如何讓數(shù)學課更有“數(shù)學味”

周衛(wèi)東

[摘要]長期的課堂教學實踐使我們認識到，倘若在課堂教學中注重數(shù)學內(nèi)容的揭示、教給學生數(shù)學知識的同時，還能揭示知識的發(fā)生發(fā)展過程，揭示解題方法和規(guī)律的抽象概括過程，讓學生較為深入地領悟數(shù)學的內(nèi)涵（即“數(shù)學味”），一定能促進學生數(shù)學素養(yǎng)的全面提升。在教學內(nèi)容中找尋“數(shù)學味”的配方，在教學過程中探尋“數(shù)學味”的實質(zhì)，在數(shù)學思想中觸碰“數(shù)學味”的靈魂，在數(shù)學文化中品嘗“數(shù)學味”的芳香，才能讓數(shù)學課更有“數(shù)學味”。

[關鍵詞]數(shù)學味;教學內(nèi)容;教學過程;數(shù)學思想;數(shù)學文化

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0001-03

追求“數(shù)學昧”永遠是數(shù)學教學的第一要務。要讓數(shù)學課有“數(shù)學味”，不是一種簡單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數(shù)學”放到湯碗里攪拌一下，就會出現(xiàn)有“數(shù)學”味道的湯，而應該對數(shù)學學科的內(nèi)涵進行系統(tǒng)思考，并進行“智慧加工”，使之逐漸彌漫出“數(shù)學”的芳香，從而潤澤學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、在教學內(nèi)容中找尋“數(shù)學味”的配方

從教材的編排體系來看，數(shù)學教材由兩條“河流”組成：由具體知識構成的、易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”和由數(shù)學內(nèi)涵構成的、具有潛在價值的“暗河流”。這兩條“河流”是骨架與血脈的關系。有了數(shù)學內(nèi)涵做靈魂，各種具體的數(shù)學知識才不成為孤立的、零散的東西。正因為有了數(shù)學內(nèi)涵，“游離”狀態(tài)的知識才會凝結成優(yōu)化的知識結構，形成一個有機的整體。只有做到“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西”（蘇步青），充分挖掘數(shù)學教材中的靈魂——數(shù)學內(nèi)涵，用數(shù)學內(nèi)涵引領課堂教學，才能高屋建瓴，提契整個知識體系，進行再創(chuàng)造、再建構。

比如，人教版教材一年級上冊中的“1-5的認識”，以一個溫馨興旺的農(nóng)家生活“大場景”，引導學生正確建立“1-5”各數(shù)的概念。教材蘊含著從不同的角度對數(shù)進行抽象的數(shù)學思想：關于1，有1位老奶奶、1個面盆和1只可愛的小狗;關于2，有2只鵝、2個竹筐、2個雞食盤;關于3，有3只鳥、3盆花……畫面的多姿多彩，不僅僅是為了美觀，還充分說明：同一個數(shù)，可以表示植物的多少也可以表示動物的多少，可以表示有生命事物的多少，也可以表示無生命事物的多少，可以是灰色的，也可以是彩色的，表明元素的多少與物體的屬性沒有關系;在確定一個集合的元素有多少時，不需要用完整的物體來表示，可以用物體的一個部分來表示，但這一部分必須和物體存在一一對應的關系;在確定一個集合的元素有多少時，表示的不僅僅可以是地上的物體，也可以是天上飛的，這說明對數(shù)的抽象無處不在，世界上到處充滿數(shù)。只有意識到這些數(shù)的“內(nèi)涵”，數(shù)學教學才能走得更遠，才能更具生長力。

從教學層次的角度來分析，數(shù)學課堂教學設計應分宏觀設計、微觀設計和情境設計，教學設計應充分從這三個層面進行分析、思考。無論哪個層次上的設計，其目的都是讓學生參與到獲得和發(fā)展認知的數(shù)學活動中。因此，教學設計不能只停留在數(shù)學認識過程中的“還原”，更應該有數(shù)學內(nèi)涵的飛躍和創(chuàng)造。

