光波偏振態(tài)的相干矩陣表示及變換的研究

黃 艷

光波偏振態(tài)的相干矩陣表示及變換的研究

黃 艷

（漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程學(xué)院，福建，漳州 363000）

為從物理本質(zhì)上揭示光波偏振態(tài)、偏振的疊加、混合和傳播等概念和應(yīng)用，利用相干矩陣方法分析光波偏振態(tài)。深入探討了幾種特殊意義情況下光波相干矩陣的特點(diǎn)及其可能的合成方式。選擇部分偏振態(tài)通過(guò)線性光學(xué)元件和以布儒斯特角入射介質(zhì)分界面時(shí)透射光偏振特性分析的典型例子，揭示了光波偏振態(tài)的變換問(wèn)題。并在邦加球中以圖解形式表示光波偏振態(tài)的幾種合成形式及相干矩陣傳輸前后的偏振態(tài)變換。圖解法使物理量的代數(shù)表示幾何化，能更形象地描述偏振態(tài)的物理意義。分析表明，完全描述光波的偏振特性需要相干矩陣的本征值和本征態(tài)共同表征。

物理光學(xué)；偏振態(tài)；相干矩陣；偏振度；邦加球；本征值

0 引言

近年來(lái)，隨著激光技術(shù)的發(fā)展，光學(xué)的應(yīng)用范圍急劇擴(kuò)大，其中偏振光技術(shù)作為一種重要的測(cè)量手段越來(lái)越受到人們的重視[1-5]。面對(duì)偏振光技術(shù)日新月異的發(fā)展，需對(duì)偏振光知識(shí)有本質(zhì)的理解，如何描述光的偏振態(tài)及變換是偏振光技術(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)。目前，大學(xué)眾多光學(xué)教材中對(duì)光的偏振現(xiàn)象的描述主要是從現(xiàn)象出發(fā)的定性描述，然后以兩個(gè)波疊加為基礎(chǔ)的定義，強(qiáng)調(diào)通過(guò)兩波的位相差來(lái)區(qū)分各種類型光的偏振狀態(tài)[6-7]。其好處在于直觀形象、便于理解，不足之處是對(duì)自然光、完全偏振光和部分偏振光的本質(zhì)區(qū)別、偏振的各向異性等概念極不清楚。

如所周知，光的相干性起源于光輻射的隨機(jī)性導(dǎo)致諸參與疊加光波相位差的隨機(jī)性。偏振的多樣性也是來(lái)自于光源輻射的隨機(jī)性，只是取決于二維平面上兩個(gè)正交基的相位差的隨機(jī)性。所以偏振的可觀測(cè)量是一種統(tǒng)計(jì)系綜描述，在二維理論中通常用相干矩陣表示，類似于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的混態(tài)或密度矩陣，其特征之一是含糊性，即一種確定的偏振態(tài)對(duì)應(yīng)的起因可以有無(wú)數(shù)種[8]。另有一種與之表示等價(jià)的是斯托克斯理論，其幾何表象是三維邦加球坐標(biāo)系[9]。兩種方法在光學(xué)的高級(jí)教程或?qū)Ｖ卸加性敿?xì)的論述，但是很少看到具體應(yīng)用的描述和例子，所以使初學(xué)者在看完理論后仍停留在抽象的概念中，不能真正理解其中的物理本質(zhì)。

本文采用二維相干矩陣法詳細(xì)分析了光波的偏振性質(zhì)，并給出幾種特殊意義情況下光波相干矩陣的特點(diǎn)及其可能的合成方式。選擇部分偏振態(tài)通過(guò)線性光學(xué)元件和以布儒斯特角入射介質(zhì)分界面時(shí)透射光偏振特性分析作為典型例子，揭示了光波偏振態(tài)的變換問(wèn)題，并將光波的偏振狀態(tài)的幾種合成形式及傳輸后的變換在邦加球坐標(biāo)系中以圖解形式表示。圖解法使物理量的代數(shù)表示幾何化，讓讀者能夠從物理本質(zhì)上體會(huì)光波本征解、偏振的疊加、混合和傳播等概念和應(yīng)用。

