打造以思維培養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂
——以人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“探索圖形”教學(xué)為例

洪菲菲

（福建省廈門實(shí)驗(yàn)小學(xué)集美分校）

數(shù)學(xué)是思維的體操。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生思維的參與是學(xué)習(xí)效果的前提和保證，其思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視知識(shí)技能的習(xí)得，更要重視學(xué)生思維的激活、引導(dǎo)和提升。下面以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“探索圖形”一課為例，談?wù)勔运季S培養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何為學(xué)生的思維而教，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而教。

一、驅(qū)動(dòng)——點(diǎn)燃思維“火花”

學(xué)生與生俱來就帶著“靈氣”。這種“靈氣”，體現(xiàn)在他們對(duì)未知世界強(qiáng)烈的好奇心上，體現(xiàn)在他們對(duì)未知領(lǐng)域的挑戰(zhàn)和探索上。好的數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)是靈活的，是閃爍著學(xué)生思維的火花的。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用合適的問題和恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，將學(xué)生思維的“小火苗”燒得旺旺的，呈現(xiàn)出活潑的課堂樣態(tài)。

在教學(xué)“探索圖形”這節(jié)課時(shí)，我在課件上展示了邊長(zhǎng)為10厘米的大正方體，并開展了如下教學(xué)活動(dòng)。

師：同學(xué)們請(qǐng)看，這個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的大正方體是由多少個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的？

生：10×10×10=1000。它是由1000個(gè)小正方體拼成的。

師：如果老師把這個(gè)大正方體的表面涂上顏色，這些小正方體會(huì)有幾個(gè)面被涂上顏色呢？根據(jù)涂色情況把這些小正方體進(jìn)行分類，你打算分為幾類？先觀察一下，再和同桌討論。

生：可以分為四類。有三面涂色的，兩面涂色的，一面涂色的和沒有涂色的。

師：每一類小正方體各有多少個(gè)？請(qǐng)你們數(shù)一數(shù)，算一算。

生：太多了，太復(fù)雜了，算不清楚。

師：小正方體的數(shù)量太多，算起來不方便，怎么辦？

生：可以從棱長(zhǎng)小一些的正方體開始研究，看看是不是能找到規(guī)律。

師：你們建議從棱長(zhǎng)是幾厘米的正方體來研究呢？

生：從棱長(zhǎng)是3厘米的正方體開始。

師：好，老師為你們提供了棱長(zhǎng)為3厘米的正方體。請(qǐng)你們看一下活動(dòng)要求。

課件出示：

（1）找出四類小正方體在大正方體中的位置；

（2）分類數(shù)出四類小正方體的塊數(shù)；

（3）把想法和同桌交流討論，把結(jié)果填入學(xué)習(xí)單中。

當(dāng)學(xué)生沉浸于挑戰(zhàn)某一個(gè)未知領(lǐng)域的樂趣中時(shí)，往往是其最富“靈氣”的時(shí)刻。教師要善于創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的欲望和熱情。在本節(jié)課教學(xué)之初，我先拋出一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題——由1000個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體所組成的大正方體在表面涂色之后，根據(jù)小正方體的涂色情況可以把它們分為幾類，各有多少個(gè)？這樣一個(gè)看似不難實(shí)則不易的問題，瞬間激起了學(xué)生繼續(xù)探究的欲望。當(dāng)學(xué)生自己提出從簡(jiǎn)單的情況入手研究時(shí)，也就尋找到了一種解決復(fù)雜問題的重要方法——化繁為簡(jiǎn)。這樣的教學(xué)過程，比直接從棱長(zhǎng)為3厘米的正方體入手研究，效果要好得多。原因在于學(xué)生總是喜歡挑戰(zhàn)，享受征服未知領(lǐng)域的成就感。

學(xué)生的思維不僅要激活，也要引導(dǎo)。教師在教學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，可以使學(xué)生的思維聚焦在重點(diǎn)處，思之有法，思之有益。如果不加引導(dǎo)，讓學(xué)生直接數(shù)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體中四類小正方體的數(shù)量，學(xué)生可以較為輕松地?cái)?shù)出來。但“隨意地?cái)?shù)”屬于低層次思維，學(xué)生雖然數(shù)出了結(jié)果，卻對(duì)探究后續(xù)問題沒有明顯益處。換而言之，學(xué)生要數(shù)，但要數(shù)得有思考，有方法。這里，需要教師及時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)，凸顯教師導(dǎo)的作用。在上述片段中，我在學(xué)生操作之前給出了活動(dòng)提示——找出四類小正方體在大正方體中的位置，再數(shù)出每一類小正方體有多少個(gè)。這就要求學(xué)生在數(shù)小正方體數(shù)量的同時(shí)，必須關(guān)注每一類小正方體與大正方體點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系。學(xué)生明確了思考的方向，數(shù)小正方體的數(shù)量時(shí)就有了更多思維的參與，這樣就數(shù)出了發(fā)現(xiàn)，數(shù)出了規(guī)律。

