微力測(cè)量裝置中邊緣效應(yīng)對(duì)電容結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)影響分析

徐 立，王淑香，張衛(wèi)衛(wèi)，鄭培亮，黃振宇

(1.廣東省計(jì)量科學(xué)研究院廣東省現(xiàn)代幾何與力學(xué)計(jì)量技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510405；2.廣州航海學(xué)院，廣東廣州 510725；3.中國(guó)科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京 100094)

0 引言

微力測(cè)量廣泛存在于科學(xué)研究和工業(yè)應(yīng)用中[1-2]，在微納制造[3]、微摩擦[4]、納米硬度測(cè)量[5]、原子力顯微鏡[6]、航空航天[7]、微推進(jìn)技術(shù)[8]等領(lǐng)域均具有重要應(yīng)用。由于微力測(cè)量過程的復(fù)雜性，微力測(cè)量尚處于研究階段，并未形成統(tǒng)一的方法。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在微力測(cè)量過程中普遍采用電容式裝置，利用電容器極板間產(chǎn)生的μN(yùn)或nN量級(jí)靜電力實(shí)現(xiàn)微力的復(fù)現(xiàn)。如SHAW等[9-10]研制的靜電力天平；LEACH等[11]提出的用于測(cè)量微力的靜電力平衡裝置；KIM等[12-13]研究的原子力顯微鏡校準(zhǔn)裝置；以及HU等[14]研制的微小力測(cè)量及量值溯源裝置等均采用的是基于圓柱狀電容器的靜電力結(jié)構(gòu)。對(duì)電容式傳感器而言，邊緣效應(yīng)的存在將使電容器極板邊緣部分電場(chǎng)分布不均，導(dǎo)致靜電力非均勻分布，嚴(yán)重影響微力測(cè)量準(zhǔn)確性，因此在微力測(cè)量裝置的設(shè)計(jì)和使用中應(yīng)盡量減少或避免邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值的影響，以保證裝置微力輸出準(zhǔn)確性。

本文針對(duì)微力測(cè)量裝置中廣泛采用的圓柱狀電容器，利用理論分析與有限元模擬方法，研究邊緣效應(yīng)對(duì)其微力輸出值影響，分析不同參數(shù)下，邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容器輸出特性影響規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上提出微力測(cè)量裝置中柱狀電容結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與使用建議。

1 微力測(cè)量裝置中柱狀電容結(jié)構(gòu)與微力輸出值

1.1 柱狀電容結(jié)構(gòu)

圖1為微力測(cè)量裝置中柱狀電容結(jié)構(gòu)，其中內(nèi)電極外徑為do，內(nèi)徑為di；外電極外徑為Do，內(nèi)徑為Di，重疊長(zhǎng)度為Z。裝置工作時(shí)，外電極固定，內(nèi)電極可沿軸線方向自由移動(dòng)，當(dāng)內(nèi)電極移動(dòng)時(shí)，內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度Z發(fā)生變化，從而改變柱狀電容器電容值大小。在忽略邊緣效應(yīng)條件下，柱狀電容器電容值可由式(1)得到：

(1)

式中ε為內(nèi)外電極間空氣介電常數(shù)。

圖1 柱狀電容結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 忽略邊緣條件下的微力輸出值

根據(jù)虛功原理，若內(nèi)外電極間保持恒定電壓時(shí)，使內(nèi)電極運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生位移dZ需做功：

(2)

式中：dW為能量變化；F為作用于內(nèi)電極的微力值；dZ為柱狀電容器內(nèi)外電極相對(duì)位置變化；U為內(nèi)外電極間電勢(shì)差。

由此可見，忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，柱狀電容內(nèi)電極受到微力值僅與空氣介電常數(shù)、外電極內(nèi)徑、內(nèi)電極外徑及加載電壓有關(guān)。因此根據(jù)式(3)計(jì)算的柱狀電容微力輸出值即為不受邊緣效應(yīng)影響時(shí)，柱狀電容微力輸出值。

由式(1)和(2)可得忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，柱狀電容微力輸出值的理論計(jì)算公式為

(3)

由于式(3)忽略了邊緣效應(yīng)影響，因此理論公式計(jì)算值即為不考慮電容邊緣效應(yīng)影響的理想狀態(tài)下輸出值，而有限元分析過程中充分考慮到了柱狀電容器邊緣效應(yīng)的影響，因此有限元分析值可認(rèn)為是考慮邊緣效應(yīng)影響后的實(shí)際輸出值。由此可見，通過比較式(3)的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果，則能得到邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容器微力輸出值的影響情況。