以空間與圖形領域中“圖形與位置”內(nèi)容的安排為例。這部分內(nèi)容主要包括二年級用“第幾排第幾個”的方式描述物體的位置，五年級用“數(shù)對”表示方格圖上點的位置，以及六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。上述內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學內(nèi)涵主線是“依據(jù)小學生的年齡特點和認知水平，讓他們逐步感知數(shù)與平面圖形上點的關系，培養(yǎng)符號感，體會數(shù)形結合的基本方法和價值”。其中，用“第幾排第幾個”的方式描述物體的位置，主要著眼于學生已有的生活經(jīng)驗;用“有序數(shù)對”表示方格圖上點的位置，則是對生活經(jīng)驗的提煉，也是對感性認識的提升;用”方向和距離”確定平面圖上點的位置，其基本思想與用“數(shù)對”表示點的位置是類似的，但它引導學生從不同角度認識相關數(shù)學知識的內(nèi)涵。因此，這就需要搞清楚不同內(nèi)容應怎樣概括共性，相似內(nèi)容應該怎樣區(qū)別個性，而要順利地完成這一任務，必須依靠數(shù)學內(nèi)涵作為核心指導，有了深刻的數(shù)學內(nèi)涵做指導，才能設計出智慧靈動的教學思路，才能引發(fā)學生創(chuàng)造性的思維活動。

二、在教學過程中探尋“數(shù)學味”的實質(zhì)

數(shù)學內(nèi)涵往往呈隱蔽形式，沉積、凝聚在數(shù)學結論的背后，常常滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。著名數(shù)學家波利亞認為：“學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！苯處煈撚行У匾龑W生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學思考的能力。只有如此，學生所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學習才是充滿智慧的。

在人教版教材五年級上冊“用數(shù)對確定位置”一課的教學中，我努力使學生獲得有價值的思維空間，體驗到數(shù)學的價值和魅力。

在學生掌握了用數(shù)對描述位置的基本方法后，我創(chuàng)設以下問題，以引發(fā)學生的數(shù)學思考。

師：小明在運動之前的位置是（3，4），現(xiàn)在的位置是（7，4），你能看出這兩個數(shù)對之間的聯(lián)系嗎？

生1：這兩個數(shù)對的后一個數(shù)都是4。

生2：后一個數(shù)之所以沒有變化，是因為他運動的前后都在同一行，所以后一個數(shù)都是4。

生3：我看出了前一個數(shù)由3變成了7，是因為他向東走了4格。

生4：用3加上4就是7了。

師：不簡單！假如小明向東走了20格，他的位置是多少？如果向東走了50格，位置又是多少呢？

師：小明改變了運動方式，他運動后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的嗎？

生5：我認為小明是向北走的。

生6：我同意生5的意見，而且小明走了16格。

師：看得出，同學們對方格圖上點的位置變化已經(jīng)掌握得比較清晰了。不妨再深入思考，以點（3，4）為例，你是怎么找到這個點的？

師：你認為哪幾根線可以決定這個點的位置？（學生分別指出表示第3列的直線和表示第4行的直線）

師：咱們的思考不妨再深入一點。這兩根線又是由哪些線決定的呢？（學生感受到問題很有意思，非常興奮;有學生指出最左邊和最下面的兩條線）

師：其實，有了這兩條線，也就能決定圖中任何一點的位置。沒想到，我這一帶，竟帶出了一群中學生，這一知識將在中學的學習中有進一步的研究。

在此教學片段中，教師采取數(shù)形結合的方式，抓住運動前后數(shù)對的變化，引導學生分析、對比、想象、概括，得出了數(shù)對的變化規(guī)律，有效地訓練了學生觀察、對比、抽象、概括等多元的數(shù)學能力。讓學生在方格圖中找點，體會到找點的方法，再通過“是怎樣的線條決定了方格圖中點的位置”，感悟縱橫交錯兩條線的作用，進而得出橫軸和縱軸在確定位置中的作用，凸顯了確定數(shù)對時的關鍵點。課上教師的一句“這一帶，竟帶出了一群中學生”，潤物無聲的知識結構滲透，讓學生在感受符號體系的過程中感受到相應的數(shù)學價值，幫助學生建立起大數(shù)學的宏觀視野。

三、在數(shù)學思想中觸碰“數(shù)學味”的靈魂

“在一切方法的背后，如果沒有一種生機勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具?！边@里的精神指的就是數(shù)學思想。從哲學角度來看，“思想”即“觀念”，即社會存在于意識中的反映。而所謂數(shù)學思想，是人們對數(shù)學研究統(tǒng)一的本質(zhì)性認識，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，是被人們反復運用和確認，且?guī)в衅毡橐饬x和相對穩(wěn)定的特征的，它直接支配著數(shù)學的實踐活動.是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。由此看來，數(shù)學思想是數(shù)學內(nèi)涵的核心，它決定了數(shù)學的經(jīng)驗基礎、思考核心和發(fā)展目標。

從宏觀角度看，小學數(shù)學思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學的（包括邏輯的）思想，如分析法、綜合法、演繹法、歸納法、類比法等;二為科學的思想，如實驗法、圖表法、假設法等;三為數(shù)學的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。前者應當是整個數(shù)學教學的主線，是最上位的思想，但在具體的問題中，會涉及數(shù)學抽象、數(shù)學模型、等量替換、數(shù)形結合等數(shù)學思想。數(shù)學思想的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經(jīng)過理解、應用、促疑，才能使學生真正領會，并形成自覺運用數(shù)學思想的意識，建立起自我的“數(shù)學思想系統(tǒng)”。

比如，教學“三角形的三邊關系”，在學生已經(jīng)初步掌握了“兩邊之和大于第三邊”這一規(guī)律后，北京名師孫貴合老師設計了這樣一個問題來驅(qū)動學生的思維向思想層面“躍升”：有兩根小棒，一根長7厘米，另一根長9厘米，把其中一根小棒剪成兩段，用拼的方法，你能將它圍成一個三角形嗎？學生帶著這樣的“任務”走了自己的“世界”里，思維成果不斷涌現(xiàn)。

生1：不可以把短的小棒剪成兩根，因為“兩邊之和大于第三邊”是指較短的兩邊之和應該大于第三邊，只能把長的剪成兩段。

生2：我把長9厘米的小棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。

生3：他說錯了，不可以分成1和8。如果這樣分，兩條短邊是1和7，長邊是8，這樣兩邊之和就等于第三邊了。

師：了不起！不僅找出了答案，還洞察到其中的細微之處。相信同學們對今天所學的規(guī)律理解得更為透徹了！

師：讓我們把這幾種情況畫下來。

師：除了這幾種情況外，還有其他可能嗎？

生4（遲疑地）：剪開的兩條邊的長度可以是小數(shù)嗎？

師：明白他的意思嗎？能不能舉一些例子？

生5：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。

生6：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.1和7.9。

生7：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。

師：這些都可以拼成三角形嗎？

生（齊）：能！

生8：這些都能滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件。

師：太好了！一共有多少種可能呢？

生（齊）：無數(shù)種。

師：讓我們把些可能性也用圖表示出來。想象一下，如果把這些點都描出來，這幅圖像什么？

生9：像鳥巢。

生10：像國家大劇院。

“‘無限這一主題不應被看成與小學數(shù)學完全無關的，如何能夠通過有關的內(nèi)容幫助學生建立起關于無限的一些認識，就是小學數(shù)學的重要目標。”（鄭毓信語）在上述教學中，三角形三邊之間的關系在多種可能性中不斷地被強化、被“結構”，由邊的長度（整數(shù)、一位小數(shù)、兩位小數(shù)，甚至更多位小數(shù)）可能性的拓展，在學生腦中逐漸形成一個“無數(shù)”點的集合，這不就是“極限思想”的有機滲透嗎？