每個(gè)學(xué)生都帶著天然的“靈氣”，有時(shí)閃現(xiàn)，有時(shí)隱藏。教師既要充分激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生自然地投入到對(duì)問題的探究中去；又要做好學(xué)生的引路人，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)指明方向，點(diǎn)燃學(xué)生思維的“火花”，使得課堂更加靈動(dòng)。

二、開放——拓展思維空間

大多數(shù)數(shù)學(xué)教師對(duì)死氣沉沉的課堂都是反感的。很多教師時(shí)常抱怨學(xué)生腦子不活，思維跟不上自己的教學(xué)節(jié)奏。在看到這些課堂表象的同時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)反思其背后的原因。要讓學(xué)生的思維真正激活并且涌動(dòng)起來，教師至少應(yīng)當(dāng)做好兩件事情：一是設(shè)置精巧且具有思維價(jià)值的教學(xué)環(huán)節(jié)，二是營造輕松開放的課堂教學(xué)環(huán)境。教師應(yīng)當(dāng)重視教學(xué)情境的設(shè)計(jì)以及課堂氛圍的營造，力求為學(xué)生提供更加開放的思維空間，使學(xué)生能夠積極思考、踴躍發(fā)表、敢于批判。

學(xué)生在探究了棱長(zhǎng)為3厘米的正方體之后，我為每個(gè)合作小組提供了棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色的小正方體各有多少個(gè)。學(xué)生充分地觀察討論，在全班進(jìn)行了匯報(bào)。

生：三面涂色的小正方體在大正方體的點(diǎn)上，有8個(gè)；兩面涂色的小正方體在大正方體的棱上，每條棱上有2個(gè)，2×12，有24個(gè)；一面涂色的小正方體在大正方體的面的中間，每個(gè)面4個(gè)，4×6，有24個(gè)；沒有涂色的小正方體在大正方體的內(nèi)部，有4個(gè)。

生：三面涂色、兩面涂色和一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，我同意他的意見。但是沒有涂色的小正方體，我認(rèn)為是8個(gè)。

生：這個(gè)大正方體掰不開，看不到里面的情況。你們看（指著大正方體的上面，如圖1），中間一面涂色的四個(gè)小正方體下面，不是藏著四個(gè)沒有涂色的小正方體嗎？

圖1

生：你只看到了一層。去掉大正方體上面涂色的一層和下面涂色的一層，中間沒有涂色的小正方體會(huì)有幾層呢？所以應(yīng)該是8個(gè)。

生：我用計(jì)算的方法來思考。小正方體的總數(shù)量是64個(gè)，去掉三面涂色的小正方體8個(gè)，兩面涂色的24個(gè)，一面涂色的24個(gè)，64-8-24-24=8，沒有涂色的小正方體應(yīng)該有8個(gè)。

師：看得見的小正方體好數(shù)，看不見的小正方體難住了一些同學(xué)。到底是4個(gè)還是8個(gè)呢？

生：是8個(gè)。

師：讓我們打開大正方體看看，是不是你們所想象的樣子。（教師播放課件，如圖2）

圖2

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該努力為學(xué)生拓展思維空間，力圖讓學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑暴露在外，并通過學(xué)生自身的“辨”及彼此間的“辯”，達(dá)到突破難點(diǎn)、提升思維的效果。數(shù)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體中三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色的小正方體的數(shù)量對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度。一是要有序地?cái)?shù)、找規(guī)律地?cái)?shù)，才能數(shù)得清楚，數(shù)得有意義；二是沒有涂色的小正方體包含在內(nèi)，“看不見”的部分需要依靠學(xué)生的想象、推理才能數(shù)清楚。許多教師在教學(xué)本節(jié)課時(shí)，為學(xué)生提供了可拆分的大正方體，其目的就在于降低思維難度，使學(xué)生能夠拆開看一看，一探究竟。本節(jié)課我反其道而行，提供的是不能拆開的大正方體。其目的就在于斷了學(xué)生去“看”和去“數(shù)”的路子，而“逼”著學(xué)生去思考，去想象。一個(gè)小小的改變，為學(xué)生提供了思考和辨析的空間。

在上述教學(xué)片段中，空間想象和推理能力較弱的學(xué)生，在數(shù)沒有涂色的小正方體數(shù)量時(shí)出現(xiàn)了困難，這正是學(xué)生思維困惑的真實(shí)體現(xiàn)。這個(gè)思維難點(diǎn)的暴露，成了學(xué)生“辯”的好時(shí)機(jī)。學(xué)生通過實(shí)物操作輔助想象，通過計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證，多角度入手，在辨析中突破了這一難點(diǎn)。正是我在學(xué)具上動(dòng)的“小手腳”，以及給予學(xué)生充分的時(shí)空和自由，學(xué)生的思維才得以充分激發(fā)，才使他們?cè)谒急嬷信囵B(yǎng)了空間想象能力和推理能力。

