集合與函數(shù)常見(jiàn)典型考題賞析

張文偉

題型1：集合概念與集合間的基本關(guān)系

(1)與集合概念有關(guān)問(wèn)題的求解策略：①確定構(gòu)成集合的元素是什么，即確定性。②看這些元素的限制條件是什么，即元素的特征性質(zhì)。③根據(jù)元素的特征性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍，或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性。(2)判斷集合間關(guān)系的常用方法：列舉法，結(jié)構(gòu)法，數(shù)軸法。(3)集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)：含有n(n∈N*)個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有2n-1 個(gè)非空子集，有2n-1 個(gè)真子集，有2n-2個(gè)非空真子集。

例1設(shè)集合A={0，1，2，3}，集合B={x|-x∈A，1-x?A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：若x∈B，則-x∈A，故x只可能是0，-1，-2，-3。當(dāng)0∈B時(shí)，1-0=1∈A；當(dāng)-1∈B時(shí)，1-(-1)=2∈A；當(dāng)-2∈B時(shí)，1-(-2)=3∈A；當(dāng)-3∈B時(shí)，1-(-3)=4?A。所以B={-3}，故集合B中元素的個(gè)數(shù)為1。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練1：設(shè)集合M={x|x=2m+1，m∈Z}，P={y|y=2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a=x0+y0，b=x0y0，則( )。

A.a∈M，b∈P

B.a∈P，b∈M

C.a∈M，b∈M

D.a∈P，b∈P

提示：設(shè)x0=2n+1，y0=2k，n，k∈Z，則x0+y0=2n+1+2k=2(n+k)+1∈M，x0y0=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P，即a∈M，b∈P，應(yīng)選A。

題型2：集合的基本運(yùn)算

這類(lèi)問(wèn)題的求解思路是：先化簡(jiǎn)集合，再由交集、并集、補(bǔ)集的定義求解。求解的思想是：數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，即利用數(shù)軸、Venn圖等。

例2已知集合A，B均為全集U={1，2，3，4}的子集，且?U(A∪B)={4}，B={1，2}，則A∩(?UB)=____。

解：由題意可知，A∪B={1，2，3}。由B={1，2}，可 得?UB={3，4}，所 以A∩(?UB)={3}。

跟蹤訓(xùn)練2：已知集合A={x|-2≤x＜3}，B={x|x＜-1}，則A∩(?RB)=____。

解：因?yàn)锽={x|x＜-1}，則?RB={x|x≥-1}，所以A∩(?RB)={x|-2≤x＜3}∩{x|x≥-1}={x|-1≤x＜3}。

題型3：由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)

這類(lèi)問(wèn)題不能忽視空集的情形，當(dāng)集合中含有參數(shù)時(shí)，需要分類(lèi)討論。由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的方法：①當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論；②當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來(lái)建立不等關(guān)系求解，此時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)。

例3已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|1＜x＜m}(m＞1)，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

解：由B?A，結(jié)合題意，畫(huà)出數(shù)軸，如圖1所示。

圖1

由圖可知，m≤4。

因?yàn)閙＞1，所以1＜m≤4。

跟蹤訓(xùn)練3：已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，BA，求實(shí)數(shù)m的值。

題型4：與集合有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題

以集合為背景的創(chuàng)新問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，這類(lèi)題型常以問(wèn)題為核心，考查考生探究、發(fā)現(xiàn)的能力，常見(jiàn)的命題形式有新定義、新運(yùn)算等。對(duì)于新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決。對(duì)于這類(lèi)選擇題，可以結(jié)合選項(xiàng)通過(guò)驗(yàn)證，用排除、對(duì)比、特值等方法求解。

例4已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0}，B={1，3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}。則A*B中的所有元素之和為( )。

A.15 B.16

C.20 D.21

解：由x2-2x-3≤0，可得-1≤x≤3。因?yàn)閤∈N，故集合A={0，1，2，3}。由A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，可 得A*B中的元素有0+1=1，0+3=3，1+1=2，1+3=4，2+1=3(舍去)，2+3=5，3+1=4(舍去)，3+3=6，所以A*B={1，2，3，4，5，6}，可得A*B中的所有元素之和為21。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練4：定義集合M與N的新運(yùn)算：M⊕N={x|x∈M或x∈N且x?M∩N}，則(M⊕N)⊕N=( )。

A.M∩NB.M∪N

C.MD.N

提示：由定義可知，M⊕N表示圖2 中的陰影部分，兩圓內(nèi)部的公共部分表示M∩N。

圖2

由于(M⊕N)⊕N表示x∈(M⊕N)或x∈N且x?(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的陰影部分，因此(M⊕N)⊕N=M。應(yīng)選C。

題型5：求函數(shù)的定義域

(1)常見(jiàn)函數(shù)定義域的基本要求：分式函數(shù)中分母不等于0，偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，y=x0的定義域是{x|x≠0}。(2)求抽象函數(shù)的定義域的策略：若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域。(3)求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問(wèn)題：不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化；定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接。

題型6：已知函數(shù)的定義域求參數(shù)

已知函數(shù)的定義域求參數(shù)問(wèn)題的解題步驟：①調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問(wèn)題；②根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍。

題型7：函數(shù)的表示法

函數(shù)的表示方法有三種，即解析法、列表法和圖像法。同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示。

題型8：分段函數(shù)

分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集。

題型9：函數(shù)的最值

函數(shù)最值存在的兩個(gè)結(jié)論：①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得；②開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值。求函數(shù)最值的常用方法：f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，解題時(shí)，要?jiǎng)?wù)必注意“=”的取舍。

題型10：函數(shù)的奇偶性及圖像特征

函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論：①如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0；②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型，即f(x)=0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非空數(shù)集；④奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。與函數(shù)奇偶性有關(guān)的幾個(gè)對(duì)稱(chēng)性的結(jié)論：若函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)；若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)；若f(x)=f(2a-x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)；若f(x)+f(2a-x)=2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)。

例10已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0 時(shí)，f(x)=x+1，則 當(dāng)x＞0 時(shí)，f(x)=____。

解：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，可得f(-x)=-x+1。又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=-x+1。

跟蹤訓(xùn)練10：已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是_____。

題型11：函數(shù)的周期性

題型12：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用的常見(jiàn)題型有：判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；解函數(shù)不等式；求參數(shù)的取值范圍。

題型13：函數(shù)最值的求法

題型14：函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用

判斷函數(shù)奇偶性常見(jiàn)的三種方法：①定義法，先確定定義域，再計(jì)算f(-x)，最后確定f(x)與f(-x)的關(guān)系。②圖像法，由f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知f(x)為奇函數(shù)，由f(x)的圖像關(guān)于y對(duì)稱(chēng)，可知f(x)為偶函數(shù)。③性質(zhì)法，設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

B.f(80)＜f(11)＜f(-25)

C.f(11)＜f(80)＜f(-25)

D.f(-25)＜f(80)＜f(11)

提示：因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù)。又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，所 以f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期為8。因此f(-25)=f(-1)＜f(0)=f(80)＜f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1)。應(yīng)選D。

題型15：函數(shù)性質(zhì)的交匯應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常將它們綜合在一起命題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主。這類(lèi)問(wèn)題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。