C 3?C 4無偏的不可擴展最大糾纏基

唐 亮， 柏明強

（四川師范大學數學科學學院，四川成都610066）

量子糾纏是量子信息中的一個核心問題.利用量子糾纏可以完成許多令人驚奇的量子任務，如量子秘密共享［1］、量子隱形傳態(tài)［2-3］、量子態(tài)制備［4］和量子密鑰分配（QKD）［5］等.因為量子糾纏有著神奇的技術應用，所以本身的理論研究也十分重要.近年來，對量子糾纏的研究越來越多，特別是量子系統的基構造方面.量子系統基的研究主要包括無偏基［6］、最大糾纏基［7］、不可擴展的積態(tài)基［8］等.作為量子糾纏中的一個重要概念，無偏基優(yōu)化了量子態(tài)重構問題.Wotters等［9］證明了在Cd空間中無偏基的個數不超過d＋1，當d是素數冪時N（d）＝d＋1，然而當d是非素數冪的合數時，N（d）還無法確定.即便是 d＝6時，N（d）也未知.2013年，Chen等［10］將不可擴展的最大糾纏基的概念推廣到兩個不同維數的兩體系統中.2014年，Li等［11］在任意系統 Cd?Cd′（d≠d′）中解決了不可擴展的最大糾纏基（UMEB）問題，結果證明UMEB總是存在的，還可能有兩組個數不同的 UMEB.2015 年，Ma 等［12］進一步在 C2?C3空間中任意給出一組UMEB，構造了與之無偏的另一組含參量不可擴展最大糾纏基的一般形式，再根據兩組基之間的無偏性，對相關參數進行求解，得到兩組無偏的UMEBs.因此，繼續(xù)討論無偏基在更多兩體維空間的構造問題具有一定的實際意義.

在已有兩體系統研究基礎上，本文首先給出了兩體系統C3?C4中無偏不可擴展的最大糾纏基一般表達式，并通過對C4中的標準正交基的改變，構造了C3?C4兩組不同于以往的不可擴展的最大糾纏基.同時在保證無偏的前提下，將這兩組不可擴展的最大糾纏基進行了完備化.

1 C 3?C 4不可擴展的最大糾纏基

接下來，首先回顧一下無偏基、不可擴展最大糾纏基等定義.

定義1［13］對于Hilbert空間Cd的兩組標準正交基 B1＝｛｜b1〉，…，｜bd〉｝和 B2＝｛｜c1〉，…，｜cd〉｝.如果則稱這兩組標準正交基是無偏基（MUBs）.

例 1在 C2空間中，｜0〉、｜1〉和｜＋〉、｜-〉是一組無偏基.

定義2［7］對于Hilbert空間，若對子系統A中的任意正交基｜iA〉，都存在子系統B中的標準正交基｜iB〉，使得則稱｜χ〉為 Cd?Cd′（d≤d′）中的最大糾纏態(tài).

例2Bell態(tài)就是一組最大糾纏基.

定義 3［10］對于 Cd?Cd′中的量子態(tài) ｜φ1〉，｜φ2〉，…，｜φn〉，n ＜dd′.如果滿足：

（i）｜φi〉均為最大糾纏態(tài)，i＝1，2，…，n；

（ii）｜〈φi｜φj〉｜＝δij，?i，j＝1，2，…，n；

（iii）不存在與所有｜φi〉正交的最大糾纏態(tài)，即若｜φ〉滿足〈φi｜φ〉＝0，?i＝1，2，…，n.那么｜φ〉一定不是最大糾纏態(tài)；則稱其為Cd?Cd′的一組不可擴展的最大糾纏基.

例 3［10］在 C2?C3中，下列矢量是一組不可擴展的最大糾纏基：

其中

｜0〉、｜1〉和｜0′〉、｜1′〉、｜2′〉分別是 C2和 C3空間的標準正交基，σi（i＝0，1，2）是 Pauli矩陣.接下來，探討C3?C4的不可擴展的最大糾纏基，由于文獻［14］證明了 Cd?Cd′（d′＝qd ＋r，q，r∈N＋，且0＜r＜d）中不可擴展的最大糾纏基含有qd2個成員，從而C3?C4中的不可擴展的最大糾纏基有9個向量.

定理1C3?C4系統中存在如下不可擴展最大糾纏基：

其中

｜0〉、｜1〉、｜2〉和｜0′〉、｜1′〉、｜2′〉、｜3′〉分別是 C3和C4空間的一組標準正交基表示模 3的加法.

證明（i）｜φ〉是最大糾纏態(tài)，即如果存在一個態(tài)｜φ〉?｜φn，m〉是最大糾纏態(tài).

（iii）如果存在一個態(tài)｜φ〉，使得〈φn，m｜φ〉＝0，n，m＝0，1，2.

假設｜φ〉是最大糾纏態(tài)，則｜φ〉的Schmidt分解為

其中，0＜λi＜1，且 λ0＋λ1＋λ2＝1，U、V的矩陣形式為

U、V均為酉矩陣，于是

則

同理，由〈φn，m｜φ〉＝0（n，m＝0，1，2，n，m 不同時為0），可以得到類似于（9）式的其余8個等式，進而可表示為

再令（10）式為 Av＝0，其中

T表示矩陣轉置.因為

所以Av＝0只有零解，即v＝0.從而

于是

由酉矩陣的性質可以得到V不可能是酉矩陣，與假設矛盾，所以｜φ〉不可能是最大糾纏態(tài).綜上所述，（3）式是C3?C4一組不可擴展的最大糾纏基.加上如下3個直積態(tài)構成了C3?C4一組完備的標準正交基：

下面對C3中的標準正交基不作改變，對C4空間中的標準基作如下改變：

根據文獻［12］的構造方法，利用（15）式這組基，可以在兩體系統C3?C4系統中給出另外一組UMEB：

可以計算得到

加上如下3個直積態(tài)同樣構成C3?C4一組完備的標準正交基：

事實上，文獻［12］所構造多組無偏的UMEB的方法，關鍵在于對Cd′空間中標準基的選取，顯然這樣的標準基并不唯一.根據線性空間基構造理論，下面式子中的量子態(tài)構成C4空間的一組標準正交基：

進而可構造C3?C4的一組UMEB

同理，可以計算得到

添加如下的3個積態(tài)使其完備化，則可以得到一組C3?C4完備的標準正交基：

由前面的分析，可以得到后面的結果.

定理2（16）和（20）式是兩組無偏的UMEB.

2 結論

本文主要是對低維兩體系統C3?C4給出了C4空間的兩組不同的標準正交基，在保證無偏的條件下，同時對不可擴展最大糾纏基進行了完備化.在一般的兩體系統 Cd?Cd′（d≠d′）中改變 Cd′空間標準標準正交基，繼而可以構造多組不可擴展的最大糾纏基.進一步地，通過探索Cd空間的標準正交基，研究兩體系統 Cd?Cd′（d≠d′）的不可擴展的最大糾纏基構造.