逆半群同余的對(duì)偶刻畫

趙雪欣，陳芬芬，高連飛，謝祥云

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

Vagner[1]在1952年首次提出逆半群理論，隨后Preston[2-4]也提出這個(gè)概念.Vagner[5]最初把逆半群稱為“廣義群”，無(wú)論是Vagner還是Preston，最初提出逆半群的動(dòng)機(jī)是研究集合上的部分一一映射所構(gòu)成的半群.逆半群最早的結(jié)果之一是表示定理（類似于群論中的Cayley定理），即每個(gè)逆半群都具有忠實(shí)表示作為部分一一映射的逆半群.

由于逆半群的理論與群的理論有許多相似之處，所以促使了很多學(xué)者對(duì)逆半群上的同余關(guān)系進(jìn)行研究學(xué)習(xí)，特別是核—跡方法對(duì)同余的刻畫.1961年，Munn[6]首次提出逆半群的同余σ ，并給出其刻畫；1964年Howie[7]給出了最小群同余和最大冪等分離同余的刻畫；1966年Lallement[8]給出對(duì)μ=Hb的研究.1974年Scheiblich[9]首次提出核與跡；1975年和1978年Green[10]和Petrich[11]也對(duì)其做了更深入的研究.1981年P(guān)etrich和Reilly[12]將相同的想法應(yīng)用于完全單半群.

本文基于Petrich[11]和Howie[7,13]對(duì)逆半群核跡同余的研究，給出了核跡同余的一種對(duì)偶刻畫，并在此基礎(chǔ)上研究了S 上的最小群同余和最大冪等分離同余的相應(yīng)理論和性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)的基本知識(shí)主要來(lái)源于文獻(xiàn)[13].在一個(gè)半群S 中，定義Green 關(guān)系如下：

設(shè)a∈S ，元素a 稱為正則的，如果存在x∈S ，使得axa=a.如果S 中每一個(gè)元素都是正則的，則S 稱為正則的.半群S 稱為逆半群如果S 中每個(gè)元均有逆元存在且冪等元可交換.

引理1[13]145設(shè)S 是一個(gè)半群，則下列命題等價(jià)

1）S 是一個(gè)逆半群；

2）S 是正則的，并且它的冪等元可換；

3）每一個(gè)L 類和每一個(gè)R 類只包含一個(gè)冪等元；

4）S 中的每一個(gè)元素有唯一逆元.

引理2[13]146設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S) 是其冪等元構(gòu)成的半格.那么

1）對(duì)任意 a,b∈S，(ab)-1=b-1a-1；

2）對(duì)任意a∈S，e∈E (S)，aea-1和 a-1ea都是冪等元.

設(shè)ρ 是逆半群S 上的一個(gè)同余關(guān)系，E (S)是S 的冪等元構(gòu)成的半格.ρ 限制在 E (S)上是 E (S)的一個(gè)同余關(guān)系，我們稱為ρ 的跡，寫作 τ=tr ρ.每一個(gè) τ類e τ等于 eρ ∩E (S).同余關(guān)系 τ稱作正規(guī)的，如果 e τf ?(? a∈S)a-1ea τa-1fa.我們知道，設(shè)ρ 是逆半群S 上的一個(gè)同余關(guān)系，那么S/ρ是一個(gè)群當(dāng)且僅當(dāng)tr ρ=E (S)×E (S).

設(shè)ρ 是逆半群S 上的同余關(guān)系，S 的冪等元集是 E (S)，那么ρ 的核定義為文獻(xiàn)[13]中已經(jīng)證明逆半群S 的核N 是S 的完全逆子半群且是正規(guī)的，且核Ker ρ 與跡tr ρ 有如下關(guān)系：

若N 是S 上的正規(guī)子半群，τ是 E (S) 上的正規(guī)同余，則S 上的同余對(duì)(N,) τ定義如下[13]：

定理1[13]157設(shè)S 為逆半群，E (S) 是S 上冪等元構(gòu)成的半格，若ρ 為S 上的同余，則(ker ρ,tr)ρ是一個(gè)同余對(duì)；

本文主要內(nèi)容是在定理1 的基礎(chǔ)上給出它的對(duì)偶定理.

2 主要結(jié)果

在給出定理1 的對(duì)偶刻畫之前，我們有以下關(guān)于同余對(duì)的對(duì)偶定義：

定義1S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格.設(shè)N 是S 上的正規(guī)子半群，τ是E (S)上的正規(guī)同余，稱(N,τ)是S 的一個(gè)同余對(duì)如果滿足條件：對(duì)任意的a∈S和 e∈E (S)，有

引理3設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格，ρ 是S 上的一個(gè)同余，則對(duì)任意的a∈S，e∈E (S)，有

證明1）設(shè) ea ρ f，f∈E (S)，因?yàn)?(a=aa-1a) ρ ea ρf ，所以a∈kerρ.

2）設(shè)a∈eρ，e∈E (S)，顯然有 a-1∈eρ，于是有 a-1a,aa-1∈eρ，則 (a-1a,aa-1)∈tr ρ.

引理4設(shè)S 是一個(gè)逆半群，(N,τ)是S 的一個(gè)同余對(duì)，則對(duì)于任意的 a,b∈S，e∈E (S)，有

1）若bea∈N，e τaa-1，則ba∈N.

2）若 (aa-1,bb-1)∈τ，a-1b∈N ，則對(duì) 每個(gè) e∈E (S)，有 (aea-1,beb-1)∈τ.

證明1）設(shè)bea∈N，e τaa-1，則 bea=bb-1b ea=beb-1b a=f (ba)∈N ，其中 f=beb-1∈E (S).因?yàn)?f=beb-1) τ(b aa-1b-1=ba (b a)-1)，所以根據(jù)定義1 的C1），有ba∈N.

2）設(shè) (aa-1,bb-1)∈τ，a-1b∈N ，則(mod τ)有

所以，(aea-1,beb-1)∈τ.

下面我們給出定理1 逆半群同余的對(duì)偶刻畫：

定理2設(shè)S 為逆半群，E (S) 是S 上冪等元構(gòu)成的半格，若ρ 為S 上的同余，則(ker ρ,tr)ρ 是一個(gè)同余對(duì)；

反之，若(N,τ)是一個(gè)同余對(duì)，則關(guān)系 ρ(N,τ)={(a,b)∈S :(aa-1,bb-1)∈τ,a-1b∈N}是S 上 的 一 個(gè) 同余.此 外 ker ρ(N,τ)=N ，tr ρ(N,τ)=τ，ρ(kerρ,trρ)=ρ.

證明"?".若ρ 為S 上的同余，則由引理3，(ker ρ,tr ρ)是一個(gè)同余對(duì).

" ?".設(shè)(N,τ)是一 個(gè)同余 對(duì)，ρ(N,τ)={(a,b)∈S :(aa-1,bb-1)∈τ,a-1b∈N}.因?yàn)镹 是S 上的 正規(guī)子半群，τ是 E (S)上的正規(guī)同余，所以ρ 是自反的和對(duì)稱的.要證ρ 是傳遞的，只需證明對(duì)任意的(a,b)∈ρ，(b,c)∈ρ，有(a,c)∈ρ.

設(shè)(a,b)∈ρ，(b,c)∈ρ，則由 (aa-1,bb-1)∈τ，(b b-1,cc-1)∈τ，有 (aa-1,cc-1)∈τ.因?yàn)?a-1b,b-1c∈N，于是有 a-1(b b-1)c=a-1ec∈N ，e=bb-1.由于 (b b-1=e) τcc-1，根據(jù)引理4 1），有 a-1c∈N ，所以(a,c)∈ρ.因此ρ 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

要證ρ 是一個(gè)同余關(guān)系，只需證明

設(shè)(a,b)∈ρ，則有 (aa-1,bb-1)∈τ，a-1b∈N ，根據(jù)引理4 2），有

因?yàn)镹 是正規(guī)的，所以有 (ac)-1bc=c-1(a-1b)c∈N ，因此(ac,bc)∈ρ.又因?yàn)?/p>

所以(ca,cb)∈ρ.因此，ρ=ρ(N,τ)是S 上的一個(gè)同余關(guān)系.

若a∈eρ，e∈E (S)，則 e τaa-1，ea∈N，根據(jù)定義1 C1），有a∈N.因此，kerρ? N.反之，若a∈N，則 e-1a=ea∈N ，e=aa-1；由冪等元 ee-1=aa-1有ee-1τaa-1，所以 a∈eρ? kerρ.因此，ker ρ(N,τ)=N.

