陳浩文 莫弘

[摘? 要] “一題多解”正是幫助學(xué)生體會(huì)“通性通法”、學(xué)會(huì)總結(jié)提升的重要手段之一. 文章選擇有多種解法并且解法具有代表性的習(xí)題進(jìn)行探討.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);一題多解

新課程的理念要求“突出學(xué)生的主體地位”，具體體現(xiàn)在：教學(xué)是否有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是否有利于學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)，是否有利于學(xué)生學(xué)習(xí)后能靈活地運(yùn)用知識(shí). 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求加強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，是一場(chǎng)學(xué)習(xí)上的改革. 數(shù)學(xué)教學(xué)是教師與學(xué)生之間相互交流、共同發(fā)展的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考、探索、交流、實(shí)踐來(lái)獲得知識(shí).

習(xí)題教學(xué)，對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)、方法的提煉、數(shù)學(xué)思想的形成等方面的效果有著重要影響，如何選擇問(wèn)題及講授問(wèn)題就顯得尤為重要，選擇有多種解法并且解法具有代表性的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，可以達(dá)到事半功倍的效果. 下面，以兩個(gè)案例為例進(jìn)行說(shuō)明.

案例（一）：一道關(guān)于圓的問(wèn)題

1. 例題展示

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=2，若等邊三角形PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PC的最大值為_(kāi)_______.

【解法1】

如圖1：連接AC，BC，設(shè)∠CAB=θ，連接PC，與AB交于點(diǎn)D，因?yàn)锳C=BC，△PAB是等邊三角形，所以D是AB的中點(diǎn)，所以PC⊥AB，所以圓C：（x-1）2+（y-2）2=2中，半徑為■，AD=■cosθ，CD=■sinθ.

所以在等邊三角形PAB中，PD=■AB=■cosθ，所以PC=CD+PD=■sinθ+■cosθ=2■·sinθ+■≤2■.

分析：考慮到問(wèn)題是求最值，從角度的方面進(jìn)行考慮，利用一個(gè)角將問(wèn)題中涉及的線段表示出來(lái)，最后利用三角函數(shù)的有界性解決問(wèn)題.這是對(duì)解三角形問(wèn)題的復(fù)習(xí)和提升.

【解法2】

設(shè)AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記f（x）=■x+■，則f′（x）=■-■.

令f′（x）=0，得x=■∈（0，■].當(dāng)x∈0，■時(shí)，f′（x）≥0;當(dāng)x∈■，■時(shí)，f′（x）<0，所以f（x）max=f■=2■.

分析：解法二是利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題，用一條邊作為未知數(shù)將所求邊表示出來(lái)，最后通過(guò)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性求出最值，這是解決最值問(wèn)題的一般思想，也是函數(shù)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，具有一般性思維.

【解法3】

設(shè)AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記y=■x+■.

設(shè)x=■sinθ，θ∈0，■，則y=■sinθ+■cosθ=2■sinθ+■≤2■.

分析：解法三與解法二類似，都是利用函數(shù)思想將所求邊表示出來(lái)，在最后求最值時(shí)，根據(jù)函數(shù)解析式特點(diǎn)，利用三角代換的方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了三角函數(shù)有界性的應(yīng)用.

【解法4】

設(shè)AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，

則PC2=（■x+1×■）2≤[（■）2+12]·[x2+（■）2]=4×2=8.當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取等號(hào)，PC≤2■，此時(shí)x=■.

分析：解法四同樣利用了函數(shù)思想，求最值時(shí)使用了柯西不等式，體現(xiàn)了不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.

【解法5】

設(shè)AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記f（x）=■x+■，x∈（0，■].

令u=■x，v=■得：u2=3x2，v2=2-x2，u2+3v2=6，即■+■=1.

令z=u+v，v=-u+z，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件■+■=1約束下，v=-u+z縱截距何時(shí)取最大值的問(wèn)題.

當(dāng)直線v=-u+z與橢圓■+■=1相切時(shí)，z最大，此時(shí)z=2■.

分析：函數(shù)思想再一次被使用，區(qū)別就是用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問(wèn)題，求出最值. 這種方法難度較大，但是體現(xiàn)了線性規(guī)劃是求最值問(wèn)題的一種重要途徑，對(duì)形成解題通法有一定的啟發(fā)作用.

【解法6】

連接PC交AB于D，因?yàn)锳B為圓的弦，△PAB為等邊三角形，所以PC平分∠APB，∠APC=■，在△APC中，由正弦定理得：■=■，PC=■=■=2■sin∠PAC≤2■.

分析：解法六和解法一類似，直接利用解三角形的思想，將邊化為角的形式，利用三角函數(shù)有界性求出最值.

2. 總結(jié)提升

這是一道中等難度的解三角形問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生容易想到解法1和解法6，但是如果我們只滿足解決問(wèn)題，那么就會(huì)失去建立解題通法、提升數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)，所以教學(xué)時(shí)有必要挖掘解題方法，展示一題多解.

