平底筒倉Janssen公式中儲料特征高度的測定及其變化規(guī)律

陳家豪，陳桂香，劉文磊，葛蒙蒙，譚晗洋

平底筒倉Janssen公式中儲料特征高度的測定及其變化規(guī)律

陳家豪1,2，陳桂香1,2，劉文磊1，葛蒙蒙1，譚晗洋1

（1.河南工業(yè)大學土木工程學院，鄭州 450001；2.河南省糧油倉儲建筑與安全重點實驗室，鄭州 450001）

筒倉儲料的特征高度是Janssen公式中影響筒倉儲料壓力計算準確性的重要參數(shù)，為了進一步縮小筒倉儲料壓力的理論值與真實值之間的偏差，該研究對筒倉儲料的特征高度進行試驗研究。該研究利用筒倉儲料壓力綜合試驗裝置，對小麥儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力進行測量，并根據(jù)儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力與特征高度之間的關(guān)系計算得到特征高度的值。研究了整個儲料堆的特征高度與儲料填充高度的關(guān)系，探討了儲料堆內(nèi)部的特征高度與填充高度的關(guān)系以及儲料堆內(nèi)部的特征高度的分布規(guī)律。得到如下結(jié)論： 1）筒倉儲料堆的特征高度的試驗值大于Janssen理論值。2）儲料堆的底部豎向壓力的測試值大于Janssen理論值，筒倉倉壁總摩擦力的測試值小于Janssen理論值。3）對于筒倉整個儲料堆的特征高度，當高徑比/< 0.9時，隨著儲料填充高度的增加而逐漸減??；當高徑比/≥0.9時，特征高度值幾乎保持不變。4）對于儲料堆中不同半徑實心圓柱的特征高度，當高徑比/<0.9時，均隨著儲料填充高度的增加而逐漸減??；當高徑比/≥0.9時，隨著儲料填充高度的增加，半徑最大的圓柱（即整個儲料堆）的特征高度幾乎保持不變，其余圓柱的特征高度以不同速率呈非線性逐漸減小并趨于相等。5）儲料堆中不同半徑實心圓柱的特征高度基本隨著圓柱半徑的增大而減小。該研究為Janssen公式中儲料特征高度的確定提供一種試驗方法，使Janssen公式能夠用于筒倉儲料壓力的精確計算。

筒倉；壓力；特征高度；儲料；摩擦系數(shù)；側(cè)壓力系數(shù)

0 引 言

顆粒物質(zhì)具有復雜的力學特性，對于筒倉這種特殊結(jié)構(gòu)，其倉內(nèi)儲料壓力的分布規(guī)律較為復雜。筒倉的儲料壓力涉及筒倉的結(jié)構(gòu)安全問題，一直是國內(nèi)外學者關(guān)注和研究的重點[1-4]。早在1895年，Janssen就以筒倉中儲料薄片為微元體，根據(jù)微元體靜力平衡狀態(tài)推導出了著名的Janssen公式。此后該公式被廣泛應(yīng)用，至今仍是諸多國家筒倉設(shè)計規(guī)范中儲料壓力計算的重要依據(jù)[5-7]。該公式是基于如下假設(shè)得到的：1）儲料的豎向壓力在水平面上服從均勻分布；2）儲料與倉壁之間處于臨界滑動狀態(tài)；3）儲料的豎向壓力為最大主應(yīng)力，儲料的水平壓力為最小主應(yīng)力，側(cè)壓力系數(shù)=tan2(45°?/2)，其中為內(nèi)摩擦角。而儲料實際受力情況為：1）受倉壁摩擦的影響，筒倉中儲料的豎向壓力在水平面上是非均勻分布的[8-14]。2）筒倉儲料與倉壁之間不一定處于臨界滑動狀態(tài)，即儲料-倉壁接觸面上的實際摩擦應(yīng)力與法向壓力之比不一定達到最大靜摩擦系數(shù)[8-9,11,15-17]。文獻[11,17]基于倉壁與倉底分離的筒倉模型實驗，測量了倉壁總摩擦力，發(fā)現(xiàn)若不經(jīng)過“使儲料與倉壁間的摩擦力充分動員”的處理方法，測得的倉壁總摩擦力將小于Janssen公式的推論式的計算結(jié)果。由于Janssen公式是基于極限狀態(tài)（儲料與倉壁之間處于臨界滑動狀態(tài)）推導出來的，因此通過該公式計算得到的是倉壁最大靜摩擦力，而測得的倉壁總摩擦力小于理論值，這說明筒倉中的儲料與倉壁并非接觸面上的每一點都處于臨界滑動狀態(tài)。有學者利用光彈試驗以及組合型傳感器對摩擦應(yīng)力和法向壓力進行測量[18-21]，部分學者[15,22-23]利用直剪儀測量了糧食顆粒、玻璃珠等顆粒物質(zhì)與不同材料之間的摩擦系數(shù)，還有學者通過拔出糧食顆粒集合體內(nèi)的玻璃棒[24-26]測量顆粒物質(zhì)與玻璃棒之間的摩擦系數(shù)，試驗結(jié)果均表明顆粒物質(zhì)與接觸界面之間不一定處于臨界滑動狀態(tài)。3）無論是倉壁與儲料的接觸面上還是儲料內(nèi)部均存在摩擦應(yīng)力，故儲料的豎向壓力不是最大主應(yīng)力，水平壓力也不是最小主應(yīng)力[27-28]，因此側(cè)壓力系數(shù)不等于tan2(45°?/2)[29-31]。

Janssen公式的理論假設(shè)與儲料實際受力情況存在一定偏差,其計算模型只是對儲料微元實際受力狀態(tài)的簡化，因此筒倉儲料壓力的理論值與真實值之間存在一定偏差[9-11,17]。特征高度是Janssen公式中影響計算準確性的重要參數(shù)[17]。如果在不改變Janssen公式的形式的前提下，試圖將該公式用于筒倉內(nèi)儲料壓力的精確計算，就必須對公式中的特征高度進行修正，或者對公式中的摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)同時進行修正。

針對特征高度的研究，大多數(shù)文獻中的試驗工作是將倉底和倉壁分離，測量筒倉不同填充質(zhì)量下的倉底視在質(zhì)量（實際質(zhì)量）和倉壁總摩擦力，或者是將倉壁上、下兩部分及倉底相互分離，測量顆粒堆積體不同深度處的廣義豎向力。在此基礎(chǔ)上通過考察測量值是否滿足Janssen公式的推論式來研究Janssen公式的適用性并討論特征高度的值。目前從這類試驗得到的比較普遍的結(jié)論是：儲料壓力以及特征高度的Janssen理論值與試驗測量值之間存在差異，若要得到符合Janssen公式的試驗結(jié)果，試驗還需要補充某些后續(xù)處理方法，例如Vanel等提出的“倉底活塞緩慢沉降[32-33]”、“上拉側(cè)壁[16,34]”、“反復擾動尋找最小視在質(zhì)量[16,18]”等。然而實際筒倉儲存物料時沒有經(jīng)過這樣的后續(xù)處理，因此開展未經(jīng)后續(xù)處理筒倉的儲料壓力的Janssen公式適用性研究具有現(xiàn)實意義。

針對有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)的研究，國內(nèi)外學者做了大量的研究工作。有學者[29-30]對密閉容器中的顆粒集合體施加豎向荷載，發(fā)現(xiàn)側(cè)壓力系數(shù)隨著豎向壓力的增大趨于飽和，且其大小受顆粒體積分數(shù)及顆粒內(nèi)摩擦系數(shù)等因素的影響。文獻[16]利用文獻[31]中提及的糧倉系統(tǒng)，試驗研究了不同填充高度和不同頂部負載下倉壁總摩擦力，并利用試驗數(shù)據(jù)對基于Janssen倉壁摩擦應(yīng)力公式得到的推論式進行擬合，結(jié)果表明摩擦系數(shù)與側(cè)壓力系數(shù)的乘積為常數(shù)。文獻[35-36]提出一種根據(jù)筒倉倉壁總摩擦力確定筒倉儲料側(cè)壓力系數(shù)的方法。文獻[37-39]分別基于Drucker-Prager準則、Matsuoka-Nakai準則、Lade-Duncan準則和統(tǒng)一強度理論推導了平面應(yīng)變狀態(tài)下考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)的筒倉儲料側(cè)壓力系數(shù)的表達式。本課題組在前期探討筒倉儲料壓力的工作中，利用自主研發(fā)的筒倉儲料壓力綜合試驗裝置對儲料堆的豎向壓力、徑向水平壓力和摩擦應(yīng)力的分布規(guī)律進行了試驗研究和有限元數(shù)值模擬，探討了有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)沿儲料堆深度的分布規(guī)律[10-11]。結(jié)果表明，有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)均隨儲料深度的變化而變化。但由于試驗條件所限，試驗未能綜合考慮多因素對有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)的影響，沒有給出有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)的表達式。文獻[9]對筒倉倉壁的有效摩擦系數(shù)分布進行了模型試驗和有限元數(shù)值模擬研究，分析了有效摩擦系數(shù)與筒倉直徑、裝糧高度、外摩擦系數(shù)、糧堆深度等因素之間的關(guān)系，給出了筒倉倉壁有效摩擦系數(shù)的表達式。

從以上研究可以看出，對有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)進行試驗測量的難度較大，且倉壁有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)受多種因素影響，故對有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)分別進行試驗研究較為困難。注意到Janssen公式的豎向壓力表達式中的有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)總是以乘積形式出現(xiàn)，因此本研究統(tǒng)一考慮有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)的變化，同時考慮筒倉儲料填充高度對特征高度的影響，利用筒倉儲料壓力綜合試驗裝置對特征高度進行試驗研究。以期在不改變Janssen公式的形式的前提下，使Janssen公式能夠用于筒倉儲料壓力的精確計算。本研究也為Janssen公式中參數(shù)的確定提供一種新的方法。

1 材料與方法

1.1 試驗材料與裝置

本試驗以河南滎陽產(chǎn)的小麥作為筒倉儲料。根據(jù)GB/T 5498-2013《糧油檢驗容重測定》，利用容重瓶測得儲料的表觀密度為800 g/L。利用全自動應(yīng)變控制式三軸儀，并按照三軸壓縮試驗的方法測得儲料的內(nèi)摩擦角為25°（內(nèi)摩擦系數(shù)為0.47）。利用直剪儀，按照直剪試驗的方法測得試驗所用有機玻璃與小麥之間的最大靜摩擦系數(shù)為0.45。小麥顆粒近似呈旋轉(zhuǎn)橢球，其長軸約6 mm，短軸約3 mm，顆粒大小比較均勻。

模型筒倉中儲料壓力的測量容易受尺寸效應(yīng)的影響，文獻[16]對倉壁總摩擦力和側(cè)壓力系數(shù)進行試驗研究時發(fā)現(xiàn)，當改變顆粒直徑與容器直徑比時，側(cè)壓力系數(shù)會發(fā)生改變，由此指出若顆粒直徑與容器直徑比較大時，尺寸效應(yīng)以及拱效應(yīng)將對試驗結(jié)果造成影響。因此，為消除尺寸效應(yīng)的影響，本研究所采用的筒倉模型的直徑（內(nèi)直徑）為480 mm，高為2 100 mm，所采用的填充顆粒的短軸約為3 mm，短軸與筒倉直徑之比約為1/160。

課題組聯(lián)合河南省建筑科學研究院共同研制開發(fā)了筒倉儲料壓力綜合試驗裝置，如圖1所示。該裝置由模型筒倉、支撐結(jié)構(gòu)以及測量系統(tǒng)等構(gòu)成，其中模型筒倉由上筒、中筒、下筒和倉底組成。上筒、中筒、下筒采用有機玻璃制成，倉底采用鋼板制成。上筒高1 000 mm，中筒高100 mm，下筒高1 000 mm，筒倉直徑（內(nèi)直徑）480 mm，倉壁厚10 mm。為對倉底壓力進行數(shù)據(jù)采集與處理，根據(jù)前期數(shù)值模擬結(jié)果，將倉底設(shè)計為由1個中心圓盤和3個圓環(huán)組成，并確定了各圓環(huán)（盤）尺寸，使各圓環(huán)的環(huán)寬及中心圓盤的半徑足夠小，保證各圓環(huán)（盤）上的豎向壓力盡可能沿筒倉徑向呈線性分布。各圓環(huán)（盤）直徑見圖1c。倉底由電機控制可上下移動，可定位在下筒高度范圍內(nèi)的任何位置，從而實現(xiàn)儲料堆在筒倉中位置的改變。模型筒倉采用分離式設(shè)計，即上筒與中筒之間，中筒與下筒之間，下筒與倉底之間以及倉底各部分之間均設(shè)置有1 mm寬的微縫，從而使它們之間相互獨立。微縫設(shè)置為1 mm寬可避免散體儲料從微縫中流出。模型筒倉的分離式設(shè)計可實現(xiàn)對上筒倉壁、中筒倉壁、下筒倉壁以及倉底不同區(qū)域作用力的獨立測量。模型筒倉倉壁外側(cè)粘貼有刻度尺，用于測量儲料填充高度和倉底位置。支撐結(jié)構(gòu)采用鋼結(jié)構(gòu)支承，提供筒體的豎向支撐和側(cè)向支撐，側(cè)向支承為滑動支撐。測量系統(tǒng)包括壓力傳感器以及用于采集數(shù)據(jù)的軟硬件系統(tǒng)。筒倉的上筒、中筒和下筒各沿環(huán)向均勻布置3個懸臂式力傳感器，相鄰傳感器之間的夾角為120°，既用于測量倉壁摩擦力，又作為筒體的豎向支撐和側(cè)向支撐。中筒的倉壁內(nèi)側(cè)可安裝壓力傳感器，用于直接測量倉壁上的儲料壓力。倉底的中心圓盤和各圓環(huán)下面均勻布置有S形力傳感器，其中中心圓盤下面中心位置布置1個傳感器，各圓環(huán)下面布置3個傳感器，相鄰傳感器之間的夾角為120°，用于測量倉底不同區(qū)域內(nèi)的豎向壓力。數(shù)據(jù)采集軟件系統(tǒng)采用VB語言開發(fā)，能夠?qū)崟r采集、顯示、記錄各傳感器相關(guān)數(shù)據(jù)、倉底位置等。

1.懸臂式力傳感器 2.上筒 3.筒間微縫 4.滑動支座 5.中筒 6.倉底 7.下筒 8.倉底微縫 9.S形力傳感器 10.升降絲杠

1.2 試驗原理

筒倉儲料壓力一般利用布置在倉壁上或儲料堆內(nèi)部的壓力傳感器進行測量[14,27,40-42]，但傳感器的布置會影響儲料堆內(nèi)部壓力的傳遞，且布置于儲料堆內(nèi)部的傳感器若不進行固定則在儲料壓力作用下容易發(fā)生移動和轉(zhuǎn)動，影響筒倉儲料壓力的測量。相比于筒倉倉壁上儲料徑向水平壓力和儲料堆內(nèi)部壓力的測量，儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力可以在不布置筒倉內(nèi)的傳感器的條件下通過筒倉外的傳感器進行測量，從而避免了傳感器對壓力傳遞的干擾。因此，本研究對儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力進行測量，利用儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力計算特征高度。

根據(jù)Janssen公式，筒倉中儲料填充高度為的儲料堆其底部豎向壓力σ()為

其中，=/2（1）

式中為儲料堆的容重，N/m3；為筒倉儲料的特征高度，m；為儲料的填充高度，m；為筒倉半徑（內(nèi)半徑），m；為儲料與倉壁之間的摩擦系數(shù)，Janssen理論采用儲料與倉壁之間的最大靜摩擦系數(shù)max；為側(cè)壓力系數(shù)，Janssen理論采用朗肯主動土壓力系數(shù)tan2(45°?/2)（其中為儲料的內(nèi)摩擦系數(shù)）作為側(cè)壓力系數(shù)。

將Janssen倉壁摩擦應(yīng)力的表達式在儲料與倉壁的整個接觸面上進行積分可得到倉壁總摩擦力，儲料填充高度為的筒倉其倉壁總摩擦力F()為：

其中，=/2（2）

通過試驗測得一定填充高度下儲料堆的底部平均豎向壓力和倉壁總摩擦力，利用試驗測得的儲料堆的底部平均豎向壓力和倉壁總摩擦力并通過式（1）和式（2）計算特征高度的值。改變儲料填充高度并重復試驗，可得到不同填充高度下的特征高度的值。

1.3 試驗方法

由于顆粒物質(zhì)在堆積過程中的顆粒之間接觸的隨機性以及顆粒之間摩擦力的隨機性，使得顆粒物質(zhì)的制備方法和堆積歷史對顆粒物質(zhì)所表現(xiàn)的現(xiàn)象、顆粒堆積體的力鏈結(jié)構(gòu)和應(yīng)力分布等都有著至關(guān)重要的影響。因此，本研究以一種方式即點源法制備顆粒堆積體，且試驗重復進行3次，數(shù)據(jù)處理取3次試驗數(shù)據(jù)的平均值作為最終結(jié)果。

具體試驗步驟為：首先稱量一定質(zhì)量的糧食（在模型筒倉中填充高度約200 mm的糧食的質(zhì)量），并以點源法制備筒倉內(nèi)的糧食顆粒堆積體。然后用刮板刮平糧面，使糧面基本水平，同時記錄實際填充高度及各傳感器讀數(shù)。按照上述方法繼續(xù)進行試驗，直至儲料填充高度達到約2 000 mm，試驗結(jié)束。

2 結(jié)果與分析

2.1 特征高度的測定

為便于進行描述，倉底各部分由中心向外側(cè)依次稱為中心圓盤、一環(huán)、二環(huán)和三環(huán)。倉底各圓環(huán)（盤）上的豎向力、豎向壓力以及倉壁總摩擦力的試驗測試值隨填充高度的變化如圖2所示。從圖2可以看出,隨著儲料填充高度的增加，儲料堆的底部豎向力和豎向壓力呈非線性增大并逐漸趨于穩(wěn)定；儲料堆的底部豎向壓力是非均勻分布的，相同填充高度下底部豎向壓力大致為中心大邊緣?。粋}壁總摩擦力以較快速率增長。

圖2 儲料堆的底部豎向力和倉壁總摩擦力的測試值隨填充高度的變化

將作用在倉底各圓環(huán)（盤）上總的豎向力除以倉底面積得到儲料堆底部的平均豎向壓力。不同填充高度下儲料堆的底部豎向壓力的試驗測試值與Janssen理論值如圖3a所示。不同填充高度下倉壁總摩擦力的試驗測試值與Janssen理論值如圖3b所示。圖中對填充高度進行了無量綱化處理。

根據(jù)不同填充高度下儲料堆的底部豎向壓力的試驗測試值對式（1）中的特征高度進行擬合，得到特征高度的試驗測試值=0.75 m。本試驗的筒倉半徑（內(nèi)半徑）為0.24 m，儲料與倉壁之間的最大靜摩擦系數(shù)max為0.45，儲料的內(nèi)摩擦角為25°，故根據(jù)式（1）中特征高度的表達式得到特征高度的Janssen理論值=0.65 m。通過試驗數(shù)據(jù)擬合得到的值大于Janssen理論值，這說明Janssen過高地估計了的值。從圖3a可以看出，儲料堆的底部豎向壓力的測試值大于Janssen理論值，且隨著高徑比/的增加二者的差值越來越大。儲料堆底部豎向壓力大于 Janssen 理論值的現(xiàn)象在Vanel等[33]用“0?a”方法做的測量工作中也存在，這與本文結(jié)果一致。當高徑比/≥1.5時，儲料堆的底部豎向壓力的測試值與Janssen理論值二者相對偏差（測試值與理論值之差的絕對值除以測試值）在6%以上；當高徑比/為4.2時，儲料堆的底部豎向壓力的測試值和Janssen理論值分別為5.5和4.9 kPa,相對偏差為11%。根據(jù)Janssen公式，筒倉儲料的飽和豎向壓力為，依據(jù)計算得到的飽和豎向壓力和依據(jù)計算得到的飽和豎向壓力分別為5.9和5.1 kPa，相對偏差為14%。

