撥開(kāi)云霧，探究本源,打造高效課堂
——以平行線證明為例

高海強(qiáng)

(重慶市云陽(yáng)縣紅獅初級(jí)中學(xué) 重慶 云陽(yáng) 404511)

對(duì)待數(shù)學(xué)教學(xué)中所設(shè)置的情景，不僅要探索解決它的途徑，給出它的嚴(yán)格證明，而且還應(yīng)該繼續(xù)深入思考，并作多方面的探索。例如，同樣條件尋求可能出現(xiàn)的多種結(jié)論，以廣開(kāi)思路，增強(qiáng)分析和解決問(wèn)題的能力；溯源探幽，以弄清問(wèn)題產(chǎn)生的“來(lái)龍”；推廣題意，以看出問(wèn)題發(fā)展的“去脈”；因?yàn)榕鍐?wèn)題的“來(lái)龍去脈”，正是理解深入的標(biāo)志之一。進(jìn)而適當(dāng)變換題目的形式和條件，為靈活運(yùn)用奠定基礎(chǔ)，再?gòu)V泛聯(lián)想，從橫向?qū)Ρ戎型诰虺雎?lián)系，真正的究其本源，達(dá)到高效。

1.設(shè)置情景，廣開(kāi)思路，培養(yǎng)發(fā)散思維

對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，改變題目中某些條件，結(jié)論有什么變化呢？這樣既能廣開(kāi)思路，以收到培養(yǎng)發(fā)散思路之效，又能幫助學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。因?yàn)橥磺榫八夭?，條件略有改動(dòng)，結(jié)論又有什么變化規(guī)律呢？往往是從各自的側(cè)面，相異的渠道反映出，條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。對(duì)此，不妨看如下情景材料：

例1、如圖：已知，AB∥CD,求證：________(猜想結(jié)論，并給予證明.)

當(dāng)E點(diǎn)在平行線AB與CD之間時(shí)，如圖3，則：∠B+∠D=∠BED。

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,則有EF∥CD .

∵EF∥AB(作圖)

∴∠B =∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.)

∵AB∥CD , EF∥AB

∴EF∥CD(平行公理的推論)

∴∠D =∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.)

∴∠BED =∠1+∠2 =∠B+∠D

即：∠B+∠D =∠BED

(2)當(dāng)點(diǎn)E在E1或E5時(shí)，如圖4，結(jié)論相似，即：∠1 =∠D,∠2 =∠B .

證明：∵AB∥CD (已知)

∴∠1 =∠D,∠2 =∠B (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.)

(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E2或E4的位置時(shí)，如圖5,結(jié)論相似,即：

∠2 =∠3+∠4 ，∠7 =∠5+∠6 .

證明：∵AB∥CD (已知)

∴∠1 =∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。)

∵ ∠1=∠3+∠4(三角的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和)

∴∠2=∠3+∠4

同理：∠7=∠5+∠6

(4)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E3時(shí)，如圖6，則：∠B+∠E+∠D=360°

證明：過(guò)E3作E3F∥AB,由平行公理的推論可得，E3F∥CD 。

∵E3F∥AB,

E3F∥CD，

∴∠1+∠B=180°，

∠2+∠D=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。)

∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°

即：∠B+∠E+∠D=360°

(5)當(dāng)∠BED=90° ,BF是∠ABE的平分線，DF是∠CDE的平分線，如圖7，則：

∠F= 1/2∠BED=45°

證明：過(guò)F作FG∥AB,由平行公理的推論可得，F(xiàn)G∥CD 。

∴∠1 =∠2 ，∠3 =∠4,(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。)

∴∠BFD =∠2+∠3 =∠1+∠4 ,

又由(1)∠BED =∠ABE+∠CDE ，

∵∠BED =90° ，∴∠ABE+∠CDE=90° (等量代換)。

∵∠1= 1/2∠ABE , ∠4= 1/2∠CDE(角平分線的定義)，

∴∠1+∠4 = 1/2 ∠ABE+ 1/2 ∠CDE

= 1/2 (∠ABE+∠CDE)=45°

即：∠BFD =1/2 ∠BED=45°

2.溯源探幽，弄清問(wèn)題的“來(lái)龍”；變形推廣，看出問(wèn)題的“去脈”

對(duì)于“一元二次方程根的判別式”來(lái)說(shuō)，教師在講完新知以后，可以安排學(xué)生進(jìn)行“實(shí)戰(zhàn)演習(xí)”，即用根的判別式去判別方程的情況.為了進(jìn)一步加深學(xué)生的理解運(yùn)用，教師除了要讓學(xué)生判別“x2-2x+5=0”這樣的完整的實(shí)數(shù)方程以外，也要讓學(xué)生嘗試去判別一些帶字母的方程式，如“(2m2+1)x2-2mx+5=0”，這樣的式子需要學(xué)生進(jìn)一步開(kāi)動(dòng)腦筋，運(yùn)用自己的理性思維去判別不同取值范圍下方程根的分布情況.總之，習(xí)題的設(shè)置既要幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，還須有一定的延伸拓展，能發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

總之，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)合理、科學(xué)地設(shè)置情景，讓學(xué)生探索結(jié)論，并對(duì)此進(jìn)行證明。從而讓學(xué)生弄清問(wèn)題的“來(lái)龍去脈”，甚至由此發(fā)現(xiàn)巧妙的解法，以及有趣的結(jié)論，達(dá)到舉一反三的效果，同時(shí)以培養(yǎng)學(xué)生能提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。