高三數學綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,計70分)

1.已知集合A={-1,0,a2},B={-1,1},若A∩B=B,則實數a的值是______.

3.某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人,現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數,已知高一、高二、高三年級的學生人數之比為4∶3∶3,則應從高三年級抽取______名志愿者.

4.一個算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的S的值為______.

S←0

I←1

WhileI<4

S←S+5

I←I+1

End While

PrintS

6.某校機器人興趣小組有男生3名,女生2名,現(xiàn)從中隨機選出3名參加一個機器人大賽,則選出的人員中恰好有一名女生的概率為______.

7.已知數列{an}是等比數列,Tn是其前n項之積,若a5a6=a7,則T7的值是______.

8.已知f(x)=cosx+e|x|,則f(3-x)-f(3x+1)>0的解集為______.

9.如圖,已知正三角形ABC是一個半球的大圓O的內接三角形,點P在球面上,且OP⊥面ABC,則三棱錐P-ABC與半球的體積比為______.

11.設[t]表示不超過實數t的最大整數(如[-1.3]=-2,[2.6]=2),則函數f(x)=|2x-1|-[x]的零點個數為______.

二、解答題(本大題共6小題,計90分)

(1) 求f(x)的最小正周期和對稱中心;

16.(本小題滿分14分)如圖,四面體ABCD被一平面所截,截面與四條棱AB，AC，CD，BD分別相交于E，F(xiàn)，G，H四點,且截面EFGH是一個平行四邊形,AD⊥平面BCD，BC⊥CD.求證：

(1)EF∥BC；

(2)EF⊥平面ACD.

17.(本小題滿分14分)如圖,邊長為1的正方形區(qū)域OABC內有以OA為半徑的圓弧AEC. 現(xiàn)決定從AB邊上一點D引一條線段DE與圓弧AEC相切于點E,從而將正方形區(qū)域OABC分成三塊:扇形COE為區(qū)域I,四邊形OADE為區(qū)域II,剩下的CBDE為區(qū)域III.區(qū)域I內栽樹,區(qū)域II內種花,區(qū)域III內植草.每單位平方的樹、花、草所需費用分別為5a、4a、a,總造價是W,設 ∠AOE=2θ.

(1) 分別用θ表示區(qū)域I，II，III的面積;

(2) 將總造價W表示為θ的函數,并寫出定義域;

(3) 求θ為何值時,總造價W取最小值?

(1) 求橢圓E的標準方程;

(2) 若過O的直線m:y=kx與直線AB,AC分別相交于M,N兩點,且OM=ON,求k的值.

19.(本小題滿分16分)已知函數f(x)=ex-ax2(a∈R).

(1) 若曲線f(x)與直線l:y=(e-2)x+b(b∈R)在x=1處相切.

(i) 求a+b的值;

(ii) 求證:當x≥0時,f(x)≥(e-2)x+b;

(2) 當a=0且x∈(0,+∞)時,關于x的不等式x2f(x)≤mx+2lnx+1有解,求實數m的取值范圍.

(1) 若S3=3,求a3的值;

(2) 若a2021=2021a1,求證:數列{an}是等差數列;

參考答案

一、填空題

1.±1;2.5;3.15;4.15;

二、解答題

16.(1) 因為四邊形EFGH為平行四邊形,所以EF∥HG.

又EF?平面BCD,HG?平面BCD,所以EF∥平面BCD.

又EF?平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC.

(2) 因為AD⊥平面BCD,BC?平面BCD,所以AD⊥BC.

由(1)知EF∥BC,所以EF⊥AD.因為BC⊥CD,所以EF⊥CD.

又AD∩CD=D,AD、CD?平面ACD, 所以EF⊥平面ACD.

(2)W=5aS1+4aS2+aS3=a(3tanθ-4θ+π+1).

18.(1) 設橢圓E的焦距為2c,則直線l的方程為y=2(x-c),即2x-y-2c=0.

(2) 由(1)知l:y=2(x-1),設B(x1,y1),C(x2,y2).

19.(1) (i)f′(x)=ex-2ax，令f′(1)=e-2a=e-2,得a=1.

所以f(x)=ex-x2,f(1)=e-1.

又切點(1,e-1)在直線l上,得e-1=e-2+b,b=1,所以a+b=2.

(ii) 由(i)知a=1,b=1,可設h(x)=ex-x2-(e-2)x-1(x≥0),則g(x)=h′(x)=ex-2x-(e-2),g′(x)=ex-2.

當xln 2時,g′(x)>0.所以h′(x)在(0,ln 2)單調減,在(ln 2,+∞)單調增.

由h′(0)=3-e>0,h′(1)=0,0

由此可知，當x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,h′(x)>0；當x∈(x0,1)時,h′(x)<0.所以h(x)在(0,x0)單調增,在(x0,1)單調減,在(1,+∞)單調增.

又h(0)=h(1)=0,所以h(x)≥0,即f(x)≥(e-2)x+1,當且僅當x=1時取等號.

故當x≥0時,f(x)≥(e-2)x+b.

(2)先證ex≥x+1.

構造函數p(x)=ex-x-1,則p′(x)=ex-1.當x∈(0,+∞)時,p′(x)>0,p(x)單調增；當x∈(-∞,0)時,p′(x)<0,p(x)單調減.所以p(x)≥p(0)=0,即ex≥x+1.

因為x2ex-2lnx-1=ex+ln x2-2lnx-1≥x+lnx2+1-2lnx-1=x(當x+lnx2=0時取等號),所以m≥1.

當n≥2時,a2Sn-1=an-1an,故a2Sn-a2Sn-1=anan+1-an-1an,即a2(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),即a2an=an(an+1-an-1),從而an+1-an-1=a2,所以數列{a2n-1}是等差數列,其首項為a1,公差為a2.

由a2021=a1+1010a2=2021a1,得a2=2a1.

所以a2n-1=a1+(n-1)a2=(2n-1)a1,a2n=a2+(n-1)a2=2na1,即an=na1,所以an+1-an=a1,數列{an}是等差數列.

|2n-2m|≤λ|n2-m2|.

不妨設m>n,則2m>2n,m2>n2,有2m-2n≤λm2-λn2,即2m-λm2≤2n-λn2對任意正整數m,n(m>n)恒成立,則2n+1-λ(n+1)2≤2n-2λn-λ≤0對任意正整數n恒成立，設Cn=2n-n2,則Cn+1-Cn=2n+1-(n+1)2-2n+n2=2n-2n-1.

設Dn=2n-2n-1,則Dn+1-Dn=2n+1-2(n+1)-1-2n+2n+1=2n-2.

當n≥5時,Dn+1-Dn>0,所以Dn>D5>0,得Cn>C5>0,有2n>n2,進而2n-2λn-λ>n2-2λn-λ.