2 邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容微力輸出值的影響

2.1 不同重疊長(zhǎng)度下邊緣效應(yīng)的影響

圖2(a)為外電極外徑20 mm、內(nèi)徑16 mm；內(nèi)電極外徑14 mm、內(nèi)徑10 mm的柱狀電容器微力輸出值隨電極重疊長(zhǎng)度的變化曲線。理論公式計(jì)算的微力輸出值為一條水平直線，表明不考慮邊緣效應(yīng)條件下，柱狀電容微力輸出值恒定，與內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度無關(guān)。而有限元分析所得的微力輸出值則明顯分為兩個(gè)部分：在區(qū)域Ⅰ中，有限元分析所得微力輸出值與理論計(jì)算值非常接近，某些區(qū)域兩條曲線幾乎重合，表明在考慮邊緣效應(yīng)情況下，當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度處于區(qū)域I時(shí)，邊緣效應(yīng)對(duì)微力值輸出的影響可忽略不計(jì)，采用理論公式就能準(zhǔn)確計(jì)算柱狀電容的微力輸出值。而在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，有限元分析曲線與理論公式計(jì)算曲線出現(xiàn)明顯偏離，且隨重疊長(zhǎng)度增加，偏移值增大，表明在區(qū)域II內(nèi)，邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容器輸出微力值具有明顯影響，且隨內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度增加，邊緣效應(yīng)影響不斷增大。

為更直觀表示有限元模擬值(考慮邊緣效應(yīng))與理論公式計(jì)算值(不考慮邊緣效應(yīng))兩種情況下差值的大小，圖2(b)給出了內(nèi)外電極不同重疊長(zhǎng)度時(shí)，有限元模擬值與理論公式計(jì)算值之間的差值。由圖2(b)可明顯看到，在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，有限元分析與理論公式計(jì)算值之間的差值非常小，兩者差值在3%左右，表明此區(qū)域內(nèi)邊緣效應(yīng)對(duì)輸出的影響極小，幾乎可以忽略；而在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，兩者的差值最大可達(dá)58.8%，此時(shí)邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容的輸出影響已非常明顯。由此可見，Ⅰ區(qū)域?yàn)檫吘壭?yīng)影響可忽略區(qū)；而Ⅱ區(qū)域?yàn)檫吘壭?yīng)影響明顯區(qū)域，需要考慮邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值的影響。在微力測(cè)量裝置的設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)盡量保證裝置在工作時(shí)內(nèi)外電極的相交長(zhǎng)度處于區(qū)域I內(nèi)，以減小邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值的影響，提高測(cè)量準(zhǔn)確度。

圖2 電極重疊長(zhǎng)度與微力輸出值關(guān)系

2.2 不同電極間距時(shí)邊緣效應(yīng)的影響

圖3(a)、(b)、(c)分別是內(nèi)外電極間距為1 mm、3 mm、5 mm時(shí)，柱狀電容器的微力輸出值曲線。對(duì)比分析可發(fā)現(xiàn)，隨著電極間距增大，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的分界線不斷前移，表明隨著電極間距增大，邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值影響區(qū)域逐漸擴(kuò)大；圖3(c)中，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)，有限元分析值與理論公式計(jì)算值間最小差值已達(dá)12.4%，表明整個(gè)重疊長(zhǎng)度區(qū)間[0,30 mm]內(nèi)，不論內(nèi)外電極間相對(duì)位置如何，均受邊緣效應(yīng)較大影響，圖3(c)整個(gè)區(qū)域均處于區(qū)域Ⅱ中，表明此時(shí)理論公式計(jì)算值已無法準(zhǔn)確計(jì)算柱狀電容微力輸出值，邊緣效應(yīng)影響不可忽略。同時(shí)，通過圖3可得，當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度超過5 mm時(shí)，隨著內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度增大，有限元分析結(jié)果和理論公式計(jì)算結(jié)果的差值變大，表明邊緣效應(yīng)影響逐漸增強(qiáng)，驗(yàn)證了本文2.1中的結(jié)論在不同間距時(shí)均成立。

圖3 電極間距與微力輸出值關(guān)系

由圖3可知，隨著內(nèi)外電極間距增大，邊緣效應(yīng)影響區(qū)域急速擴(kuò)大；當(dāng)內(nèi)外電極間距達(dá)到5 mm時(shí)，邊緣效應(yīng)的影響已經(jīng)變得非常明顯，理論計(jì)算公式已不適用。

基于以上分析，在微力測(cè)量裝置設(shè)計(jì)過程中，在保證柱狀電容內(nèi)外電極間不發(fā)生擊穿條件下，減小內(nèi)外電極間距，能有效減少邊緣效應(yīng)影響，保持裝置微力輸出值準(zhǔn)確性。

2.3 不同加載電壓時(shí)邊緣效應(yīng)的影響

2.3.1 電極間距較小時(shí)(1 mm)

