高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的宏觀(guān)思考與微觀(guān)探究

浦麗敏

[摘? 要] 對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)概念的地位不容忽視，科學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)有一個(gè)前提，那就是教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，這實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀(guān). 綜合了數(shù)學(xué)觀(guān)、體驗(yàn)觀(guān)與學(xué)習(xí)觀(guān)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，可以超越傳統(tǒng)，從而更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);教學(xué)觀(guān)

對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)概念的地位不容忽視，傳統(tǒng)的認(rèn)識(shí)當(dāng)中，數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ);而從學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)本身就是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的過(guò)程. 在現(xiàn)行的評(píng)價(jià)體制之下，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)又常常被忽視，教師要將大量的時(shí)間投入到習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)中——這是一個(gè)非常吊詭的悖論：從學(xué)科教學(xué)規(guī)律的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不可忽視;從解題能力的培養(yǎng)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要讓位于習(xí)題訓(xùn)練. 那么高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何認(rèn)識(shí)概念教學(xué)？如何還原概念教學(xué)應(yīng)有的地位？在實(shí)際的概念教學(xué)當(dāng)中，又應(yīng)當(dāng)采用什么樣的合理途徑？回答這些問(wèn)題，筆者以為離不開(kāi)一個(gè)前提，那就是教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，這實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀(guān). 本文擬從三個(gè)方面，闡述筆者的一些淺顯認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)觀(guān)：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的宏觀(guān)指導(dǎo)

數(shù)學(xué)觀(guān)是教師對(duì)自己所教學(xué)科的認(rèn)識(shí)，同時(shí)數(shù)學(xué)觀(guān)也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí). 如果說(shuō)前者為很多教師所熟悉的話(huà)，那后者往往為教師所忽視，但實(shí)際上學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響非常大，因此教師必須予以高度重視. 一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)觀(guān)是對(duì)數(shù)學(xué)這一對(duì)象進(jìn)行理性思維的產(chǎn)物，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān)必須在教師的引導(dǎo)下才能形成，教師的數(shù)學(xué)觀(guān)對(duì)學(xué)生具有決定的影響，因而數(shù)學(xué)觀(guān)的問(wèn)題實(shí)際上就是數(shù)學(xué)教育的核心問(wèn)題.

在核心素養(yǎng)背景下，科學(xué)的數(shù)學(xué)觀(guān)應(yīng)當(dāng)具有這樣的兩個(gè)特征：一是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是簡(jiǎn)潔的. 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)學(xué)所研究的數(shù)，既包括“數(shù)”，也包括“數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”;數(shù)學(xué)所研究的形，既包括實(shí)際生活中的事物抽象出來(lái)的形，也包括用以描述生活中的事物的形，還包括人們基于數(shù)學(xué)之間的邏輯關(guān)系而想象出來(lái)的形. 因此到了高中階段，在理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候，高中學(xué)生應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，所研究的對(duì)象是什么. 二是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，與核心素養(yǎng)的六個(gè)要素是完全一致的，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)經(jīng)過(guò)專(zhuān)家的提煉之后，“用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界”就成為一個(gè)非常重要的論斷. 從這個(gè)角度講，科學(xué)的數(shù)學(xué)觀(guān)就意味著高中學(xué)生必須清楚地知道自己通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)達(dá)到一個(gè)什么樣的層次.

具體到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中，科學(xué)的數(shù)學(xué)觀(guān)所具備的兩個(gè)特征，應(yīng)當(dāng)與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)這樣對(duì)應(yīng)：數(shù)學(xué)概念是描述數(shù)與形的關(guān)系的基石，同時(shí)也可以理解為最基本的數(shù)與形的關(guān)系的高度概括;而學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)之后，就可以將數(shù)學(xué)中或者生活中與該概念相關(guān)的內(nèi)容，直接以這個(gè)概念來(lái)進(jìn)行表述. 舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，“函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)體系中最為重要的概念之一，在數(shù)學(xué)觀(guān)的觀(guān)照之下，學(xué)生不僅應(yīng)當(dāng)在看到明顯具有函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，還能夠想到“函數(shù)”這一概念;同時(shí)還應(yīng)當(dāng)在看到生活中具有函數(shù)關(guān)系的事物時(shí)，也能夠反映出“函數(shù)”這個(gè)概念，最常見(jiàn)的就是生活中的商品促銷(xiāo)與話(huà)費(fèi)套餐，等等，這些實(shí)際上都是或簡(jiǎn)單或復(fù)雜的函數(shù)計(jì)算的產(chǎn)物.

體驗(yàn)觀(guān)：數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的有效途徑

在具備了科學(xué)的數(shù)學(xué)觀(guān)之后，要思考的另一個(gè)問(wèn)題，就是在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的途徑？在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，無(wú)論是教師還是學(xué)生，對(duì)于概念的教學(xué)往往都認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是已有概念經(jīng)過(guò)一定的邏輯而演繹的產(chǎn)物，而一旦形成了這樣的教學(xué)觀(guān)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程，必然就只是數(shù)學(xué)概念與概念之間的邏輯演繹. 誠(chéng)然，相當(dāng)部分概念確實(shí)是可以這樣生成的，但是如果忽視了學(xué)生的個(gè)體體驗(yàn)，那么學(xué)生就會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常抽象;一旦學(xué)生認(rèn)為某一個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)比較抽象時(shí)，他們?cè)谛睦砩暇蜁?huì)產(chǎn)生畏懼感，這顯然是一種負(fù)面作用. 因此筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的體驗(yàn)，正如有同行所指出的那樣，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)聯(lián)系實(shí)際以體驗(yàn)概念的產(chǎn)生，聯(lián)系舊知以揭示概念的形成，充分探究以凸顯概念的生成，利用“問(wèn)題串”以深入概念的核心，比較辨析以抓住概念的本質(zhì)，這樣才能真正使學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的思想和本質(zhì). 無(wú)獨(dú)有偶的是，學(xué)習(xí)是發(fā)生在學(xué)習(xí)者個(gè)人內(nèi)部的一種活動(dòng)，情境理論則認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是個(gè)體參與實(shí)踐，與他人、環(huán)境等相互作用的過(guò)程，是形成參與實(shí)踐活動(dòng)的能力、提高社會(huì)化水平的過(guò)程. 同樣以“函數(shù)”概念的教學(xué)為例，從教學(xué)觀(guān)的角度來(lái)看，需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)是刻畫(huà)或描述兩個(gè)變量之間依賴(lài)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型. 而為了呼應(yīng)高中的教學(xué)要求，在實(shí)際教學(xué)中可以將該闡述中的“兩個(gè)變量之間依賴(lài)關(guān)系”轉(zhuǎn)換成生活中的實(shí)際事物，比如在實(shí)際教學(xué)的時(shí)候，可以給學(xué)生提供這樣一些案例一共分析：某一個(gè)地方一天24小時(shí)的氣溫隨時(shí)間的變化;某一個(gè)重物在下落的時(shí)候，下落的距離與時(shí)間的關(guān)系;某一個(gè)城市人口的數(shù)量與時(shí)間之間的關(guān)系……在這樣的一些案例當(dāng)中，學(xué)生所看到的不是抽象的“兩個(gè)變量之間依賴(lài)關(guān)系”，而是實(shí)實(shí)在在的氣溫與時(shí)間、下落距離與時(shí)間、城市人口的數(shù)量與時(shí)間……這樣的話(huà)，學(xué)生的思維對(duì)象就比較明確，也比較熟悉，于是他們?cè)谘芯績(jī)蓚€(gè)變量之間依賴(lài)關(guān)系的時(shí)候，也就更加順利了.