不僅如此，兩條不斷變化著的短邊的長度與固定的長邊之間，形成一個a+b>c（其中a

四、在數(shù)學文化中品嘗“數(shù)學味”的芳香

華東師范大學教授張奠宙在一篇文章中寫道：“我希望我們大家來了解數(shù)學，有三個層面：一個層面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等;第二個層面就是思想，就是我們的公理化思想、數(shù)形結合、函數(shù)思想等;還有一個層次就是文化價值?！钡拇_，數(shù)學是人類實踐活動的產(chǎn)物，社會與文化不僅推動著數(shù)學的發(fā)展，同時數(shù)學也是推動社會與文化發(fā)展的關鍵性因素。

從表面來看，任何教學所傳播的總是文化，而且是在形態(tài)上可以呈現(xiàn)多種多樣的文化。傳播文化并不意味著教學就是有“文化”內(nèi)涵的，因為我們所追求的文化，不是那種可見的、物態(tài)化的符號，圖像或行為，而是一種語言，一種只對它孜孜叩問的人才會彰顯的無聲語言。

對“善”的向往。數(shù)學，如果給它打扮，它就像一位光彩照人的科學女王。但是如果在數(shù)學課堂上呈現(xiàn)的僅僅是邏輯，僅僅是枯燥的幾個公式，那么數(shù)學這個“美女”就變成X光下的骷髏，就是X光的照片。不容否認，數(shù)學有著強大的教化功能，有著較濃的“善”的品質(zhì)，比如探索過程中的執(zhí)著與堅韌，論證過程中的務實與嚴謹，創(chuàng)造過程中的開拓與超越，乃至耐心、責任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。數(shù)學課堂就要有意地引導學生對“善”產(chǎn)生一種“心向往之”的需要。

對“根”的叩問。意義感的恢復是兒童建構完整人格的前提。意義產(chǎn)生于人與世界相遇的時刻。當我們意識到自己與世界成為一個整體時，我們的生活才具有完滿意義，也就是說，世界是意義生成的背景，意義的產(chǎn)生需要使每一個人與這一背景重新建立聯(lián)系。在課程領域，兒童意義感的恢復需要使之重新與某種超越的東西相連，使課程成為人的內(nèi)在精神之旅。教師對司空見慣的數(shù)學內(nèi)容總是做成人化的解讀，做簡單化的詮釋，做線性化的推進，很少考慮這一教學內(nèi)容從哪里來，亦即缺少對“根”叩問的一種姿態(tài)。比如，量角器上的刻度為什么要平均分成180份？為什么要有內(nèi)圈刻度和外圈刻度？量角的時候為什么要做到“點點重合”“邊線重合”……這些涉及數(shù)學知識的本源問題和元認知等關注“根”的策略，教師理應關注并盡力彰顯其豐富的知識內(nèi)涵。

對“史”的關注。人類發(fā)展已有著幾千年的歷史，滄海桑田的演變，給后代積淀下厚實的數(shù)學文化，翻開歷史的長卷，古今中外的文化史實猶如一顆顆亮燦燦的明珠鑲嵌在歷史的長廊上，令人目不暇接。這些寶貴的財富，理應成為我們的教學資源，“雕刻”在學生記憶的深處，成為他們數(shù)學素養(yǎng)中不可或缺的一部分。比如，教學“圓周長的計算”時，我運用現(xiàn)代化教育手段呈現(xiàn)劉徽割圓術以及祖沖之的偉大成就，引領學生了解圓周率的探索歷程，豐富數(shù)學活動內(nèi)容的同時拓展了學生探索的空間。學生通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的周長與直徑的比值越接近圓的周長與直徑的比值，從而感受極限思想——圓內(nèi)接正12 288邊形、正24 576邊形的邊長非常小，從而受到了震撼。了解圓周率的探索歷程的活動，是一個領悟數(shù)學思想方法的過程，是一個體驗科學精神的過程，是一個感受、欣賞數(shù)學文化的過程。

（責編金鈴）