探尋數(shù)學(xué)符號價值意蘊(yùn)及培育策略

陳茂蘭

摘? 要：符號素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。培育學(xué)生符號素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。符號有助于學(xué)生數(shù)學(xué)表征，有助于學(xué)生思維發(fā)展，有助于學(xué)生創(chuàng)新實踐。作為教師，要善于捕捉教材中的“符號基因”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“符號化”歷程，引導(dǎo)學(xué)生符號運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)符號;價值意蘊(yùn);培育策略

數(shù)學(xué)是一門符號性科學(xué)，符號語言是數(shù)學(xué)基本語言。法國數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中認(rèn)為，“引進(jìn)好的符號”是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要力量。英國數(shù)理邏輯學(xué)家羅素曾這樣說，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)“符號意識”，培育學(xué)生數(shù)學(xué)“符號感”，這是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任和使命。

一、數(shù)學(xué)符號的價值意蘊(yùn)

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，所謂“符號”，就是從具體事物對象中抽象概括出來的一種簡略記號或代號。一般而言，數(shù)學(xué)符號包括數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等。在感知、理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號的過程中，學(xué)生會形成“符號感”，也就是學(xué)生主動運(yùn)用符號的意識、能力和習(xí)慣。符號感、符號意識表征著學(xué)生“準(zhǔn)代數(shù)式”思維，為學(xué)生的“代數(shù)學(xué)習(xí)”奠定堅實的基礎(chǔ)。

1. 符號有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)表征

數(shù)學(xué)符號追求用簡潔的數(shù)學(xué)語言表達(dá)、駕馭豐富的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)符號，有助于幫助學(xué)生描述數(shù)學(xué)信息并進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)表征。有時，學(xué)生所用的符號不一定規(guī)范、準(zhǔn)確，但卻能代表學(xué)生的意思，是一種符號雛形。教學(xué)《乘法的初步認(rèn)識》，對于相同加數(shù)相加，如“3+3+3+3”，有學(xué)生用3（4個），有學(xué)生用34，還有學(xué)生用34等來表示。這種表示方法雖然稚嫩，但卻是學(xué)生符號意識的萌芽。作為教師，要精心呵護(hù)、發(fā)掘?qū)W生的符號語言，增強(qiáng)學(xué)生的符號意識和直觀知覺。

2. 符號有助于學(xué)生的思維發(fā)展

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是從直觀動作思維向具體形象思維，再向抽象邏輯思維發(fā)展的。在這個過程中，符號發(fā)揮了重要的作用。通常情況下，學(xué)生總是習(xí)慣于具體的數(shù)量關(guān)系表征，從具體符號表示到準(zhǔn)代數(shù)式數(shù)學(xué)表征，再到符號、代數(shù)表征，確證著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。這是一個數(shù)學(xué)化、符號化、形式化的過程。比如教學(xué)《正反比例的意義》，學(xué)生從眾多數(shù)量關(guān)系式中梳理出“一種量擴(kuò)大，另一種量也隨之?dāng)U大，一種量縮小，另一種量也隨之縮小”的成正比例的量后，形成正比例解析式“k= （一定）”。不僅說明學(xué)生理解了自變量和因變量之間相互依存的關(guān)系，而且說明學(xué)生對這種相互依存關(guān)系的關(guān)系屬性（即兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)比值一定）有了深刻理解。

3. 符號有助于學(xué)生的創(chuàng)新實踐

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是被動接受的過程，而是積極主動地創(chuàng)新實踐。在運(yùn)用數(shù)學(xué)符號的過程中，學(xué)生能展開積極的數(shù)學(xué)思維，萌發(fā)創(chuàng)新靈感、點子，萌生創(chuàng)意、創(chuàng)想。教學(xué)《圓柱的體積》，在學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗將圓柱轉(zhuǎn)化成長方體后，教師引導(dǎo)學(xué)生用符號“V=πr2h”表征圓柱體積。通過符號表征，學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)，“πr2”不就是圓的面積嗎？至此，學(xué)生認(rèn)為，“V=πr2h”也就是“V=Sh”。因此，圓柱體積也就是用圓柱的底面積乘圓柱的高。正是借助簡約化、抽象化的數(shù)學(xué)符號，學(xué)生產(chǎn)生了創(chuàng)新性聯(lián)想，對圓柱體積公式有了新的發(fā)現(xiàn)。

二、符號素養(yǎng)的培育策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對培育學(xué)生符號素養(yǎng)做出明確規(guī)定：“能從情境中抽象出數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，并用符號來表示;理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律;能選擇適當(dāng)方法、程序解決符號所表達(dá)的問題?！苯虒W(xué)中，教師要積極發(fā)掘教材中蘊(yùn)含的符號因子，揣摩學(xué)生的符號學(xué)習(xí)心理。

1. 捕捉教材中的“符號基因”，喚醒學(xué)生的“符號意識”

數(shù)學(xué)教材蘊(yùn)含著豐富的符號因子。在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，對學(xué)生進(jìn)行符號意識的培育主要集中在高年級，從《用字母表示數(shù)》開始，一直到《認(rèn)識方程》，學(xué)生逐步學(xué)會用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等。但對學(xué)生符號意識的啟蒙，必須從低年級就要開始滲透。作為教師，要有意識地捕捉、發(fā)掘教材中的“符號基因”，喚醒學(xué)生的符號意識，培植學(xué)生的符號“感知力”，敏銳學(xué)生的“符號感”。符號常常成為誘導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的刺激物，能夠激發(fā)、激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。正如德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨所說：“符號的巧妙和符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節(jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！?/p>

比如蘇教版一年級上冊《認(rèn)識=、>和<》這一課就蘊(yùn)藏著豐富的符號。在引導(dǎo)學(xué)生比較兩個數(shù)量時，教師不要急于讓學(xué)生建立“同樣多”的概念，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式進(jìn)行表征，鼓勵學(xué)生創(chuàng)造符號。如在比較“4只猴子和4只兔子同樣多”時，有學(xué)生畫圈表示，有學(xué)生畫方框表示，有學(xué)生用三角形表示，還有學(xué)生別具一格，上下畫豎線，用一一對應(yīng)的方式表示等。符號的簡潔性表征著學(xué)生的思維質(zhì)量。顯然，用上下畫豎線表示的學(xué)生，具有一種對應(yīng)思想。當(dāng)筆者用“=”號表示兩種物體一樣多，而無論這兩種物體是多少個時，學(xué)生不禁感嘆：“數(shù)學(xué)符號的本領(lǐng)可真大?。　痹谝龑?dǎo)學(xué)生比較“5只松鼠比3只小熊多”時，有學(xué)生用“→”表示。當(dāng)筆者出示了“>”“<”，并且讓學(xué)生理解了“開口方向表示大，尖頭方向表示小”時，學(xué)生深深感受到數(shù)學(xué)符號的合理性，體驗到數(shù)學(xué)符號的科學(xué)性。

教師要善于捕捉教材中的“符號基因”。只有這樣，才能讓學(xué)生親近符號，逐步地理解符號、運(yùn)用符號，乃至創(chuàng)造符號。要讓學(xué)生在頭腦中建立符號與對象之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的合理性，只有這樣，才能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)符號形成積極的內(nèi)化。只有學(xué)生理解了數(shù)學(xué)符號，真正意義上的符號意識才得以生成。

2. 經(jīng)歷知識“符號化”過程，培養(yǎng)學(xué)生的“符號思維”

每一個數(shù)學(xué)符號都有著十分豐富的內(nèi)涵，都蘊(yùn)含著豐富的意義。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“符號化”過程，激活學(xué)生數(shù)學(xué)符號的生長因子，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)符號理解能力，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地創(chuàng)生符號，并在這個過程中培育學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式思維”。在這個過程中，教師要搭建臺階，找準(zhǔn)培養(yǎng)學(xué)生符號意識的生長點、生發(fā)點和生成點，激活學(xué)生的符號思維，催生學(xué)生的符號想象。

教學(xué)《用字母表示數(shù)》，筆者充分運(yùn)用教材中所提供的素材，擺一個三角形需要3根小棒，擺兩個三角形需要2×3根小棒，擺三個三角形需要3×3根小棒，擺四個三角形需要4×3根小棒……用什么方法可以表示出擺任意個三角形需要的小棒的根數(shù)呢？三角形的個數(shù)和小棒的根數(shù)之間有怎樣的關(guān)系呢？擺a個三角形需要多少根小棒呢？于是，有學(xué)生認(rèn)為，擺a個三角形需要b根小棒（將字母表示數(shù)理解為字母代替數(shù)，而沒有意識到三角形與小棒之間的關(guān)系）;有學(xué)生認(rèn)為，擺a個三角形需要3×a根小棒。正是通過問題緩緩地啟發(fā)，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力和代數(shù)思想的提升。當(dāng)學(xué)生真正理解了符號所表達(dá)的意義時，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)才更加完整和縝密。

符號意識、符號思維是學(xué)生代數(shù)思維的基礎(chǔ)，也是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡。作為教師，要依循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，借助學(xué)生的知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗等，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的符號化過程，進(jìn)而建構(gòu)符號模型。在這個過程中，學(xué)生能感受到符號的意義，體認(rèn)到符號的價值。

3. 引導(dǎo)學(xué)生符號運(yùn)用，培育學(xué)生的“符號素養(yǎng)”

對于數(shù)學(xué)符號，學(xué)生不僅要理解，更要學(xué)會靈活運(yùn)用。只有在運(yùn)用中，學(xué)生才能真正形成“符號素養(yǎng)”。學(xué)生符號素養(yǎng)的形成不是依靠機(jī)械地傳授，而是在“理解”“領(lǐng)悟”和“運(yùn)用”中才能形成的。在這個過程中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極反思，助推學(xué)生從對生活的感性認(rèn)知上升到對符號的理性認(rèn)知。

教學(xué)《解決問題的策略——一一列舉》，教師不僅要滲透有序的數(shù)學(xué)思想，還要滲透既不重復(fù)又不遺漏的方法，更要培育學(xué)生的符號素養(yǎng)。只有在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)有些列舉是有規(guī)律可循的。如對于這樣的習(xí)題：一個班級40個人，放假以后同學(xué)之間都會通電話、寄賀卡問候，一共要通話多少次？一共要寄賀卡多少張？教師可通過“以小見大找規(guī)律”的方法啟發(fā)學(xué)生思考，用畫圖、模擬通電話、寄賀卡等方式讓學(xué)生直觀感知。學(xué)生展開關(guān)系性思維，首先通過找規(guī)律，讓學(xué)生的生活經(jīng)驗與代數(shù)移植嫁接：2個人通電話1次，3個人通電話1+2次，4個人通電話1+2+3次……兩個人互寄賀卡2×1張，3個人互寄賀卡3×2張，四個人互寄賀卡4×3張……再次，引導(dǎo)學(xué)生類推，建構(gòu)n個人兩兩不重復(fù)相互通電話的次數(shù)的代數(shù)模型“1+2+3+…+n-1=n（n-1）÷2”，n個人兩兩互寄賀卡的張數(shù)的代數(shù)模型“n（n-1）”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分“寄賀卡”和“通電話”：“通電話”你我之間只需通一次，而“寄賀卡”你我之間需要相互寄。這是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)符號模型的過程，它豐富了學(xué)生的符號模型體系，推進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)符號化思維的發(fā)展。

培育學(xué)生的符號素養(yǎng)，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號運(yùn)用。只有當(dāng)學(xué)生能運(yùn)用符號思維解決現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)問題時，才能讓學(xué)生從被動接受、適應(yīng)數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃永斫狻⑦\(yùn)用和創(chuàng)造符號。要引導(dǎo)學(xué)生積極主動地認(rèn)識現(xiàn)實世界和符號表征之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在符號理解、運(yùn)算和思考中解決實際問題。

數(shù)學(xué)符號具有抽象美、形式美、統(tǒng)一美、簡潔美的特質(zhì)。作為教師，要在學(xué)生的數(shù)學(xué)世界中播下符號種子，使之生根、發(fā)芽、開花;要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號的誕生過程，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的豐富意義，感受數(shù)學(xué)符號的價值，并讓學(xué)生積極嘗試運(yùn)用符號解決問題;要在這個過程中培育學(xué)生符號意識，發(fā)展學(xué)生符號思維，形成學(xué)生符號素養(yǎng)。