應(yīng)當(dāng)說(shuō)通過(guò)這樣的一個(gè)案例提供，學(xué)生在函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程當(dāng)中體驗(yàn)元素還是比較充分的，這種體驗(yàn)不是人們常說(shuō)的身體參與，不是動(dòng)手做，而是對(duì)生活中常見(jiàn)的具有函數(shù)關(guān)系的事物的感受，以及在此基礎(chǔ)上形成的認(rèn)識(shí). 相比較而言，后者更為重要，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的形成，本質(zhì)上是學(xué)生通過(guò)大腦思考而建構(gòu)出來(lái)的，這樣的一個(gè)體驗(yàn)過(guò)程，是符合高中數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)需要的. 進(jìn)一步分析：學(xué)生最為熟悉的其實(shí)是自由落體的實(shí)例，因?yàn)閷W(xué)生在其他學(xué)科中已經(jīng)有了一定的研究，他們清楚一個(gè)物體在做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候“下落的距離”與“時(shí)間”的關(guān)系，知道兩者之間是一種函數(shù)關(guān)系;而此時(shí)形成的認(rèn)識(shí)，如果演繹到其他的實(shí)例當(dāng)中，其實(shí)就是一種認(rèn)識(shí)的遷移，也是一種能力的遷移. 從這個(gè)角度來(lái)看，教師在給學(xué)生設(shè)計(jì)思維體驗(yàn)活動(dòng)的時(shí)候，還應(yīng)當(dāng)注意案例提供的順序，通常強(qiáng)調(diào)由易到難，這樣學(xué)生的體驗(yàn)過(guò)程將更加科學(xué)，所建構(gòu)出來(lái)的數(shù)學(xué)概念也會(huì)更加鞏固.

學(xué)習(xí)觀(guān)：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的堅(jiān)實(shí)依托

在研究高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的時(shí)候，如果認(rèn)同以生為本的教學(xué)觀(guān)念，如果堅(jiān)信數(shù)學(xué)概念本質(zhì)上是由學(xué)生通過(guò)自己的腦力活動(dòng)而建構(gòu)出來(lái)的，那么在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)當(dāng)去研究學(xué)生的學(xué)習(xí)觀(guān). 當(dāng)然需要指出的是，站在學(xué)生的角度研究學(xué)生的學(xué)習(xí)觀(guān)，本質(zhì)上與上面提到的數(shù)學(xué)觀(guān)與體驗(yàn)觀(guān)并不矛盾，因?yàn)閿?shù)學(xué)班本質(zhì)上也是要指向?qū)W生的，教師既希望學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠建立起科學(xué)的數(shù)學(xué)關(guān)系，又希望通過(guò)良好的數(shù)學(xué)觀(guān)去促進(jìn)數(shù)學(xué)概念更好地形成;而體驗(yàn)觀(guān)的提出，原本就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的體驗(yàn)，去讓數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程更加符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).

故而回到學(xué)生學(xué)習(xí)觀(guān)的討論上來(lái)，教師一方面在高中概念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意到不同概念的特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)用理論，要深入理解建構(gòu)主義，靈活運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，要堅(jiān)持“螺旋式上升”的教學(xué)原則，引導(dǎo)學(xué)生概念圖式的建構(gòu);同時(shí)更應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，在包括數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中，要致力于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀(guān)念，只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的形成其實(shí)是一個(gè)累積式的、螺旋上升的過(guò)程時(shí)，他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中才能表現(xiàn)出更加良好的心態(tài). 譬如上面所舉的函數(shù)概念的教學(xué)實(shí)例，通過(guò)學(xué)生熟悉的例子的分析，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?shí)例變換，可以培養(yǎng)學(xué)生的一種學(xué)習(xí)觀(guān)，即一個(gè)數(shù)學(xué)概念是可以從實(shí)例的分析當(dāng)中獲得的;而分析實(shí)例的過(guò)程，需要進(jìn)行分析與綜合，還需要進(jìn)行概括，這些都是具體的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 如果學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的形成實(shí)際上是遞進(jìn)式思維的產(chǎn)物，那么對(duì)于其他概念的學(xué)習(xí)是有幫助的.

總之，學(xué)生的學(xué)習(xí)觀(guān)對(duì)于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)而言有著重要的依托作用，認(rèn)識(shí)到這個(gè)作用的存在，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)概念的教學(xué)提供內(nèi)驅(qū)力，而綜合了數(shù)學(xué)觀(guān)、體驗(yàn)觀(guān)與學(xué)習(xí)觀(guān)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，也一定可以超越傳統(tǒng)，從而更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.