設(shè) e,f∈E (S)，若 (e,f)∈ρ=ρ(N,τ)，則 (e=ee-1) τ(f f-1=f)，因此tr ρ? τ.反 之，若 e τf，則(e e-1=e) τ(f=ff-1)，e-1f=ef∈E (S)? N ，所以 (e,f)∈ρ∩（E (S)×E (S)）=trρ.因此 tr ρ(N,τ)=τ.

設(shè)(a,b)∈ρ，則 (a-1,b-1)∈ρ，于是有 (aa-1,bb-1)∈ρ.因?yàn)?aa-1，bb-1是冪等元，所以有(aa-1,bb-1)∈tr ρ.由于 (a-1b,b-1b)∈ρ，則有 a-1b∈(b-1b)ρ? ker ρ，因此 ρ?ρ(kerρ,trρ).反之，設(shè)(a,b)∈ρ(kerρ,trρ)，則有 (aa-1,bb-1)∈tr ρ，a-1b∈kerρ.因?yàn)?(a-1b)ρ是 S /ρ 的一個(gè)冪等元，所以于是有

因此(a,b)∈ρ，故 ρ=ρ(kerρ,trρ).

性質(zhì)1設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格，令 τ是 E (S)上的正規(guī)同余，然后有：

2）關(guān)系 τmax={(a,b)∈S×S :(? e∈E (S)) aea-1τb eb-1}是S 上以 τ為跡的最大同余.

證明仿照文獻(xiàn)[13]中相關(guān)定理的證明，省略.

推論1若 τ=E×E ，則 τmin={(a,b)∈S×S :(? e∈E (S)) ae=be}.

一般地，記 σ=τmin，稱為S 上的最小群同余，則S /σ 是S 上的最大群同態(tài)像.于是，對(duì)于S 上使得 S /γ 是一個(gè)群的每一個(gè)同余γ ，都存在一個(gè)同態(tài) ζ:S/σ→ S/γ.容易驗(yàn)證，σ 的核如下：

定理3設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格，令σ 是S 上的最小群同余，則ker σ=Eω，且 σ={(a,b)∈S×S:a-1b∈Eω }.

一個(gè)同余稱為冪等分離，如果它的跡是恒同余1 的.根據(jù)性質(zhì)1 2），我們有以下推論：

推論2若 τ=1E，則 τmax={(a,b)∈S×S :(? e∈E (S)) aea-1=beb-1}.

一般地，記 μ=τmax，稱為S 上的最大冪等分離同余.要確定ker μ ，我們需要一個(gè)定義：在S 上設(shè) E (S)的中心化子為E? ，其中 E?={a∈S :(? e∈E (S)) ae=ea}.然后有下面的結(jié)論：

定理4設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格，令μ 是S 上的最大冪等分離同余，則ker μ=E?，且 μ={(a,b)∈S×S:aa-1=bb-1,a-1b∈E? }.

下面給出μ 的進(jìn)一步刻畫：

性質(zhì)2設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S)是S 上冪等元構(gòu)成的半格，令μ 是S 上的最大冪等分離同余，則 μ=Hb為S 上包含在H 里的最大同余.

證 明設(shè)(a,b)∈μ，則由定理4得 aa-1=bb-1.因?yàn)?(a-1,b-1)∈μ，所以有 a-1a=b-1b ，因此(a,b)∈H，μ? H.下面證明μ 是S 上包含在H 里的最大同余.考慮S 上的任意一個(gè)同余ρ ，且ρ? H.假設(shè)(a,b)∈ρ，則 (a-1,b-1)∈ρ，于是對(duì)任意的 e∈E (S)，有 (aea-1,beb-1)∈ρ? H.由S 上的每個(gè)H 類最多包含一個(gè)冪等元可知，對(duì)任意的 e∈E (S)，有 aea-1=beb-1，因此(a,b)∈μ.

一個(gè)逆半群S 稱為基本的，如果在S 上的最大冪等分離同余是恒同余1S的.

定理5設(shè)S 是一個(gè)逆半群，E (S) 是S 上冪等元構(gòu)成的半格，令μ 是S 上的最大冪等分離同余，則 S/ μ 是基本的，且 S/ μ 上的冪等元所構(gòu)成的半格與 E (S) 同構(gòu).