從這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，可以看到，求最值問(wèn)題的核心思想在于函數(shù)思想，將所求量用其他變量表示出來(lái)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.通過(guò)一題多解的教學(xué)，學(xué)生可以更充分地了解數(shù)學(xué)思想方法，也可以對(duì)求最值問(wèn)題的具體知識(shí)和手段進(jìn)行較為全面的復(fù)習(xí)，對(duì)各種知識(shí)方法進(jìn)行比較，體會(huì)各種知識(shí)方法的異同，這對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建有很大的推動(dòng)作用.

案例（二）：一道關(guān)于雙曲線離心率的問(wèn)題

1. 例題展示

設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線■-■=1？搖（a>0？搖，？搖b>0）的兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P（m，0）滿足PA=PB，則該雙曲線的離心率是________.

【解法1】

漸近線方程為y=±■x，分別與x-3y+m=0聯(lián)立，解得A■，■，B■，■，則AB的中點(diǎn)Q■，■. 如圖2，因PA=PB，所以PQ⊥AB，kAB=■，所以kPQ=-3=■=■，解得2a2=8b2，所以e=■=■.

分析：解法1屬于直接法，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知AB⊥PQ，由斜率關(guān)系求出a，b的關(guān)系.

【解法2】

雙曲線的漸近線方程為y=±■x，漸近線與直線x-3y+m=0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為■和■. 設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0.

由方程組x-3y+m=0，3x+y-3m=0，可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為■m，則■=■m，解得a2=4b2，所以e=■.

【解法3】

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），漸近線方程為■-■=0，即b2x2-a2y2=0，聯(lián)立x-3y+m=0，b2x2-a2y2=0，得（9b2-a2）y2-6b2my+b2m2=0，則y0=■=■，x0=3y0-m=■，

則AB的中點(diǎn)Q■，■，同解法1.

分析：解法3整體代換，將兩條漸近線看成二次曲線，并利用韋達(dá)定理直接求出點(diǎn)Q坐標(biāo).

【解法4】

設(shè)A（x1，y1）？搖，B（x2，y2），AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），漸近線方程為■-■=0，即b2x2-a2y2=0，則b2x■-a2y■=0，b2x■-a2y■=0，兩式相減得kAB·kOQ=■. 又kAB=■，所以■=■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0，聯(lián)立x-3y+m=0，3x+y-3m=0，得Q■，■，所以■=■=■=■，所以a2=4b2，所以e=■.

分析：解法4利用點(diǎn)差法，求出a，b的齊次關(guān)系式，再轉(zhuǎn)化為所求的離心率.

【解法5】

令a=1，則漸近線方程為y=±bx，分別與x-3y+m=0聯(lián)立，解得A■，■，B■，■，則AB的中點(diǎn)Q■，■. 因?yàn)閗AB=■，所以kPQ=-3=■=■，解得2=8b2，所以c=■，所以e=■.

分析：解法5用特殊值法，令a=1，問(wèn)題的本質(zhì)并沒(méi)有變化，運(yùn)算會(huì)簡(jiǎn)單得多.

【解法6】

設(shè)A（x1，y1）？搖，？搖B（x2，y2），AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），聯(lián)立x-3y+m=0，3x+y-3m=0，得Q■，■，所以■=■=■.

因?yàn)闈u近線方程為y=±■x，則y1=-■x1，y2=■x2，兩式相減得y1-y2=-■（x1+x2），

兩式相加得x1-x2=-■（y1+y2），所以有kAB=■=■=■. 又■=■=■，即■=■，所以a2=4b2，所以e=■.

分析：解法6設(shè)而不求，求出a，b的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為所求的離心率.

2. 總結(jié)提升

這是一道典型的求圓錐曲線離心率的問(wèn)題，主線思想在于“求離心率”就是要“找到a，b，c的等量關(guān)系”，而尋求等量關(guān)系的具體手段多種多樣，習(xí)題教學(xué)就是應(yīng)該突出主線，體現(xiàn)不同手段的差異性，幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，避免“見(jiàn)子打子”的教學(xué)和練習(xí)，真正達(dá)到提高效率的目的.

章建躍老師在《注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》一文中提到：在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì);“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法. 解題教學(xué)中，只有注重基礎(chǔ)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長(zhǎng)期利益”. 這就要求我們努力提高對(duì)所教內(nèi)容的理解水平，增強(qiáng)辨別和判斷能力，對(duì)哪些重要哪些次要，哪些是根本哪些是細(xì)枝末節(jié)要心中有數(shù)，并在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系基礎(chǔ)、洞察本質(zhì)的火眼金睛，這樣才能落實(shí)數(shù)學(xué)課程的育人功能，使學(xué)生真正從“長(zhǎng)期利益”中得到好處.

“一題多解”正是幫助學(xué)生體會(huì)“通性通法”、學(xué)會(huì)總結(jié)提升的重要手段之一. 關(guān)于解題，有一句話是這樣說(shuō)的：量不在多，典型就行，題不在難，有變則靈.讓學(xué)生明確不能只尋求其解，還須以解題作為手段，去掌握知識(shí)和學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí). 一題多解也是高考數(shù)學(xué)解答題的突出特征. 我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，可以抓住問(wèn)題中每一個(gè)可以作為“最近發(fā)展區(qū)”的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從多方面考慮已知條件的不同數(shù)學(xué)表達(dá)，開(kāi)拓思想，提高核心素養(yǎng).