基于試題診斷的高三數(shù)學(xué)教學(xué)實踐

王世朋

高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是以提升學(xué)生解題能力、完善學(xué)生思維品質(zhì)為主要目的。如何使復(fù)習(xí)更精準(zhǔn)，是高三教師必須思考的問題，也是有意義的研究課題。筆者基于課堂教學(xué)中的實踐案例分析，強化試題診斷功能，借此提升復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)度。

一、基于試題診斷的案例分析

為了有效完善解析幾何中直線與拋物線綜合問題解題策略，筆者重點選擇了合肥市2017年二模（文）第20題進行教學(xué)診斷與講評后反思。

試題：已知拋物線E∶y2=2px（p>0）與圓

O∶x2+y2=8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為2，過劣弧AB上動點P（x0，y0）作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M。

求拋物線E的方程;

求點M到直線CD距離的最大值。

學(xué)生總體答題情況統(tǒng)計：

閱卷統(tǒng)計結(jié)果顯示，本題實際得分明顯低于其他解答題（見表1），說明學(xué)生答題障礙很大，值得去進行教學(xué)思考和研究。通過答題明細(xì)可以看出，絕大部分學(xué)生僅完成了第一問的解答。這里有意遴選了兩位得分較高的學(xué)生答題原卷，不難看出這兩位同學(xué)解題路徑基本明確，運算求解能力仍需提升，尤其是對解題關(guān)鍵點的突破還要強化理解。

二、試題診斷基本路徑分析

通過此問題的分析與解答，不難提取出以下基本知識點。如點與曲線方程關(guān)系、劣弧的概念、過圓上一點的切線方程求法、過拋物線上一點的切線方程求法、兩直線的交點、點到直線距離、圓的方程和拋物線方程。作為一道題所涵蓋的知識點已經(jīng)足夠多了，如果學(xué)生基本功不扎實，有知識混淆點或盲點，問題也就無法有效解答。通過以上知識點的梳理，我們可以很清楚地幫助學(xué)生梳理教材知識點，回顧知識發(fā)生、發(fā)展的過程，助力形成堅固的知識體系和脈絡(luò)。

1.診斷基本解題方法

通過知識點的回顧，就需要我們提出解題的策略，尤其是可執(zhí)行的具體方案。通過問題的條件分析，我們可以清晰地知道解題路徑為：利用點坐標(biāo)求拋物線方程求直線方程，并設(shè)C，D坐標(biāo)

求出l1，l2方程求出點坐標(biāo)計算點到直線距離轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解最值。為了解題的順利進行，需要進一步明確方法求直線方程、求點坐標(biāo)和函數(shù)最值。

2.診斷學(xué)生思維過程

通過解法的提出，在實際中需要執(zhí)行運算，確保為下一步的執(zhí)行提供準(zhǔn)確、可靠的數(shù)據(jù)結(jié)果。通過答題過程就能有效監(jiān)測一個學(xué)生的思維品質(zhì)好壞，如動點P（x0，y0）作圓O的切線，切線方程的求法與表示，如果選擇設(shè)點斜式切線方程，則要考慮斜率是否存在，如果能理解過圓上一點的切線方程一般形式，則解題步長就減少了很多。在C，D點坐標(biāo)的設(shè)法上如果沿用橢圓常規(guī)設(shè)法，會給后面l1，l2寫法帶來不便，而選擇拋物線上點的常用設(shè)法，會讓后面M點坐標(biāo)計算得到簡便。在點M到直線CD距離最值求解上，本著函數(shù)思想為原則，點M坐標(biāo)的簡化就顯得尤為重要。以上這些問題處理的策略，代表的是學(xué)生答題的數(shù)學(xué)思維水平高低，如果能有效選擇形式，某種程度上可以反映學(xué)生的思維能力高低。

三、基于試題診斷的教學(xué)策略分析

解析幾何模塊的復(fù)習(xí)常被師生視為較難啃的“骨頭”，選填注重“小靈活”，大題注重“大融合”。對于學(xué)生來說，需要積累有效的解題活動經(jīng)驗，提升解題素養(yǎng)。對于教師來說，復(fù)習(xí)中要強化訓(xùn)練的總結(jié)與整理，授之以漁是關(guān)鍵。

第一，厘清解題路徑。從近年來的高考真題和地方?？荚囶}中可以看出，解析幾何題往往需要結(jié)合圖形進行分析解答。教學(xué)中需要強化把文字條件和圖形語言進行緊密聯(lián)系，最終把問題放入圖形中，充分發(fā)揮幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象功能，找到明確可行的解題路徑。

第二，攻克解題要點。有了路徑的指引后，需要強化學(xué)生關(guān)鍵點的計算。本題解決的第一個關(guān)鍵點是直線方程的計算，實施運算中要考慮直線可以垂直于軸，避免設(shè)點斜式時出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r。本題解決的第二個計算要點是切線的計算，設(shè)，，切線：，代入得，由解得，方程為，同理

