兩種方法巧解“水池排水時間”問題

張 偉

(重慶市萬州高級中學(xué) 重慶 404120)

【例題】如圖1所示，一底面積為S，高為H的圓柱形水池裝滿水(視作理想流體)，在水池底部側(cè)面有一橫截面積為S0(S0?S)的小孔(小孔的線度遠(yuǎn)小于H)，在只考慮重力的情況下，求水全部流完所需要的時間.(已知重力加速度為g)

圖1 例題題圖

1 競賽層面 用伯努利方程和微積分的方法

由于水從小孔流出導(dǎo)致液面下降，設(shè)液面下降的速度為v1,從小孔中流出水的速度為v2(如圖2)，由于液體不可壓縮，在一個極短的時間Δt內(nèi)滿足

圖2 例題微積分法求解分析

v1ΔtS=v2S0Δt

(1)

解得

(2)

選擇小孔處為零勢能面，某一時刻液面到小孔的高度為h，由伯努利方程得[1]

(3)

式(3)中，P0表示大氣壓，ρ表示水的密度.

由于S0?S，式(2)中v1近似等于零，則可通過式(3)解得

(4)

設(shè)在dt時間內(nèi)，液面高度變化(末態(tài)高度與初始高度的差值)為dh(dh<0)，由于液體不可壓縮，則

-Sdh=S0v2dt

(5)

將式(4)代入式(5)，得

(6)

對式(6)兩邊同時積分，得

(7)

得

(8)

解得

2 高考層面 運用能量守恒和平均值法巧解

由前面式(1)、式(2)和S0?S，得v1近似等于零，可認(rèn)為在極短的時間Δt內(nèi)，液面下降的高度Δh?h，液面處質(zhì)量為Δm的一層很薄的水層(如圖3)下降時具有的動能為零.

圖3 例題能量守恒法求解分析

根據(jù)能量守恒定律，液面下降時薄水層減少的重力勢能應(yīng)該轉(zhuǎn)化為從小孔流出去時水的動能，即

(9)

解得

(10)

式(10)表明，水從小孔流出的速度和物體從高h(yuǎn)處做自由落體運動的末速度是一樣的.

圖4 v2-t圖

(11)

由于液體不可壓縮，可得

(12)

將式(11)代入式(12)，解得

3 結(jié)束語

本文分別從伯努利方程和能量守恒、平均值法來巧解“水池排水時間”的問題[2].在物理教學(xué)中，多和學(xué)生進(jìn)行這樣的分析討論，無論對于提升學(xué)生的理論水平、分析能力，還是對于提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)的興趣，都能起到較大的推動作用.