根據(jù)不同填充高度下倉壁總摩擦力的試驗測試值對公式（2）中的特征高度進行擬合，得到特征高度的試驗測試值=0.75。利用儲料堆底部的平均豎向壓力數(shù)據(jù)擬合得到的特征高度與利用倉壁總摩擦力數(shù)據(jù)擬合得到的特征高度二者是相等的。從圖3b可以看出，倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值是有差異的，且隨著高徑比/的增加二者的差值逐漸增大。當高徑比/≥1.5時，筒倉倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值二者相對偏差在6%以上；當高徑比/=4.2時，筒倉倉壁總摩擦力的測試值和Janssen理論值分別為1.844和1.953 kN，二者相對偏差約為6%。

文獻[17,32-33,42]研究結(jié)果表明如果不對糧倉做“摩擦動員”的后續(xù)處理,儲料壓力將明顯偏離Janssen理論值，這與本文結(jié)果基本一致。儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力的試驗測試值與Janssen理論值產(chǎn)生偏差的根本原因在于Janssen公式的假設(shè)與儲料實際受力情況不一致（圖4）。從特征高度的角度來看，隨著填充高度的增加，儲料與倉壁間有效摩擦系數(shù)未達到最大靜摩擦系數(shù)max的儲料與倉壁接觸面積進一步增多，致使儲料特征高度的實際測試值大于Janssen理論值，從而使儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值之間的差異越來越明顯。

注：G為微元的重力, σv為Janssen模型的豎向壓力，σv*為真實豎向壓力,σh為徑向水平壓力, τw為倉壁摩擦應(yīng)力, μ為儲料與倉壁之間的摩擦系數(shù), K為側(cè)壓力系數(shù)。

2.2 特征高度λ與填充高度H的關(guān)系

雖然利用不同填充高度的試驗數(shù)據(jù)對Janssen公式中的特征高度進行了擬合，但為了進一步細觀地反映不同填充高度下特征高度的值，探究特征高度隨填充高度的變化規(guī)律，本研究利用儲料堆的底部豎向壓力的試驗測試值，直接由式（1）計算得到某一填充高度下的特征高度。對填充高度進行了無量綱化處理，圖5給出了特征高度的試驗測試值隨高徑比/的變化。

從圖5a可以看出，當高徑比/≤0.9時，特征高度相對較大，特別當儲料高徑比/=0.5時，特征高度為2.28 m。在這一階段，隨著儲料高徑比的增加，值由較大的值大致呈線性逐漸減小。當高徑比/≥0.9時，此后值幾乎保持不變，約為0.77m，此階段為特征高度的平穩(wěn)階段。值得注意的是，利用不同填充高度下的儲料堆底部的平均豎向壓力擬合得到的值為0.75m（見圖4），兩者得到的值較為接近。為了準確考察平穩(wěn)階段的變化趨勢，將圖5a中1.3≤/≤4.2階段的圖形進行放大，如圖5b所示,從圖中可以看出，當1.3≤/≤4.2時，僅呈小幅振蕩，較為平穩(wěn)，此階段的平均值為0.77 m，最大值為0.79 m，最小值為0.75 m，最大偏差0.02 m，最大偏差僅為平均值的約3%。呈小幅振蕩為試驗測量誤差所致。根據(jù)Janssen公式，筒倉儲料的飽和豎向壓力為，因此此階段飽和豎向壓力的最大偏差僅為此階段飽和豎向壓力平均值的約3%。

圖5 特征高度λ的試驗測試值隨高徑比H/D的變化

如果特征高度平穩(wěn)階段的平均值可以作為Janssen公式中的特征高度的值從而使Janssen公式能夠準確描述儲料壓力，那么今后只要測得處于穩(wěn)定階段的若干個不同高徑比下的特征高度，得到的平均值即可。因此，為了探究圖5a中特征高度平穩(wěn)階段的平均值（平均值為0.77 m）作為Janssen公式中特征高度的值的可能性，本研究利用特征高度平穩(wěn)階段的平均值計算任意填充高度下筒倉儲料堆的底部豎向壓力，并與其試驗測試值進行對比，如圖6所示。圖中對填充高度進行了無量綱化處理。

圖6 儲料堆底部的平均豎向壓力σz(H)的Janssen理論值（當λ=0.77時）隨高徑比H/D的變化及其與試驗測試值的對比

從圖6可知，利用特征高度平穩(wěn)階段的平均值計算得到的任意填充高度下儲料堆的底部豎向壓力與其試驗測試值吻合程度較好，二者相對偏差在9%以內(nèi)。這說明如果用試驗得到的特征高度平穩(wěn)階段的平均值作為Janssen公式中特征高度的值，那么Janssen公式能夠很好地描述筒倉儲料的豎向壓力。

