簡(jiǎn)單后，何處增補(bǔ)？

張霞

[摘要]對(duì)于簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，教師不能只是在教學(xué)內(nèi)容上、習(xí)題上做增補(bǔ)，還需要考慮作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生的“內(nèi)部目標(biāo)”。以“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”教學(xué)為例，通過(guò)分析問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果提出教學(xué)設(shè)想，并給出最終的增補(bǔ)教學(xué)方案。

[關(guān)鍵詞]簡(jiǎn)單;增補(bǔ);分?jǐn)?shù)乘整數(shù)

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 29-0016-03

“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)“是蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”單元的第一課時(shí)。從教材上看，這節(jié)課的主要內(nèi)容是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義、算法和算理。說(shuō)它簡(jiǎn)單，是因?yàn)楸菊n所涉及的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義，相對(duì)于前期所學(xué)并無(wú)拓展;而分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法和算理，學(xué)生有整數(shù)乘法、小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以直接遷移運(yùn)用。因此，我們預(yù)估，此課的教學(xué)內(nèi)容相對(duì)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平較為簡(jiǎn)單。是否真是如此？我們做了問(wèn)卷調(diào)查：

[問(wèn)卷設(shè)計(jì)意圖]

問(wèn)卷1：著重調(diào)查學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義之前，能否利用整數(shù)乘法的意義列出分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的算式。問(wèn)卷2：著重調(diào)查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的算法的直覺(jué)，及其初步的算理分析能力。

[問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果]

問(wèn)卷1的結(jié)果表明，學(xué)生能夠直接利用學(xué)習(xí)整數(shù)乘法、小數(shù)乘法的經(jīng)驗(yàn)，在遇到較復(fù)雜的“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”時(shí)，自動(dòng)地列出乘法算式。問(wèn)卷2的結(jié)果表明，學(xué)生遇到從未碰到過(guò)的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的新計(jì)算時(shí)，34.7%的學(xué)生會(huì)主動(dòng)運(yùn)用乘法的意義，把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)乘法轉(zhuǎn)換成“幾個(gè)相同加數(shù)的和”來(lái)計(jì)算結(jié)果。由此可知：分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法的意義，學(xué)生能夠直覺(jué)理解，更能夠主動(dòng)運(yùn)用。

問(wèn)卷2的結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法有著天然的直覺(jué)。在計(jì)算第①題時(shí)，就有28.6%的學(xué)生直接運(yùn)用“分子與整數(shù)相乘的積作分子、分母不變”的方法計(jì)算;對(duì)于第③題，遇到“想加算乘”的計(jì)算方法不再便利時(shí)，65.3%的學(xué)生能夠直接用乘法正確計(jì)算。通過(guò)訪談得知，部分學(xué)生能從前兩題的計(jì)算結(jié)果中確定分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法;大部分學(xué)生在“想加算乘”與“畫(huà)圖形法”的方式行不通時(shí)，能利用數(shù)學(xué)

直覺(jué)得出“（

）”三種不同的計(jì)算方式，又由于25和4可以湊整的關(guān)系，誤用“分母乘整數(shù)作分母”的錯(cuò)誤率明顯上升。這說(shuō)明學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法有一定的直覺(jué)，但不夠穩(wěn)定，容易錯(cuò)位。

面對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，我們提出教學(xué)設(shè)想：

①分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算意義，不教，直接用;②未學(xué)先知的算法，讓學(xué)生自己探究驗(yàn)證;③算法、算理，置于乘法運(yùn)算的大視域下貫通。

【教學(xué)過(guò)程】

一、呈現(xiàn)課題，問(wèn)題導(dǎo)路

出示課題：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。

師：怎樣算？為什么這樣算？

二、直覺(jué)猜想，啟動(dòng)探究

師：既然研究分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)，我們需要用一些例子來(lái)作為研究的樣本，請(qǐng)說(shuō)一道分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的例子？

師：憑直覺(jué)，你認(rèn)為分?jǐn)?shù)乘整數(shù)該怎樣計(jì)算？

師：大膽猜想，小心求證。經(jīng)過(guò)篩選，我們就可以集中注意力進(jìn)行“小心求證”了。是不是真如你們所想，第①種猜想是合理的呢？

師：對(duì)于你們剛給出的3道題“2/7×3、3/10×7、5/8×4”，請(qǐng)任選一題，用你覺(jué)得可靠的方法算出結(jié)果，然后和猜想①進(jìn)行對(duì)比。

（設(shè)計(jì)意圖：變“教學(xué)內(nèi)容”為學(xué)生的“大膽的猜想”，激發(fā)學(xué)生“自我證實(shí)”的需求，以此驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究，有效地變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”;把“怎么算”的問(wèn)題落實(shí)到一道具體的計(jì)算題上，化抽象為具體，讓學(xué)生易于把握;先篩選再驗(yàn)證，減量后再前行，便于集中精力突破難點(diǎn);選擇學(xué)生自己舉的例子，看似隨意，實(shí)為精選：學(xué)生自創(chuàng)素材是學(xué)生最感興趣的，精選的3題分別對(duì)應(yīng)著化成加法計(jì)算、化成小數(shù)乘法計(jì)算、算后需要約分這三種類型，覆蓋全部教學(xué)目標(biāo)。）

三、多法并舉，驗(yàn)證猜想

1.畫(huà)圖法

生1：我求的是2/7×3。（出示圖1）通過(guò)畫(huà)圖，我得到的答案是6/7。

師：你能夠利用畫(huà)圖策略來(lái)解決，真好！我們的猜想是a/b×n=a×n /b，分母不變，分子乘整數(shù)，從圖中，可以看出分子2乘整數(shù)3嗎？

生2：可以的，每次涂2份，涂了3次，一共涂了2x3份。

師：那圖上能說(shuō)明為什么分母不變嗎？

生3：平均分的份數(shù)沒(méi)變。

生4.分?jǐn)?shù)單位始終是1/7。

師：是的，平均分的份數(shù)沒(méi)變，也就是分?jǐn)?shù)單位不變，所以分母不變?；乜串?huà)圖的過(guò)程，每次涂2份，涂3次，這個(gè)過(guò)程恰巧就是我們猜想中的“分子乘整數(shù)作分子”;而涂色過(guò)程并不改變平均分的份數(shù)，也就是“分母不變”的原因。畫(huà)圖的過(guò)程和結(jié)果與我們的猜想完全一致。

2.想加算乘法

師：把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)乘整數(shù)，好辦法。這個(gè)過(guò)程里，哪里能看到“分子乘整數(shù)”？

生11，：0.3x7的計(jì)算過(guò)程中，把0.3看作3個(gè)0.1，三七二十一，也就得到21個(gè)0.1。

師：說(shuō)得好！得到21個(gè)0.1，也就是說(shuō)計(jì)數(shù)單位“0.1”是不變的，即分母不變;“三七二十一”，算得的是——

生（齊）：計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法是什么？學(xué)生不知道，但可以猜，然后選擇自己可以把握的題目，用自己可以確定的方法算出答案，再追溯算法。教師要做的就是不斷地追問(wèn)，在學(xué)生直覺(jué)抵達(dá)后，通過(guò)一項(xiàng)項(xiàng)的追問(wèn)、質(zhì)疑，使他們轉(zhuǎn)“快思”為“慢想”，在“慢想”中審視、確認(rèn)、修正中，通透算理，明確算法。）

4.“反例”證實(shí)

師：三種方法，三個(gè)維度，都證實(shí)了我們的猜想是合理的。果真是如此嗎？請(qǐng)看這份作業(yè)。（遮住部分計(jì)算過(guò)程）這道算式結(jié)果的積的分母變了，分子和我們?cè)O(shè)想的也不符。

生12：能不能看看計(jì)算過(guò)程？

生13：我們的猜想沒(méi)有錯(cuò)，只是結(jié)果約分了。

生14：能約分的要約分。

師：是啊，能約分的要約分，計(jì)算常識(shí)要記牢！當(dāng)然，我們不能因?yàn)橛?jì)算結(jié)果換了件“馬夾”就不認(rèn)識(shí)了。一種方法，道理上講得通，那就可以確信它的正確。大家能不能肯定地說(shuō)一說(shuō)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)怎么算？

（設(shè)計(jì)意圖：多個(gè)方法，多維驗(yàn)證，不同基礎(chǔ)的學(xué)生有不同方式的展示、不同層次的說(shuō)明，每種說(shuō)明都?xì)w結(jié)于對(duì)a×n/b的算理的解釋。一帆風(fēng)順時(shí)突起“迷霧”，借一道非標(biāo)準(zhǔn)變式，引學(xué)生認(rèn)知失衡，在審視、反思的一波三折中，既有了對(duì)算理、算法的夯實(shí)，又進(jìn)一步明晰了“能約分的要約分”的規(guī)則，同時(shí)還是對(duì)“科學(xué)歸納”法的暗示。）

四、經(jīng)歷繁難，撬動(dòng)積習(xí)