1 偏振態(tài)的相干矩陣描述

矩陣光學(xué)是將數(shù)學(xué)矩陣方法應(yīng)用于光學(xué)研究，對(duì)描述和解決一些繁瑣的光學(xué)問(wèn)題，例如幾何光學(xué)計(jì)算、薄膜干涉研究等，提供了一種方便和有效的方法。1941年美國(guó)物理學(xué)家瓊斯提出了用一個(gè)列矩陣來(lái)表示光矢量的兩個(gè)分量的方法，這矩陣稱之為瓊斯矢量[10]。光學(xué)元件的傳輸矩陣對(duì)應(yīng)地采用2×2的瓊斯矩陣來(lái)表示，利用瓊斯矩陣法可方便計(jì)算偏振光通過(guò)不同組合的偏振光學(xué)元件后出射光的偏振狀態(tài)。然而，在涉及到部分偏振光問(wèn)題時(shí)，由于瓊斯矢量不能表示位相隨時(shí)間變化的自然光和部分偏振光，于是又發(fā)展了二維相干矩陣，為系統(tǒng)分析準(zhǔn)單色光的偏振狀態(tài)提供了一種有效方法[8]。

準(zhǔn)單色光波場(chǎng)矢量的變化既不是完全規(guī)則的，又不是完全不規(guī)則的，顯現(xiàn)出部分偏振的特點(diǎn)。研究此類光場(chǎng)的偏振特性需引入相干矩陣

稱為光波的相干矩陣，其中矩陣的跡r即其對(duì)角元之和為光的總強(qiáng)度

相干矩陣的本征方程可寫為

現(xiàn)求相干矩陣的本征值，列出矩陣的久期方程為[12]

求得兩個(gè)非零本征值

以上兩式含有復(fù)量，故這對(duì)本征態(tài)一般互為正交的橢圓偏振態(tài)，在這組態(tài)基下，相干矩陣是對(duì)角化的，即

本征值與本征態(tài)的物理意義在于：本征態(tài)是描述偏振的最基礎(chǔ)態(tài)，一定是偏振的，且屬于不同本征值的本征態(tài)是正交且不相干的，相應(yīng)的本征值表示光處于該本征態(tài)的強(qiáng)度。

現(xiàn)分析三種特殊意義情況下對(duì)角化相干矩陣的形式：

在邦加球中由球心表示。

2）當(dāng)非零本征值是單根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)代表完全偏振態(tài)

由邦加球面上的點(diǎn)表示。

例如，電矢量在方向和方向上單位強(qiáng)度的線偏振光矩陣分別為

一個(gè)部分偏振態(tài)可按比例1、2分解成兩個(gè)正交本征態(tài)的非相干混合，即

還可將相干矩陣寫成如下形式

（15）式的物理意義是，一個(gè)部分偏振態(tài)可按特定比例分解成一個(gè)自然光與本征態(tài)的非相干混合，非相干混合即為兩個(gè)偏振態(tài)的相干矩陣相加

很顯然偏振度滿足條件0≤≤1。

偏振度只是反映了部分偏振光中完全偏振分量所占據(jù)的權(quán)重，只由本征值決定，并沒有完全描述其偏振性質(zhì)。例如具有同樣偏振度的兩個(gè)部分偏振光，它們的本征態(tài)可以是不一樣的，完全描述光波的偏振性質(zhì)需要相干矩陣的本征值和本征態(tài)，后面將通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。

2 光波偏振特性的邦加球描述

1892年邦加（H.Poincare）提出運(yùn)用邦加球分析光的偏振態(tài)，球半徑代表光強(qiáng)大小，球面上的點(diǎn)代表完全偏振光；球心處表示完全非偏振光（自然光）；球內(nèi)的點(diǎn)表示部分偏振光。下面運(yùn)用邦加球分析光波的幾種偏振態(tài)圖示表示，這里我們僅對(duì)光波的偏振狀態(tài)感興趣，即考慮單位強(qiáng)度的光，因此下列圖示中的邦加球均是歸一化的，邦加球半徑為1。

2.1 部分偏振光的混合

2.1.1 部分偏振光按本征態(tài)與自然光非相干混合

2.1.2 部分偏振光按兩正交本征態(tài)非相干混合

如前所述，一個(gè)部分偏振態(tài)可按比例1、2分解成兩個(gè)正交本征態(tài)的非相干混合，如(14)式所示

2.1.3 部分偏振光按任意兩偏振態(tài)非相干混合

前面提到的相干矩陣的兩種分解方式是最常見和實(shí)用的，表示兩種態(tài)的非相干混合，原則上相干矩陣可以視為任意兩個(gè)偏振態(tài)的非相干混合，這是相干矩陣作為統(tǒng)計(jì)描述的一種含糊性，因此這種分解方式可以有無(wú)數(shù)種，即

2.2 完全偏振光按兩正交本征態(tài)相干疊加

完全偏振光有線偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光，在邦加球中用球面上的每一點(diǎn)表示一橢圓偏振光，北半球?yàn)橛倚龖B(tài)，南半球?yàn)樽笮龖B(tài)，在北極和南極演化為右旋和左旋圓偏振光，赤道上退化為線偏振光。完全偏振光也可看做由一對(duì)偏振態(tài)互相正交的本征態(tài)相干疊加，這種分解方式也可以有無(wú)數(shù)種，即

圖1 光波偏振特性在邦加球中的表示

3 光波偏振態(tài)的變換

3.1 部分偏振態(tài)通過(guò)線性光學(xué)元件后的變換

偏振光學(xué)元件對(duì)偏振態(tài)改變通常是線性的，可用2×2的瓊斯矩陣表示，其作用于前面所述相干矩陣，可描述部分偏振態(tài)通過(guò)線性光學(xué)元件后偏振態(tài)的改變。相干矩陣經(jīng)過(guò)線性光學(xué)元件后的變換可表示為

線性光學(xué)元件通常分為兩大類，一類是無(wú)損耗的，如波晶片、旋光器等，其瓊斯矩陣是幺正的；另一類是有損耗的，例如起偏器（包括線偏振器和圓偏振器），其瓊斯矩陣是非幺正的。

3.1.1 無(wú)損光學(xué)元件

對(duì)無(wú)損光學(xué)元件而言，其瓊斯矩陣是幺正的，根據(jù)矩陣代數(shù)，幺正變換不改變本征值，但一旦經(jīng)過(guò)變換則會(huì)改變相干矩陣和本征態(tài)。以快軸在方向的1/4波片為例，它將入射光的相干矩陣1改變?yōu)槌錾涔獾南喔删仃?，即

本征態(tài)經(jīng)快軸在方向的1/4波片后的變化如下

可見1/4波片使得左右旋圓偏振態(tài)變成了旋轉(zhuǎn)了±45°的線偏振態(tài)。

從以上例子可以看到，入射光和出射光的本征值均相等，因此偏振度經(jīng)過(guò)1/4波片前后保持不變。但從分析可知入射光和出射光的偏振特性完全不一樣，因經(jīng)過(guò)1/4波片后改變了部分偏振光的本征態(tài)。因此，完全描述光波的偏振性質(zhì)需要相干矩陣的本征值和本征態(tài)。

3.1.2 有損光學(xué)元件

從（24）式可見，輸出光為電矢量在方向的線偏振態(tài)0，由于偏振濾波作用光的總強(qiáng)度減小了。上述兩種部分偏振態(tài)通過(guò)光學(xué)元件的情況在邦加球上表示如圖2所示，其中

（晶體快軸在x軸方向、線偏振器透振方向在x軸方向）

3.2 布儒斯特角入射介質(zhì)分界面時(shí)透射光的偏振特性

3.2.1 自然光入射

當(dāng)自然光以布儒斯特角i入射在介質(zhì)1和介質(zhì)2的分界面上時(shí)，此時(shí)與入射面平行的分量100%透過(guò)，因此反射光中只有與入射面垂直的s分量，則反射光為線偏振光，其相干矩陣

設(shè)波的振幅反射率為，透射光為部分偏振光，其相干矩陣

3.2.2 圓偏振光入射

式中，分別為瓊斯矢量在該正交基底中的坐標(biāo)分量。其在邦加球中的圖解如圖3（b）所示，其中，。

4 結(jié)論

本文論述偏振光的二維相干矩陣?yán)碚?，并將光波的幾種偏振狀態(tài)在邦加球坐標(biāo)系中以圖解形式表示。圖解法使物理量的代數(shù)表示幾何化，能更形象地描述偏振態(tài)的物理意義，如部分偏振態(tài)的非相干混合、偏振態(tài)的疊加和部分偏振態(tài)經(jīng)線性元件的傳輸變換等。文中輔以幾個(gè)典型例子說(shuō)明相干矩陣、本征態(tài)和相應(yīng)圖解法的構(gòu)造、求解和應(yīng)用。關(guān)于部分偏振光的幾個(gè)結(jié)論。