值得注意的是，文獻[17]通過試驗研究了倉底無沉降處理的筒倉其顆粒壓力的分布規(guī)律，利用顆粒堆積體的底部豎向力的測試值，得到特征高度為0.146 m。而本研究通過2種途徑得到的特征高度分別為0.75和0.77 m。從獲得特征高度值的方法來看，本研究和文獻[17]都是利用倉底豎向荷載測試值并通過Janssen公式的推論式計算得到特征高度。本研究與文獻[17]得到的特征高度存在差異，其原因主要有：1）文獻[17]是在特定填充高度=0.50 m下得到的特征高度的值，而本研究考慮了填充高度的變化，根據(jù)多個不同填充高度下的試驗數(shù)據(jù)，通過擬合或求平均值的方法得到的特征高度的值。2）在試驗裝置幾何尺寸方面，本研究筒倉模型的內(nèi)徑=0.48 m，顆粒填充高度=0.21～2.00 m；文獻[17]筒倉模型的內(nèi)徑=0.10 m，顆粒填充高度=0.50 m。本研究的試驗裝置尺寸比文獻[17]試驗裝置的幾何尺寸大，前者直徑是后者直徑的4.8倍。3）二者填充材料和倉壁材料不同。文獻[17]采用球形玻璃珠作為填充材料，玻璃珠直徑介于4.5～5 mm，玻璃密度約為 2.5 g/cm3，倉壁為鋁制倉壁。本研究則以橢球狀的小麥顆粒作為填充材料，小麥顆粒長軸約6 mm，短軸約3 mm，小麥顆粒密度1.2 g/cm3，表觀密度800 kg/m3，倉壁采用有機玻璃制成。

3 儲料堆內(nèi)部的特征高度λ

為了探究儲料堆內(nèi)部的特征高度的分布規(guī)律，本文提出一種通過測量倉底不同區(qū)域的儲料豎向壓力從而獲得儲料堆內(nèi)部特征高度分布規(guī)律的試驗方法。沿倉底的微縫對圓柱形儲料堆進行縱向切割，筒倉內(nèi)儲料可形成多個不同半徑的實心圓柱形隔離體，如圖7所示。

注：Ri為隔離體的半徑，其中i=0,1,2,3；f0為隔離體R0與隔離體R1之間的有效摩擦系數(shù)；f3為隔離體R3與倉壁之間的有效摩擦系數(shù)。

半徑為R的實心圓柱形隔離體記為隔離體R，其中=0,1,2,3。隔離體3為整個儲料堆。隔離體的儲料壓力仍然可以利用Janssen公式進行計算，只是不同半徑的隔離體的特征高度值可能有所不同。如果儲料堆底部的豎向壓力是均勻分布的，那么通過各隔離體得到的特征高度值應(yīng)該是相同的；反之，如果儲料堆底部的豎向壓力是非均勻分布的，那么通過各隔離體得到的特征高度值應(yīng)該是不同的。因此，不同半徑的實心圓柱形隔離體的特征高度值可以反映豎向壓力是否為非均勻分布。

與整個儲料堆的特征高度的計算方法一致，根據(jù)不同半徑隔離體的底部豎向壓力試驗測試值，采用式（1）計算不同半徑隔離體的特征高度。只是此時式（1）中的需替換為隔離體的半徑i。圖8給出了半徑不同的隔離體的特征高度的試驗測試值隨填充高度的變化。

從圖8a可以看出，當儲料填充高度≤0.44 m時,各隔離體的特征高度相對較大。特別地，當儲料填充高度=0.21時，各隔離體的特征高度達到各自的最大值。在這一階段，隨著填充高度的增加各隔離體的特征高度值由較大的值大致呈線性逐漸減小。當儲料填充高度≥0.44m時，隨著儲料填充高度的增加，各隔離體的特征高度逐漸減小并趨于相等。為了準確考察特征高度的變化趨勢，將圖8a中0.64 m≤≤2.00 m階段的圖形進行放大，如圖8b所示。從圖中可以看出，當0.64 m≤≤2.00 m時，隨著填充高度的增加，隔離體3（即整個儲料堆）的特征高度值幾乎保持不變，約為0.77；其余內(nèi)側(cè)各隔離體的特征高度以不同速率呈非線性逐漸減小并逐漸趨于相同。若定義特征高度隨填充高度的衰減速率()=d/d，以i()表示隔離體i的衰減速率，則0()>1()>2()>3()。相同填充高度下，內(nèi)側(cè)隔離體的特征高度大于外側(cè)隔離體的特征高度，但內(nèi)側(cè)隔離體的特征高度減小快，外側(cè)隔離體的特征高度減小慢，因而各圓柱的逐漸趨于相等。隨著填充高度的增加各隔離體的特征高度從一較大值逐漸減小并逐漸趨于相同，這可能是由于當填充高度較小時,儲料的豎向壓力、水平徑向壓力和摩擦應(yīng)力均較小，有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)也較小，故特征高度較大。而當填充高度增加時，儲料的豎向壓力、水平徑向壓力和摩擦應(yīng)力均較大，有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)也較大，故特征高度較小。

注：隔離體R0、R1、R2、R3的半徑分別為60、120、180、239 mm。

由圖8可知，除在較小的填充高度=0.21時出現(xiàn)特征高度的奇異點外（奇異點產(chǎn)生的原因是由于當填充高度較小時儲料壓力較小，由此所帶來的壓力測量誤差），在其余任一填充高度下隔離體的特征高度隨著隔離體半徑的增大而減小。根據(jù)特征高度的定義式，產(chǎn)生“特征高度隨著隔離體半徑的增大而減小”的原因只能是由于隨著半徑的增大而快速增大。文獻[9]對筒倉儲料壓力場和有效摩擦系數(shù)分布規(guī)律進行了數(shù)值模擬和試驗研究，指出儲料堆內(nèi)部有效摩擦系數(shù)隨著半徑的增加而增大，并給出了有效摩擦系數(shù)的表達式。儲料堆內(nèi)部有效摩擦系數(shù)隨著半徑的增加而增大可能是導致隔離體的特征高度隨著隔離體半徑的增大而減小的原因之一。文獻[9]基于儲料堆內(nèi)部有效摩擦系數(shù)的分布規(guī)律，指出儲料堆任意水平面上（包括儲料堆的底面）的豎向壓力在靠近筒倉中心軸處較大，靠近倉壁處較小，即呈現(xiàn)“中間大，兩邊小”的非均勻分布特征。本研究從儲料特征高度沿半徑分布規(guī)律的角度，論證了上述結(jié)論。

特征高度不僅與半徑這一幾何參數(shù)有關(guān)，還與有效摩擦系數(shù)和側(cè)壓力系數(shù)有關(guān)。根據(jù)特征高度的定義和它的試驗測試值，計算得到的試驗測試值。圖9給出了不同半徑隔離體的的試驗測試值與填充高度的關(guān)系。

注：μ為有效摩擦系數(shù)，K為側(cè)壓力系數(shù)。

從圖9可以看出，當儲料填充高度≤0.44 m時，各隔離體的相對較小，隨著儲料填充高度的增加各隔離體的大致呈線性逐漸增大；當儲料填充高度≥0.44 m時，隨著儲料填充高度的增加各隔離體的呈非線性逐漸增大，并逐漸趨于穩(wěn)定，各隔離體的的穩(wěn)定值在數(shù)值上有所不同。值與填充高度之間的上述關(guān)系是各隔離體的特征高度隨著填充高度的增加而減小并逐漸趨于相同的直接原因。同時可以看出，除在較小的填充高度=0.21時出現(xiàn)值的奇異點外，其余任一相同填充高度下，隔離體的隨著隔離體半徑的增大而增大。沿筒倉半徑的分布規(guī)律是圓柱形隔離體的特征高度隨著隔離體半徑的增大而減小的直接原因。

4 結(jié) 論

本研究利用筒倉儲料壓力綜合試驗裝置對儲料堆底部豎向壓力和倉壁總摩擦力進行測量，并根據(jù)儲料堆底部豎向壓力和倉壁總摩擦力與特征高度之間的關(guān)系，對未經(jīng)后處理的儲料堆的特征高度進行試驗研究。研究了筒倉整個儲料堆的特征高度與填充高度的關(guān)系，探討了儲料堆內(nèi)部的特征高度與填充高度的關(guān)系以及儲料堆內(nèi)部的特征高度的分布規(guī)律。得到如下結(jié)論：

1）由于Janssen公式的假設(shè)與儲料實際受力情況不一致，因此儲料堆的底部豎向壓力的測試值大于Janssen理論值，筒倉倉壁總摩擦力的測試值小于Janssen理論值，且隨著高徑比/的增加儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值的絕對差越來越大。當高徑比/<1.5時，儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值較為接近，相對偏差（測試值與理論值之差的絕對值除以測試值）在6%以內(nèi)；當高徑比/≥1.5時，儲料堆的底部豎向壓力和倉壁總摩擦力的測試值與Janssen理論值相對偏差在6%以上。

2）在本研究的試驗條件下，即當筒倉半徑（內(nèi)半徑）為0.24 m，儲料與倉壁之間的最大靜摩擦系數(shù)為0.45，儲料的內(nèi)摩擦角為25°時，根據(jù)不同填充高度下儲料堆的底部豎向壓力的試驗測試值和倉壁總摩擦力的試驗測試值擬合得到的特征高度的試驗測試值=0.75 m，特征高度平穩(wěn)階段特征高度的平均值=0.77 m。本研究得到的特征高度的試驗值大于Janssen理論值（Janssen理論值′=0.65 m）。

3）對于筒倉整個儲料堆（即半徑最大的實心圓柱）的特征高度，當高徑比/＜0.9時，隨著儲料填充高度的增加而逐漸減小；當/≥0.9時，此后特征高度值幾乎保持不變，此階段為特征高度的平穩(wěn)階段。

4）當儲料填充高度＜0.44 m時，隨著儲料填充高度的增加，儲料堆中不同半徑實心圓柱的有效摩擦系數(shù)與側(cè)壓力系數(shù)的乘積逐漸增大，各圓柱的特征高度逐漸減小。當填充高度≥0.44 m時，各圓柱的隨著儲料填充高度的增加呈非線性增大，并逐漸趨于穩(wěn)定，各圓柱的穩(wěn)定值在數(shù)值上有所不同；對于各圓柱的特征高度，隨著儲料填充高度的增加，半徑最大的圓柱（即整個儲料堆）的特征高度值幾乎保持不變，其余圓柱的以不同速率呈非線性逐漸減小并趨于相等。