生3：6/17可以表示為6÷17，這種變換是可以的。

生4：34x6÷17等于34÷17x6，先乘后除和先除后乘的結(jié)果不變。

師：既然過(guò)程合理，那結(jié)果怎么和第一位同學(xué)的不一樣呢？

生5：前面的結(jié)果沒(méi)有約分，約分后也是12。

師：噢，數(shù)據(jù)大了還真不容易發(fā)現(xiàn)沒(méi)有約分呢！看來(lái)，以后算完后還得仔仔細(xì)細(xì)地檢查。

生6：剛才我們計(jì)算時(shí)都是先乘后約的，能不能先約后乘呢？

師：好問(wèn)題！他在前一位同學(xué)的基礎(chǔ)上又進(jìn)了一步，提出能不能直接在“34×6 /17”上“先約再乘”呢？

生，：可以！依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)除以17，分子變成“2x6”，分母得“1”，得數(shù)是12。

師：道理講得通，方法就能確定?！跋瘸撕蠹s”到“先約后乘”，順序稍稍一變，計(jì)算就要簡(jiǎn)單許多。

（設(shè)計(jì)意圖：選用“34×6/17”這樣繁難的計(jì)算作為算法優(yōu)化的例子，起因是前幾次教學(xué)實(shí)踐后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在作業(yè)中總是固守“先乘后約”，極少用到“先約后乘”。追溯其因，學(xué)生在五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的加減法時(shí)都是先算出結(jié)果再約分的，所以分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算上也承襲了以往的先乘后約。為了撬動(dòng)舊習(xí)，我們尋尋覓覓后得到34×6/17和34x6的計(jì)算稍顯繁雜，以及204/17化簡(jiǎn)較難發(fā)現(xiàn)，以此“繁難”突顯“先約后乘”的簡(jiǎn)便、不易錯(cuò)。新的方法，只有歷經(jīng)困頓后的“華麗”現(xiàn)身，才會(huì)讓學(xué)生深感“優(yōu)勢(shì)”后主動(dòng)運(yùn)用。）

五、瞻前顧后，融通算理

師：看圖列出相應(yīng)的乘法算式（題略）。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（設(shè)計(jì)意圖：居高點(diǎn)撥，勾連學(xué)生不同時(shí)期的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)他們從“新”中辨出“舊”來(lái)，從“舊”中悟出“新”意，合縱連橫，收獲知識(shí)的融通與便捷。）

【課后思考】

當(dāng)遇到簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，并不意味著只能在教學(xué)內(nèi)容上、習(xí)題上增補(bǔ)，還要關(guān)注學(xué)生以下的“內(nèi)部目標(biāo)”：

1.學(xué)習(xí)主體意識(shí)的強(qiáng)化

知識(shí)不是等待教師的給予，學(xué)生可以聽(tīng)?wèi){自己“心的聲音”，在大膽猜測(cè)后小心去求證。

2.自我掌控感的獲得

很多學(xué)生都“很聽(tīng)話”，習(xí)慣于被動(dòng)地接受知識(shí)，這是課堂教學(xué)中長(zhǎng)期存在的教師占位過(guò)前導(dǎo)致的。要破除這一點(diǎn)，需要借助多次的成功體驗(yàn)，讓學(xué)生逐步獲得自我的掌控感。本課中，學(xué)生提出的猜想被教師采納，因?yàn)楸宦?tīng)見(jiàn)，因?yàn)榭蛇x擇，因?yàn)榭梢宰駨淖晕覂?nèi)心自主行事，因?yàn)閭€(gè)性而多樣的過(guò)程在后期的教學(xué)中都被“看到”價(jià)值，這些大大小小的“成功”給養(yǎng)了學(xué)生的自我掌控感。

3.學(xué)習(xí)視域的擴(kuò)大

多法解答，不局限于一法一理，更在乎方法與方法之間邊界的打破，尋求其共通之“理”：在“想加算乘”里看到畫(huà)圖;在“化小數(shù)”里提煉計(jì)數(shù)單位。學(xué)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”，更要回看“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”“小數(shù)乘整數(shù)”，形異質(zhì)同，整合其理，成就“帶得走”的輕盈與強(qiáng)悍。

“教是為了不教”，何能“不教”？學(xué)習(xí)主體意識(shí)的覺(jué)醒，自我學(xué)習(xí)能力的確信，學(xué)習(xí)方法的習(xí)得……只有這些，才能更長(zhǎng)效護(hù)佑學(xué)生的成長(zhǎng)。

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2018年度立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)：讓學(xué)生‘帶得走的‘尋理課堂實(shí)踐研究”（ C-c/2018/02/19）階段性研究成果。】

（責(zé)編金鈴）