例談尋找解題切入點(diǎn)的策略

王鳳君

[摘? 要] 解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重要活動(dòng)，解題能力的提升離不開有效的解題訓(xùn)練，自然更少不了一些必要的解題策略. 教師需從以下幾個(gè)方面著手，引導(dǎo)學(xué)生找尋解題切入點(diǎn)，發(fā)展解題能力：挖掘隱含條件，剖析結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用特殊化策略，采用數(shù)形結(jié)合以及利用差異分析法.

[關(guān)鍵詞] 解題;隱含條件;解題路徑;切入點(diǎn);差異分析

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開對(duì)解題的探索，如何通過(guò)必要訓(xùn)練去提高解題能力，應(yīng)是廣大數(shù)學(xué)教師和學(xué)生不斷思考與探索的課題. 筆者在平常的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生在解題的時(shí)候存在以下問(wèn)題：有些題目似曾相識(shí)，即使冥思苦想?yún)s依然找尋不到解題入口，當(dāng)別人稍加提點(diǎn)卻又豁然開朗. 事實(shí)上，“老虎吃天，無(wú)處下爪”是學(xué)生在解題中的常見現(xiàn)象，究其根本在于學(xué)生尚未找尋到解決問(wèn)題的突破口，當(dāng)適當(dāng)點(diǎn)撥時(shí)又會(huì)恍然大悟.所以，解題教學(xué)中需強(qiáng)化、引導(dǎo)學(xué)生去選擇一個(gè)容易攻克的切入點(diǎn)，由點(diǎn)及面，讓問(wèn)題的本質(zhì)逐步自然展現(xiàn). 那么，如何找尋解題的切入點(diǎn)呢？下面筆者通過(guò)對(duì)多個(gè)案例的探究，談?wù)劸唧w的解決策略.

隱含條件：獲得解題路徑的關(guān)鍵

隱含條件，望文生義就是隱藏在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一些含而不露的條件，它可以隱于圖形之中，也可藏于概念之中，還可匿于已知條件的相互聯(lián)系之中. 因此，在解題中學(xué)生需善于將這些隱含于題目中的“金針”挖掘出來(lái)，從而獲得解題的關(guān)鍵性突破，使問(wèn)題迎刃而解.

例1：已知直線m被兩條平行線l1：x-y+1=0和l2：x-y+3=0所截線段長(zhǎng)度為2■，那么直線m的傾斜角可能是①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°. 以上符合要求的序號(hào)有________. （請(qǐng)寫出所有正確答案的序號(hào)）

分析：通過(guò)觀察，不難得出本題中已知條件有①l1，l2為兩條平行直線;②直線m被l1，l2所截線段長(zhǎng)度為2■. 而以上兩個(gè)條件對(duì)于問(wèn)題中需求直線m的傾斜角是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，那么下一步自然就需要深入題目挖掘隱含條件. 首先，據(jù)條件“l(fā)1，l2為兩條平行直線”，可以探求出兩直線間的距離為■;接著，再次觀察不難發(fā)現(xiàn)：直線m被l1，l2所截線段長(zhǎng)度為l1，l2之間距離的兩倍;然后，借助作草圖可以發(fā)現(xiàn)，直線m與直線l1的夾角為30°，而直線l1的傾斜角為45°，則可很快得出直線m的傾斜角為30°+45°=75°或45°-30°=15°，故本題答案為①⑤.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算l1，l2之間的距離，并結(jié)合線m被l1，l2所截線段長(zhǎng)度為2■，感知隱含條件的挖掘過(guò)程，得出隱含條件“直線m與直線l1的夾角為30°”，突破思維的難點(diǎn)，從而快速求解.

結(jié)構(gòu)特征：構(gòu)成解題路徑的基石

一般數(shù)學(xué)題都具有明顯的結(jié)構(gòu)特征，而其中的結(jié)構(gòu)特征往往直指解決問(wèn)題的切入口. 這就需要在解題過(guò)程中，仔細(xì)觀察題目的外部特征，深入分析題目的深層結(jié)構(gòu)，在剖析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征中抓住問(wèn)題的切入點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化.

例2：已知f（x）=■，試求出f（1）+f（2）+f■+f（3）+f■+f（4）+f■的值.

分析：本題可以首先計(jì)算f（1），f（2），f■，f（3），f■，f（4），f■的值，然后再求出f（1）+f（2）+f■+f（3）+f■+f（4）+f■的值，然而過(guò)程的煩瑣是可想而知的. 此時(shí)，不妨去觀察式子f（1）+f（2）+f■+f（3）+f■+f（4）+f■的特征，很快可以發(fā)現(xiàn)f（2）和f■，f（3）和f■，f（4）和f■中每一對(duì)自變量乘積都等于1，遮擋規(guī)律的“外衣”被迅速剝離，從而自然想到考慮這三對(duì)函數(shù)值的特征. 不少學(xué)生可以思考到去計(jì)算f（2）+f■，從而引申到f（x）+f■，則有f（x）+f■=■+■=■+■=1，所以f（1）+f（2）+f■+f（3）+f■+f（4）+f■=■+1+1+1=■.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生在解題時(shí)，需將著眼點(diǎn)置于對(duì)題目目標(biāo)結(jié)構(gòu)特征的分析和聯(lián)想上，有針對(duì)性地找尋解題的入口，從而快速找到解題的有效策略.