5）由于儲料堆底部的豎向壓力是非均勻分布的，因此儲料堆中不同半徑實心圓柱的特征高度值是不同的。除在較小的填充高度時出現(xiàn)的奇異點外，在其余任一填充高度下，圓柱的特征高度基本隨著圓柱半徑的增大而減小。直徑最大的圓柱（即整個儲料堆）的特征高度是所有圓柱特征高度中的最小值。

6）值與填充高度之間的關(guān)系是各圓柱的特征高度隨著填充高度的增加而減小并逐漸趨于相同的直接原因。值沿筒倉半徑的分布規(guī)律是儲料堆中圓柱的特征高度隨著圓柱半徑的增大而減小的直接原因。

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Determination of characteristic height with Janssen formula of storage material and its variation law in silo with flat bottom

Chen Jiahao1,2, Chen Guixiang1,2, Liu Wenlei1, Ge Mengmeng1, Tan Hanyang1

(1.,450001,;2.450001,)

Because Janssen formula is derived under certain assumptions, there is a certain deviation between the theoretical value and the real value of the storage material pressure in silo. The characteristic height of storage material in silo is an important parameter in Janssen formula, which affects the accuracy of calculation. Therefore, the experimental study on the characteristic height of storage material in silo was carried out in this study. The vertical pressure at the bottom of the storage material pile and the total friction force on the silo wall were measured by using the comprehensive test device for measuring the storage material pressure in silo, when wheat was used as storage material. And the value of the characteristic height was calculated according to the relationship between the vertical pressure at the bottom of the storage material pile and the characteristic height and the relationship between the total friction force on the wall and the characteristic height. The relationship between the characteristic height of the whole storage material pile and the filling height was studied. The relationship between the characteristic height in the storage material pile and the filling height, and the distribution law of the characteristic height in the storage material pile were discussed. The conclusions are as follows: 1) The test value of characteristic height of storage material pile in silo is greater than theoretical value of Janssen formula. 2) The measured value of vertical pressure at the bottom of the storage pile is greater than theoretical value of Janssen formula, and the measured value of total friction force on the silo wall is less than theoretical value of Janssen formula. When the ratio of height to diameter/less than 1.5, the measured value of vertical pressure at the bottom of the storage pile and the total friction force on the silo wall are close to theoretical value of Janssen formula, and the relative difference (the absolute difference between the measured value and the theoretical value divided by the measured value) is within 6%. When the ratio of height to diameter was/greater than or equal to1.5, the relative difference between the tested value and theoretical value of Janssen formula is more than 6%. 3) For the characteristic heightof the entire storage pile in silo (that is, the solid cylinder with the largest radius), when the ratio of height to diameter/less than 0.9, it gradually decreases as the filling height of the storage increases; When/greater than or equal to 0.9, the characteristic heightremains nearly constant, and this stage is the stable stage of the characteristic height. 4) For the characteristic height of solid cylinder with different radiuses in storage material pile, when the filling height less than 0.44 m, they all decrease with the increase of filling height of storage material; when the filling height greater than or equal to 0.44 m, with the increase of filling height of storage material, the value of the cylinder with the largest diameter (the whole storage material pile) remains almost unchanged, and the values of the remaining cylinders decrease nonlinearly at different rates and tend to be equal. 5) The characteristic height of the solid cylinder with different radiuses in the storage material pile basically decrease with the increase of the cylinder radius. This study provides a method for the determination of the characteristic height of storage material in Janssen's formulas, which enables Janssen's formulas to be used for the accurate calculation of the pressure of storage material in silo.

silo; pressure; characteristic height; storage material; coefficient of friction; lateral pressure coefficient

陳家豪，陳桂香，劉文磊，等. 平底筒倉Janssen公式中儲料特征高度的測定及其變化規(guī)律[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報，2020，36(15)：307-316.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.15.037 http://www.tcsae.org

Chen Jiahao, Chen Guixiang, Liu Wenlei, et al. Determination of characteristic height with Janssen formula of storage material and its variation law in silo with flat bottom[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(15): 307-316. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.15.037 http://www.tcsae.org

2020-04-17

2020-07-24

國家糧食公益性行業(yè)科研專項（201513001）；國家自然科學基金項目（51608176）；河南省科技廳科技攻關(guān)（202102110118）；河南省教育廳重點科研項目基礎(chǔ)研究計劃（20A560010）；河南工業(yè)大學高層次人才科研啟動基金（31401176）；河南省糧油倉儲建筑與安全重點實驗室開放課題（2020KF-B01）

陳家豪，博士，講師，主要從事散體物料壓力、倉儲建筑結(jié)構(gòu)研究。Email：1142653303@qq.com

陳桂香，博士，教授，博士生導師，主要從事安全儲糧技術(shù)等方面研究。Email：chen-guixiang@163.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.15.037

TU249; O347.7

A

1002-6819(2020)-15-0307-10