1）完全偏振態(tài)在邦加球表面，由兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)決定；在邦加球球內(nèi)的點(diǎn)表示部分偏振光，由3個(gè)獨(dú)立參數(shù)決定；邦加球球心處，表示完全非偏振光（自然光）；

2）一對(duì)正交偏振態(tài)（在邦加球任直徑兩端）的非相干混合是部分偏振態(tài)（杠桿法則），相干疊加是偏振態(tài)（直角三角形法則）。

3）與偏振態(tài)的矢量分解類似，以相干矩陣表述的部分偏振態(tài)的分解有無(wú)數(shù)種方式，但重要的是按本征態(tài)分解，或者按自然光與本征值較大的態(tài)分解。

[1] 孫仲秋,趙云升,閻國(guó)倩,等. 利用偏振光技術(shù)計(jì)算海水密度的深入研究[J].學(xué)學(xué)報(bào),2010,30(8): 2451-2457.

[2] 王玉波,楊江濤,唐軍,等. 基于大氣偏振光的航向角探測(cè)系統(tǒng)[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào),2019,40(3):127-131.

[3] 張志剛,毛亮,程騰,等.利用消雜散光的偏振光技術(shù)提高光學(xué)讀出紅外成像檢測(cè)靈敏度[J].紅外與毫米波學(xué)報(bào),2013,32(4):331-336.

[4] 馬號(hào),熊劍,郭杭,等. 基于大氣偏振光特性輔助定向的自主導(dǎo)航方法[J].應(yīng)用光學(xué),2016,37(2):162-167.

[5] 于洵,楊燁,姜旭,等. 基于偏振光譜成像的目標(biāo)識(shí)別方法研究[J].應(yīng)用光學(xué),2016,37(4):537-541.

[6] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2002: 304-317.

[7] 趙凱華. 新概念物理教程:光學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社,2004:270-276.

[8] 玻恩M,沃耳夫E.光學(xué)原理(下冊(cè))[M].黃樂天,陳熙謀,陳秉乾,譯.2版. 北京:科學(xué)出版社,1981:721,728.

[9] 廖延彪.偏振光學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2003:52-56.

[10] 鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京:北京大學(xué)出版社，2003:427-430.

[11] 李高明,邱怡申. 傳統(tǒng)偏振光檢驗(yàn)法的局限性及其修正[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,28(6): 56-59.

[12] 上海交通大學(xué)線性代數(shù)編寫組. 線性代數(shù)[M]. 北京:高等教育出版社,1991:162-172.

Research on Coherence Matrix Representation and Transformation of Polarization State of Light Waves

HUANG Yan

（Electronic Engineering Department,Zhangzhou Institute of Technology, Zhangzhou,Fujian 363000,China）

In order to reveal the polarization state of light waves, the superposition, mixing and propagation of polarization from the physical essence, the coherent matrix method is used to analyze the polarization state of light waves. The characteristics of light wave coherence matrices in several special cases and their possible synthesis methods are discussed in depth. Through the typical examples of partially polarized states passing through linear optical elements and the examples of analysis of polarization characteristics of transmitted light when incident at the Brewster angle, the transformation of the polarization state of light waves is revealed. Several synthetic forms of polarization of light waves and the polarization state transition after coherent matrix transmission are graphically represented in Poincare sphere. The graphical method makes the algebraic representation of physical quantities geometric and describes the physical meaning of polarization more vividly. It is shown that the eigenvalues and eigenstates of the coherence matrix are needed to fully describe the polarization characteristics of light waves.

Physical optics; The state of polarization; Coherence Matrix; Degree of polarization; Poincare sphere; Eigenvalue

O436.3

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2020.04.004

1674-8085(2020)04-0014-07

2020-01-15；

2020-04-01

漳州市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（ZZ2019J24）.

黃 艷(1983-)，女，福建閩清人，講師，碩士，主要從事光學(xué)晶體偏振特性及偏光器件設(shè)計(jì)方面的研究(E-mail:huangyan_013@126.com).