圖4給出了內(nèi)外電極間距為1 mm時(shí)，柱狀電容微力輸出值隨加載電壓變化的曲線。其中圖4(a)和(b)的電極重疊長(zhǎng)度均處于Ⅰ區(qū)域內(nèi)，而圖4(c)的電極重疊長(zhǎng)度處于Ⅱ區(qū)域內(nèi)。當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度處于Ⅰ區(qū)域時(shí)，隨加載電壓升高，兩條曲線始終緊貼在一起，幾乎重合，說明此時(shí)理論公式計(jì)算值與有限元模擬值非常接近，由此可見，電極間距較小時(shí)，只要內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度處于Ⅰ區(qū)域內(nèi)，不論加載電壓如何變化，邊緣效應(yīng)對(duì)柱狀電容器的微力輸出值影響均可忽略。

圖4 加載電壓與微力輸出值關(guān)系(Δl=1 mm)

當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度處于Ⅱ區(qū)域時(shí)，從圖4(c)可見兩曲線出現(xiàn)明顯分叉，且隨加載電壓增大，分叉變大。表明此時(shí)隨加載電壓升高，邊緣效應(yīng)對(duì)輸出微力的影響增大。因此，在電極重疊長(zhǎng)度處于Ⅱ區(qū)域時(shí)，邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值具有明顯影響，且隨加載電壓升高，影響增大。

2.3.2 電極間距較大時(shí)(5 mm)

圖5給出了內(nèi)外電極間距5 mm時(shí)，柱狀電容微力輸出值隨加載電壓變化情況。由本文2.2分析可知，在該內(nèi)外電極間距下，整個(gè)電極重疊長(zhǎng)度區(qū)間均處于Ⅱ區(qū)域，邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值的影響不可忽略。從圖5中可看到，理論計(jì)算與有限元模擬曲線出現(xiàn)了明顯的分叉，當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度不變時(shí)，隨加載電壓升高，分叉變大；在內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度較小時(shí)(圖5(a))，兩曲線的分叉已比較明顯，隨電極重疊長(zhǎng)度增大(圖5(b)、(c))，兩曲線分叉更明顯。表明電極重疊長(zhǎng)度較大時(shí)，加載電壓變化對(duì)邊緣效應(yīng)影響程度更大。

圖5 加載電壓與微力輸出值關(guān)系(Δl=5 mm)

結(jié)合圖4與圖5分析，當(dāng)電極間距較大時(shí)，隨著加載電壓升高，邊緣效應(yīng)影響增強(qiáng)；且當(dāng)內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度增大時(shí)，邊緣效應(yīng)影響程度受加載電壓影響更明顯。在微力測(cè)量裝置設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量保持裝置工作處于較低電壓，不僅有利于獲取穩(wěn)定的輸入電壓，同時(shí)還可減小電容邊緣效應(yīng)影響，有利于微力輸出值穩(wěn)定。若為增大裝置測(cè)量范圍，必須加載高電壓時(shí)，則應(yīng)確保電極間距較小，避免因電極間距過大導(dǎo)致的高壓加載條件下，邊緣效應(yīng)影響所造成的微力輸出值激增。

3 結(jié)論

利用理論分析結(jié)合有限元模擬方法研究了微力測(cè)量裝置中所廣泛采用的柱狀電容器邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值的影響，系統(tǒng)分析了電極重疊長(zhǎng)度、間距、加載電壓等參數(shù)變化時(shí)，電容邊緣效應(yīng)與微力輸出值之間的關(guān)系，得到如下結(jié)論：

(1)在重疊長(zhǎng)度較小時(shí)，會(huì)出現(xiàn)邊緣效應(yīng)影響較小區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)可忽略邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值影響，且該區(qū)域內(nèi)裝置微力輸出值穩(wěn)定性高，受電極重疊長(zhǎng)度變化影響較小，是微力測(cè)量裝置設(shè)計(jì)與工作理想?yún)^(qū)域。

(2)隨著重疊長(zhǎng)度增大，邊緣效應(yīng)影響開始變得明顯，此時(shí)邊緣效應(yīng)對(duì)微力輸出值具有重要影響，不可忽略。

(3)隨電極間距增加，邊緣效應(yīng)影響區(qū)域增大，當(dāng)電極間距增大到一定程度時(shí)，邊緣效應(yīng)將影響整個(gè)重疊長(zhǎng)度區(qū)間，無法靠減小重疊長(zhǎng)度來減小邊緣效應(yīng)的影響。

(4)電極間距較大時(shí)，加載電壓升高將導(dǎo)致邊緣效應(yīng)影響增強(qiáng)；且隨內(nèi)外電極重疊長(zhǎng)度增大，邊緣效應(yīng)影響程度受加載電壓影響更明顯。在微力測(cè)量裝置設(shè)計(jì)與使用過程中應(yīng)盡量保持較低電壓。