三、抽象——提升思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)既要重視學(xué)生思維的激活與參與，更要重視將學(xué)生的思維引向深入，在深度思考中提升其思維品質(zhì)。教學(xué)中，教師不能滿足于學(xué)生學(xué)會(huì)解決一個(gè)問題，而要由一個(gè)問題引申開去解決一類問題。由“題”走向“類”的過程，是數(shù)學(xué)抽象的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升的過程。

學(xué)生在探究棱長(zhǎng)分別為3厘米、4厘米的大正方體中四類小正方體的數(shù)量時(shí)，已經(jīng)感悟到了四類小正方體的數(shù)量與大正方體的點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系。即三面涂色的小正方體在大正方體的“點(diǎn)”上，兩面涂色的小正方體在“棱”上，一面涂色的小正方體在“面”上，沒有涂色的小正方體在“體”中間。即便發(fā)現(xiàn)了這樣的關(guān)系，很多學(xué)生仍然停留在“數(shù)”和“算”的具體直觀操作階段。此時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入探究，擺脫直觀操作的局限，去尋覓其背后隱藏的數(shù)學(xué)奧秘。

（學(xué)生匯報(bào)棱長(zhǎng)為4厘米的大正方體中四類小正方體的數(shù)量之后）

師：剛才匯報(bào)當(dāng)中，我們得到了四類小正方體的數(shù)量。三面涂色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)上，有8個(gè)；兩面涂色的小正方體在大正方體的棱上，有2×12=24個(gè)；一面涂色的小正方體在大正方體的面上，有2×2×6=24個(gè)；沒有涂色的小正方體在大正方體中間，有2×2×2=8個(gè)。大正方體的棱長(zhǎng)是4，為什么我們都用2來計(jì)算呢？這個(gè)2是怎么得來的？它和棱長(zhǎng)4有什么關(guān)系嗎？

生：兩面涂色的小正方體在大正方體的棱上，一條棱上有4個(gè)小正方體，去掉頭和尾的兩個(gè)三面涂色的小正方體，剩下2個(gè)兩面涂色的小正方體。所以，用（4-2）×12=24個(gè)。

生：一面涂色的小正方體在大正方體每一面的中間，每一面去掉上下兩行和左右兩列，用（4-2）2算出一個(gè)面有4個(gè)，再乘6個(gè)面，得到24個(gè)小正方體。

生：沒有涂色的小正方體在大正方體的內(nèi)部。去掉外面涂色的一層，用（4-2）3算出有8個(gè)。

師：如果計(jì)算棱長(zhǎng)更大一些的正方體，你們有信心嗎？沒有學(xué)具讓你們操作了，你們還能算得出來嗎？

生：能。（合作小組計(jì)算棱長(zhǎng)分別為5厘米、10厘米的大正方體中四類小正方體的數(shù)量）

師：這樣算下去，算得完嗎？如果棱長(zhǎng)為n，你們能寫出每一類小正方體的數(shù)量嗎？

生：三面涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有（n-2）×12個(gè)，一面涂色的有（n-2）2×6個(gè)，沒有涂色的小正方體有（n-2）3個(gè)。

師：總結(jié)得太棒了！你們找到了這個(gè)規(guī)律，就能解決這一類問題。請(qǐng)你們?cè)偎伎家幌拢@個(gè)n可以是任意自然數(shù)嗎？

生：不可以，n≥2。

學(xué)生在前面的操作中，發(fā)現(xiàn)了四類小正方體與大正方體點(diǎn)、面、棱之間的關(guān)系，品嘗到了自主探究發(fā)現(xiàn)的美妙“滋味”。這時(shí)，教師應(yīng)該趁熱打鐵，繼續(xù)帶著學(xué)生向知識(shí)的更深處探尋。

在上述教學(xué)中，我先引導(dǎo)學(xué)生思考一個(gè)關(guān)鍵問題：為什么棱長(zhǎng)為4厘米，而我們都用“2”來計(jì)算呢？通過對(duì)這個(gè)問題的思考，使學(xué)生將關(guān)注點(diǎn)從計(jì)算轉(zhuǎn)移到算式中的“2”與棱長(zhǎng)的關(guān)系上來。在對(duì)這個(gè)問題的思考和討論中，計(jì)算模型逐漸“浮出水面”。這時(shí)，我提出新的要求，不再提供學(xué)具，讓學(xué)生計(jì)算出棱長(zhǎng)分別為5厘米、10厘米乃至n厘米的大正方體中四類小正方體的數(shù)量。學(xué)生有了前面思考的基礎(chǔ)，抽象出計(jì)算公式也就變得水到渠成。公式的提煉，使得學(xué)生掌握了解決這一類題目的“通法”。提煉公式的過程，使得學(xué)生的思維得到了鍛煉，思維品質(zhì)得到了顯著提升。

好的數(shù)學(xué)課，因?yàn)橛辛藢W(xué)生思維的積極參與而變得生動(dòng)有趣，因?yàn)橛辛藢W(xué)生思維的發(fā)展提升而顯得更有價(jià)值。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)著力于增加學(xué)生的思維活躍度，開拓其思維空間，提升其思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生的思維而教，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)而教。