特殊化策略：獲得解題入口的捷徑

人們認(rèn)識(shí)客觀事物的普遍規(guī)律就是從特殊到一般的思路. 因此，在探究一些一般性問(wèn)題的時(shí)候，我們可以通過(guò)研究它的某些特殊情形，為問(wèn)題的探求提供幫助，從而找尋到問(wèn)題的解決入口. 而正是這種特殊化策略的靈活運(yùn)用，才能將認(rèn)識(shí)過(guò)程中以退為進(jìn)的思想方法體現(xiàn)得淋漓盡致.

例3：如圖1，已知長(zhǎng)方形ABCD中，有AB=2，BC=1，且E為DC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在線段EC上（不與E，C重合）. 現(xiàn)沿AF折起△AFD，使得平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB于K點(diǎn).設(shè)AK=t，那么t的取值范圍為________.

分析：本題若以一般方法著手解決，過(guò)程煩瑣且難度較大. 若從特殊化策略入手，也就是從兩個(gè)極端位置進(jìn)行思考，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F移動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，可以得出t=1. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，有CB⊥AB，CB⊥DK，所以CB⊥平面ADB，即CB⊥BD. 因?yàn)镃D=2，BC=1，所以BD=■. 又因?yàn)锳D=1，AB=2，所以AD⊥BD，則t=■，由此可得t的取值范圍為■，1.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本題通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考動(dòng)點(diǎn)F的兩個(gè)特殊位置“DC的中點(diǎn)和C點(diǎn)處”，從而快速找尋到解決本題的入口，給出特殊化策略解題的范例，讓學(xué)生感悟復(fù)雜問(wèn)題和一般問(wèn)題的解題方法.

數(shù)形結(jié)合：尋求解題入口的法寶之一

數(shù)形結(jié)合解題的重點(diǎn)是數(shù)與形的相互表征，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.在數(shù)形結(jié)合解題的過(guò)程中，找尋數(shù)與形的轉(zhuǎn)化途徑從而尋找解題突破口不僅是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn). 因此，在解題教學(xué)中，教師可以通過(guò)富有探究性的題目，引領(lǐng)學(xué)生從問(wèn)題本身進(jìn)行探索性活動(dòng)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相溝通，實(shí)現(xiàn)抽象與具體的轉(zhuǎn)化和滲透，大跨度地遷移自身已有的思維方式，從而找尋到解決問(wèn)題的突破口.

例4：已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a≠b≠c，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍為（? ）

A（5，6） B. （1，10）

C. （20，24）？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. （10，12）

分析：易得函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，可以通過(guò)作草圖來(lái)演繹圖像的變換，由此簡(jiǎn)化解題過(guò)程. 觀察圖2可知，若要f（a）=f（b）=f（c），可以設(shè)a

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)本題的典型性來(lái)凸顯數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和想象力，在解題完畢還可以進(jìn)一步進(jìn)行總結(jié)與提升，在回顧和概括中提升思想方法的應(yīng)用能力.

差異分析法：尋求解題入口的又一利器

在解題中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些題目的條件與結(jié)論之間無(wú)論在形式或結(jié)構(gòu)上，還是在圖形或文字間都存在著一定的差異性，我們將它們之間的差異稱為“目標(biāo)差”. 成功解題的關(guān)鍵就是從找尋目標(biāo)差入手，通過(guò)一個(gè)方案的設(shè)計(jì)來(lái)不斷縮小這里的目標(biāo)差，直到目標(biāo)差消除，從而在找尋、分析、消除目標(biāo)差的過(guò)程中快速形成解題方案，這種解決問(wèn)題的方法就是差異分析法. 該方法可以幫助學(xué)生快速找尋到解題入口，成為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)題的利器.

例5：已知tan2θ=-2■，■<θ<π，試求■.

分析：首先，從角的差異著手，目標(biāo)中除θ以外，還有■和θ+■，分析題設(shè)，只能找尋到2θ這一個(gè)，而事實(shí)上它們都可以轉(zhuǎn)化為θ;其次，從三角函數(shù)名稱的差異著手，目標(biāo)中僅有“弦”，而題設(shè)之中僅有“切”，事實(shí)上它們也可以相互轉(zhuǎn)化.從而，成功突破本題的關(guān)鍵在于縮小并消除角與三角函數(shù)名稱的目標(biāo)差.

解：原式=■=■=■. ？搖據(jù)tan2θ=■= -2■，可解得tanθ=-■或tanθ=■. 因?yàn)椤?θ<π，tanθ=-■，所以原式=■=3+2■.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本題巧借差異分析法，從找出差異開始搭建解題通道，并不斷變換思維的視角，關(guān)注到角與三角函數(shù)名稱的目標(biāo)差，快速聯(lián)結(jié)解題的思維路線，在消除目標(biāo)差的過(guò)程中完善解題路徑.

總之，解題教學(xué)的價(jià)值并非在于解題的數(shù)量，而是需借助解題活動(dòng)來(lái)提升學(xué)生解決問(wèn)題的策略，這才是解題教學(xué)的價(jià)值取向. 因此，我們?cè)诰x例題訓(xùn)練時(shí)，需站在學(xué)生的角度，精選具有典型性和價(jià)值性的例題，并以思維為主線，共同展示找尋解題突破口的全過(guò)程，讓學(xué)生在感受和體驗(yàn)中落實(shí)每個(gè)例題固有的“生長(zhǎng)”功能，從而實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的意義和價(jià)值. 只有持之以恒，才能真正意義上解決學(xué)生面對(duì)難題時(shí)“習(xí)得無(wú)助”的問(wèn)題.