方程為。第三個解題要點是點坐標(biāo)求解，聯(lián)立，解得，又方程為，其中，滿足，，聯(lián)立方程得，則，∴M（x，y）滿足，即點

為。最后一個運算要點是點到直線距離。點到直線：的距離關(guān)于單調(diào)減，故當(dāng)且僅當(dāng)時，。只有解題中準(zhǔn)確把握了解題關(guān)鍵點，借以學(xué)生良好的數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)處理能力，問題才能真正地得到解決。

第三，聚焦解題思想。最終要解決的問題是最值問題，因為P（x0，y0）在動，所以要建立函數(shù)模型，又考慮到點在直線上或點圓上動，所以可以建立關(guān)于的一元函數(shù)模型，進一步由題知自變量。要得到x0∈[2，2]最終的函數(shù)表達式需要通過點

到直線距離公式獲得，這就需要我們計算點坐標(biāo)和直線方程，難點自然就是計算出l1，l2方程并聯(lián)立才能得到點坐標(biāo)，并選擇用變量x0，y0來表示坐標(biāo)最理想。

四、借助試題診斷提升復(fù)習(xí)精準(zhǔn)性的幾點思考

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解?！蓖ㄟ^解題教學(xué)促進學(xué)生深度思考，積極體驗問題解決的思維過程，反思建構(gòu)問題解決的活動經(jīng)驗。筆者認(rèn)為，通過試題診斷開展探究教學(xué)，助力復(fù)習(xí)精準(zhǔn)性提升應(yīng)落實好以下幾個環(huán)節(jié)。

第一，對比答題情況，判斷試題講解的價值。提出問題有時比解決問題更有價值，尤其是緊張的高三二輪復(fù)習(xí)中，好的問題一定可以助力復(fù)習(xí)的效率提升。通過前面綜合分析，為了復(fù)習(xí)解析幾何中圓與直線、直線與拋物線相關(guān)位置關(guān)系運算的掌握情況，選擇了一道知識點容量較大的綜合題，通過問題答題的基本情況對比，可以診斷學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也能洞察學(xué)生的思維發(fā)展水平，實現(xiàn)試題的選拔功能?？傊?，問題選擇要具有很強的導(dǎo)向性，研究的問題選擇很有代表性，則復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)性就能有了一定的保障，復(fù)習(xí)效率也會有顯著提升。

第二，對比得分情況，定位試題講解程度。通過答題情況對比，尤其是得分情況對比，很容易診斷學(xué)生對問題的理解程度，有助于教師對學(xué)情的準(zhǔn)確把握?；诘梅智闆r的分析，能夠進一步反映學(xué)生對知識的理解、問題解決程度的刻畫，如果在實際教學(xué)中能對已選問題很好地進行解析和判斷，能深入挖掘問題解決過程中所蘊含的知識、公式、原理與思想，勢必也會提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，助力學(xué)生的個性化發(fā)展。

第三，對比不同答題方法，診斷學(xué)生思維品質(zhì)。雖然我們用心選好了問題，也事先備好了所有可能的解題路徑，如果問題和策略不適合學(xué)生已有的學(xué)情，結(jié)果也一定不會讓我們滿意，所以有效開展課堂探究，分析不同解法學(xué)生所燃放的思維品質(zhì)是非常重要的舉措。尤其是緊張的高三課堂學(xué)習(xí)，每一節(jié)課都很重要，如果教師能基于學(xué)情進行教學(xué)設(shè)計和診斷，凝練問題解決的基本途徑，相信對學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，提升學(xué)科素養(yǎng)大有裨益，也會助力師生良好關(guān)系的建立，助力學(xué)生良好思維品質(zhì)的養(yǎng)成。

第四，對比不同答題程度，診斷學(xué)生意志品質(zhì)。作為高三二輪復(fù)習(xí)，我們更多的是為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的載體和引領(lǐng)，讓學(xué)生們在探究中體驗和深化對知識的理解與方法的應(yīng)用，更重要的是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生解題的能力和經(jīng)驗。經(jīng)驗需要經(jīng)?？偨Y(jié)才有效，經(jīng)常使用才有用，所以進行探究訓(xùn)練后的總結(jié)是為我們積累經(jīng)驗的必備步驟。通過對不同答題程度的評判，能有助于準(zhǔn)確診斷學(xué)生的意志品質(zhì)，估計學(xué)生的學(xué)科潛力，預(yù)判學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

高考試題具有八大功能：測評選拔功能、科研選題功能、命題示范功能、知識延展功能、思維訓(xùn)練功能、數(shù)學(xué)思想滲透功能、教學(xué)導(dǎo)向功能與德育滲透功能。作為一線教師來說，強化對試題功能性的針對性訓(xùn)練與指導(dǎo)，提升學(xué)生綜合解題能力是關(guān)鍵。

本文系2019年安徽省教育信息技術(shù)研究課題“基于教育大數(shù)據(jù)的高中數(shù)學(xué)學(xué)情診斷與精準(zhǔn)教學(xué)的行動研究”（課題編號：AH2019048）的階段性成果。

（作者單位：安徽省合肥市第七中學(xué)）

責(zé)任編輯：李莎

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