淺談二次函數(shù)中動點(diǎn)探究

梁和

◆摘 ?要：動點(diǎn)問題一直是初中階段的熱點(diǎn)問題，近幾年來的中考過程中，對學(xué)生的動點(diǎn)問題考察層出不窮。在中學(xué)階段二次函數(shù)的動點(diǎn)問題一直被學(xué)生成為“頑固分子”這就需要配教師在教學(xué)的過程中，結(jié)合實(shí)際的例題來為學(xué)生進(jìn)行分析，從而總結(jié)出二次函數(shù)動點(diǎn)問題的解題思路，幫助學(xué)生更好的解決二次函數(shù)動點(diǎn)問題。

◆關(guān)鍵詞：二次函數(shù);動點(diǎn)問題;數(shù)學(xué)教學(xué)

在初中的數(shù)學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)知識分為了來能夠大部分，分別為幾何與函數(shù)。但是二次函數(shù)動點(diǎn)問題的出現(xiàn)，將這兩方面的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了整合，使得學(xué)生在進(jìn)行二次函數(shù)的動點(diǎn)問題解決時(shí)，能夠融入相應(yīng)的幾何知識。因此這種綜合式的考察方法，能夠幫助學(xué)生更好的將數(shù)學(xué)作為一整個(gè)完整的體系來進(jìn)行學(xué)習(xí)。以下是幾種常見的二次函數(shù)動點(diǎn)問題。

一、二次函數(shù)動點(diǎn)構(gòu)建直角三角形

一直二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象分別與x軸交于點(diǎn)A（3，0），C（-1，0）與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，首先求出二次函數(shù)的關(guān)系式，其次求出在X軸上取動點(diǎn)P（m，0）且1

本題一共分為了三個(gè)部分，第一部分是求出二次函數(shù)的關(guān)系式，在解題的過程中，只需要將A點(diǎn)的坐標(biāo)以及C點(diǎn)的坐標(biāo)帶入原題當(dāng)中已經(jīng)給出的函數(shù)方程式這樣就能夠得出二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2+2x+3。

在第二部分的解題過程中，我們已知動點(diǎn)的取值范圍以及在第一部分解出的方程式，并且知道點(diǎn)。因此我們可以通過帶入，找到點(diǎn)D的具體坐標(biāo)：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4這樣得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。然后設(shè)線段A表所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+c然后分別將A點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0）以及C點(diǎn)的坐標(biāo)（-1，0）進(jìn)行帶入，得出函數(shù)關(guān)系式：y=-x+3同理可知線段AD所在的直線關(guān)系是為y=-2x+6。原題中給出了點(diǎn)p的坐標(biāo)為（m，0）點(diǎn)E的坐標(biāo)就是（m，-m+3）點(diǎn)F的坐標(biāo)就是（m，-2m+6）因此得出EP之間的距離為-m+3，EF之間的距離為-m+3從而得知EF=EP。

在第三部分的解答過程中，就可以通過構(gòu)建直角三角形來解決。

我們可以鏈接BC，過點(diǎn)R做RQ⊥BC，垂足為Q。這樣在二次函數(shù)當(dāng)中就出現(xiàn)了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)是RT△CQA，一個(gè)是RT△BCO。我們知道C的坐標(biāo)為（-1，0）這樣就能夠得到OC=1，OB=3根據(jù)勾股定理可以得知，BC為的距離，并且通過兩個(gè)直角三角形得知△BQR與△AOB為相似三角形，進(jìn)一步求得RQ與BR之間的關(guān)系，從而得知當(dāng)A，R，Q三點(diǎn)共線時(shí)，值最小、這樣救恩能夠通過相似三角形的定理來解出最小值。

二、二次函數(shù)動點(diǎn)構(gòu)建特殊四邊形

在二次函數(shù)的動點(diǎn)問題解決過程中，學(xué)生還會遇到與四邊形相關(guān)的內(nèi)容，這時(shí)學(xué)生就需要根據(jù)自己的所學(xué)內(nèi)容，來構(gòu)建一個(gè)特殊的四邊形。

如圖，已知拋物線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是A（-4，0）B（-2，0）E（0，8）求拋物線C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C2的解析式;設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為N，四邊形MDVA的面積為S.若點(diǎn)A，點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動，與此同時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止。求出四邊形MDN4的面積S與運(yùn)動時(shí)間1之間的關(guān)系式，并寫出自變量1的取值范圍;當(dāng)1為何值時(shí)，四邊形MDN4的面積S有最大值。

在這一題當(dāng)中總共分為了四個(gè)部分。在第一部分解答過程中，可以先確定點(diǎn)A，B，E關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)D，C，F(xiàn)通過這六個(gè)點(diǎn)，帶入拋物線C2的解析式從而得出拋物線的解析式：y=-x2+6x-8。

在第二部分的解題過程中，由（1）的結(jié)果可以算出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)：M（-3，-1）N（3，1）然后添加輔助線過點(diǎn)N作NH⊥AD，垂足為H當(dāng)運(yùn)動到時(shí)刻t使，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t。根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知MDNA組成了一個(gè)平行四邊形。這樣就能夠通過平行四邊形的面積來計(jì)算出點(diǎn)t的取值范圍。

在第三部分的解答過程中直接將t的取值范圍帶入到計(jì)算公式當(dāng)中即可。在第四部分的解答過程中，主要考察動點(diǎn)以及舉行的定義。因此可以通過AD=AM來證明四邊形MDNA為矩形，從而解出t的值。

三、二次函數(shù)動點(diǎn)構(gòu)建等角三角形

如圖，已知拋物線y=-=x2+hx+c與坐標(biāo)軸交于ABC三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，過點(diǎn)C（0.3）的直線y=-3/4tx+3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)PH⊥OB于點(diǎn)H.若PB=5t，且0<1<1.確定b，c的值;寫出點(diǎn)B.Q.P的坐標(biāo)（其中Q.P用含t的式子表示）;依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？

這一題考查了函數(shù)、相似性代數(shù)、幾何知識等問題，尤其是在第三部分，主要是對于等腰三角形的分類討論。這一類的二次函數(shù)動點(diǎn)問題相對解法較多，學(xué)生在解決問題的過程中可以嘗試著用多種方式進(jìn)行解答。

第一部分通過帶入可知b=9/4，c=3，第二部分為B（4，0）Q（4t，0）P（4-4t，3t）第三部分t的值會有三種不同的情況：

第一種情況是PQ=PB，這時(shí)PH與OB垂直，GH=HB所以t的值為1/3

第二種是PB=QB這時(shí)t的值為4/9

第三種使PQ=BQ，在這種情況下，我們可以用三種方式進(jìn)行解答：

第一種，可以過點(diǎn)Q做輔助線QD⊥BP，通過PQ=QB可以得出BD的距離，然后根據(jù)相似三角形的定理，可以得出t的值。

第二種，做RT△OBC的斜邊中線OE這樣的值OE與BE相等，從而△OEB與△PQB為相似三角形，同樣也能得知t的值。

第三種，在RT△PHQ中有OH2+PH2=PQ2所以可以求出t的值

近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，二次函數(shù)的動點(diǎn)問題一直以壓軸題的形式出現(xiàn)，同時(shí)也是將幾何與函數(shù)進(jìn)行融合的一種題型，因此教師可以將此作為一個(gè)獨(dú)立模塊對學(xué)生進(jìn)行針對性的教學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識點(diǎn)掌握。

參考文獻(xiàn)

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[2]鄭博文.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題的教學(xué)策略研究[J].課程教育研究，2019（45）：131.