對流-擴(kuò)散方程初邊值問題的重整化群方法

周 冉, 張艷妮

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012； 2. 吉林建筑科技學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部, 長春 130114)

0 引 言

重整化群方法[1]源于量子場論中電動力學(xué)的分析技巧, 由于該技巧涉及了電荷之間變換的群性質(zhì), 因而被稱為重整化群方法. Wilson等[2]建立了統(tǒng)計力學(xué)中相變臨界現(xiàn)象的重整化群方法, 進(jìn)而促進(jìn)了相變臨界現(xiàn)象理論的發(fā)展. Chen等[3]將上述重整化群思想應(yīng)用于奇異攝動問題, 提出了一套系統(tǒng)求解奇異攝動問題的一致有效漸近解的新方法, 即奇異攝動重整化群方法, 其主要優(yōu)點(diǎn)在于不需要如平均化、 多尺度等方法那樣預(yù)先分析所考慮問題的特殊結(jié)構(gòu)而做出一些必要的先驗假設(shè), 其系統(tǒng)簡單的求解格式可以很容易模式化地得到近似解: 從關(guān)于小參數(shù)做形式展開開始, 確定發(fā)散項, 然后通過重整化技巧去掉發(fā)散項, 得到相應(yīng)的重整化群方程和近似解. 近年來, 重整化群方法廣泛應(yīng)用于其他不同類別的問題, 例如邊界層問題[4]、 不變流形約化問題[5]、 高振蕩問題[6]、 隨機(jī)微分方程的攝動問題[7]和偏微分方程的攝動問題[8-9]等.

本文考慮如下對流-擴(kuò)散方程的初邊值問題:

(1)

其中:ε>0是小參數(shù);φ(x)在[-1,0]內(nèi)充分光滑;a(x),b(x),c(x),f(x)和g(x)充分光滑,a(x)>0,b(x)≥0,c(x)≥0;l是常數(shù). 對流-擴(kuò)散方程是一類描述黏性流體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型, 廣泛應(yīng)用于物理、 化學(xué)、 生物等許多領(lǐng)域[10-11]. 顯然, 問題(1)的解析解很難求出. 因此, 構(gòu)造其一致有效的逼近解尤為重要. 本文首先將問題(1)分解為左問題和右問題, 然后分別利用重整化群方法得到一致有效的逼近解, 最后通過光滑縫接得到原問題的一致有效逼近解.

1 主要結(jié)果

首先, 將初邊值問題(1)分解為左問題:

(2)

和右問題:

(3)

從而求問題(1)的逼近解即轉(zhuǎn)化為求問題(2)和(3)的逼近解.

(4)

設(shè)

x=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…,

將x和μL代入式(4), 并對比等式兩端ε同次冪的系數(shù), 得

解式(5)得

從而得到式(4)的一階逼近解:

(7)

引入自由參數(shù)σ, 分別將式(7)中含有t和t2的項(長期項)分解為t-σ+σ和t2-σ2+σ2, 則有

(8)

下面對A,C0,C1進(jìn)行重整化. 設(shè)

則式(8)變?yōu)?/p>

(9)

(10)

解方程(10)得

(12)

類似左問題的求解過程可得右問題(3)的一階逼近解:

綜上, 可得本文的主要結(jié)果：

定理1設(shè)φ(x)在[-1,0]上充分光滑,a(x),b(x),c(x),f(x)和g(x)充分光滑,a(x)>0,b(x)≥0,c(x)≥0, 則

是對流-擴(kuò)散方程邊值問題(1)的一階一致有效逼近解, 其中:

作為應(yīng)用, 考慮如下時滯微分方程初邊值問題:

(14)

對應(yīng)于式(1)中

的情形. 由式(11)得

由式(13)得

解得

(15)

利用定理1可得式(14)的如下一階逼近解: