《反比例函數(shù)的應(yīng)用》示范課案例解讀

屈宗清

10月26日，我代表“國培計劃”（2019）第五批項目縣冷水灘區(qū)“送教下鄉(xiāng)”培訓團隊在冷水灘區(qū)嵐角山中學展示了一節(jié)示范課。本次送教下鄉(xiāng)的對象是冷水灘區(qū)農(nóng)村數(shù)學教師，主題是“課標指導下的教材單元整體教學設(shè)計及教學實踐”。本節(jié)課以“送教下鄉(xiāng)” 整體設(shè)計流程為模板，以單元整體教學設(shè)計為理念，歷經(jīng)三個月的時間，由送教下鄉(xiāng)團隊多位成員歷經(jīng)數(shù)稿共同打磨而成。

一、教材分析

（一）反比例函數(shù)章節(jié)是湘教版九年級上期第一單元。在此之前學生于八年級下期第三、四單元學習了《平面直角坐標系》和《一次函數(shù)》，對函數(shù)的基本概念、圖象、作法、性質(zhì)有了一定的認識，但函數(shù)的建模思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的體驗與理解不夠到位;而后九年級下期教材安排了《二次函數(shù)》章節(jié)。故此內(nèi)容位于初中函數(shù)內(nèi)容的中段，起著承上啟下的作用。

（二）《反比例函數(shù)的應(yīng)用》一課位于《反比例函數(shù)》一章的第三節(jié)第一課時。在此之前學生學習了反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等內(nèi)容，但理解不甚透徹，運用不甚熟練，特別是對于現(xiàn)實生活中數(shù)學原理的運用，學生較為生澀。

教材分析部分分兩部分：一、分析反比例函數(shù)單元在初中數(shù)學教學體系中的地位，承接前期的學習基礎(chