)，控制器描述為

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 極點(diǎn)配置法

Simulink中的仿真模塊圖為圖3所示。圖4為極點(diǎn)配置在-10，-10使，若初始時(shí)刻系統(tǒng)存在幅值為5的擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)想響應(yīng)曲線。由響應(yīng)曲線可知，經(jīng)過極點(diǎn)配置系統(tǒng)的運(yùn)行可以保持穩(wěn)定，即極點(diǎn)配置的目的達(dá)到。圖5為極點(diǎn)配置在-10，一10;-20，-20時(shí)對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線，由圖可知，兩條曲線都可以達(dá)到穩(wěn)定系統(tǒng)的效果，但是都不能很好跟蹤目標(biāo)曲線。

4.2 ISE控制器與ITAE控制器

圖6為最優(yōu)PID控制器對應(yīng)的系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖。兩種最優(yōu)PID控制的實(shí)驗(yàn)將選取極點(diǎn)配置在-20，-20時(shí)的穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，跟蹤，觀察，控制，且其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄于圖2。

Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖7所示。

其中，Matlab中程序設(shè)計(jì)為：

ISE指標(biāo)：（K4為極點(diǎn)配置在-20， -20時(shí)的穩(wěn)定系統(tǒng)）

1），函數(shù)

function y=c7fOpt（x，s，G，t）

Gc=x（1）+x（2ys+x（3）*s;E=1/（ I+G*Gc）;

yO=step（E，t）;y=sum（y0.^2）*（t（2）-t（l》;

2）matlab工作空間

s=tf（‘s）;

>> G=tf（ss（A-B*K4，B，C，D》

>> t=0：0.02：30;x=fminunc（@c7fOpt，[l，l，l]，optimset，s，G，t）

ITAE性質(zhì)指標(biāo)：

function y=c7fOpt2（x，s，G，t）

Cc=x（l）+x（2ys+x（3）*s;E=1/（I+G*Gc）;

yO=step（E，t）;y=t8abs（y0）8（t（2）一t（1））;

工作空間：

x=fminunc（@c7fOpt2，[1，1，1]，optimset，s，GJ）

4.3 軌跡跟蹤控制對比

由響應(yīng)曲線圖，圖8，圖9可知，極點(diǎn)配置方法通過改變特征值（即開環(huán)極點(diǎn)）可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，但是在軌跡跟蹤上始終存在設(shè)計(jì)誤差;而最優(yōu)PID控制器在極點(diǎn)配置的思路上進(jìn)行誤差最小化處理，即在系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤的基礎(chǔ)上更加貼合目標(biāo)軌跡，使控制系統(tǒng)更加接近控制目標(biāo)。

從圖8也可以看出，進(jìn)行極點(diǎn)配置可使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但是都沒能實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤的目的;與此同時(shí)選擇不同的最優(yōu)控制性能指標(biāo)，都可以在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤的基礎(chǔ)上通過對系統(tǒng)誤差的調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)精度的提升，但是其最終系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定誤差范圍在選擇不同控制函數(shù)的選擇上也有所不同?？梢钥吹剑贗SE指標(biāo)控制設(shè)計(jì)下，響應(yīng)曲線存在毛刺，而在ITAE指標(biāo)控制設(shè)計(jì)下，軌跡跟蹤目標(biāo)可以相對完整地體現(xiàn)出來。

5 總結(jié)

本文首先通過對磁懸浮球控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型進(jìn)行簡單分析，得知磁懸浮球控制系統(tǒng)本身存在極點(diǎn)位于復(fù)平面右半平面的情況，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)可知系統(tǒng)不穩(wěn)定。

一開始，對系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析得知磁懸浮小球系統(tǒng)完全可控，利用極點(diǎn)配置思想，使不穩(wěn)定的磁懸浮球系統(tǒng)通過設(shè)計(jì)系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點(diǎn)移動(dòng)到指定位置（即復(fù)平面左半平面），使其穩(wěn)定。此時(shí)分析系統(tǒng)是否可以達(dá)到軌跡跟蹤的目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)極點(diǎn)配置可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，但是軌跡跟蹤的誤差非常大。

緊接著，在控制方法角度切換，結(jié)合極點(diǎn)配置思想和最優(yōu)控制思想，提出最優(yōu)PID控制器。并設(shè)計(jì)出兩種最優(yōu)誤差控制函數(shù)-ISE，ITAE。進(jìn)而通過在MATLAB中設(shè)計(jì)計(jì)算算法，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)PID控制器的相應(yīng)指標(biāo)。

最后，本文采用軟件Simulink進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真得到不同參數(shù)下的輸出響應(yīng)，進(jìn)而進(jìn)行了相關(guān)數(shù)據(jù)分析。試驗(yàn)表明，兩種控制方法雖然在設(shè)計(jì)的目的和方向上存在差異，但是都可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】

基金項(xiàng)目：國家基金項(xiàng)目編號：61803086

作者簡介：陳興賢（1998-），女，本科生，主要研究方向：電氣工程及其自動(dòng)化;通訊聯(lián)系人：余偉（1983-），男，講師，主要研究方向：系統(tǒng)建模和智能控制算法。