遞推數(shù)列在概率問題中的應(yīng)用

付增民

(浙江省永康市第一中學(xué),321300)

利用遞推數(shù)列探求概率問題,不僅體現(xiàn)概率與數(shù)列知識的交匯性,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提高其數(shù)學(xué)解題能力與創(chuàng)新能力.

一、用一階遞推數(shù)列求概率

評注本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和化歸轉(zhuǎn)換能力,依題意建立遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵.對形如an=pan-1+q(n≥2)的遞推數(shù)列,常用待定系數(shù)法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型,使問題獲解.

二、用二階遞推數(shù)列求概率

例2(2019年全國高考題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物實驗.實驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪實驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止實驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪實驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪實驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明: {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種實驗方案的合理性.

解(1)易知一輪實驗中X的取值有1,-1,0三種情況,且P(X=1)=α(1-β),P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β).故X的分布列為:

X1-10Pα(1-β)β(1-α)αβ(1-α)(1-β)

(2)(i)因α=0.5,β=0.8,由(1)可知a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1.

故pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,即pi+1=5pi-4pi-1.由待定系數(shù)法，可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是首項為p1、公比為4的等比數(shù)列.

三、用三階遞推數(shù)列求概率

形如an=pan-1+qan-2+ran-3(n≥4)的遞推數(shù)列稱為三階遞推數(shù)列,求這類數(shù)列通項公式的思路是轉(zhuǎn)化為一階或二階遞推數(shù)列.

(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為X,求X的分布列;

(2)若經(jīng)過n輪投球,用pi表示經(jīng)過第i輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率.

(i)求p1,p2,p3;

(ii)規(guī)定p0=0,經(jīng)過計算機計算可估計得pi=api+1+bpi+cpi-1(b≠1),請根據(jù)(i)中p1,p2,p3的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達式,并由此求出數(shù)列{pn}的通項公式.

于是,X的分布列為

X-101 P131216

同理,經(jīng)2輪投球,甲的得分Y可能取值為-2,-1,0,1,2.記P(X=-1)=x,P(X=0)=y,P(X=1)=z,則P(Y=-2)=x2,P(Y=-1)=xy+yx,P(Y=0)=xz+zx+y2,P(Y=1)=yz+zy,P(Y=2)=z2.由此得甲的得分Y的分布列為

Y-2-1012 P1913133616136

(ii)因為pi=api+1+bpi+cpi-1(b≠1),p0=0,令i=1,2,得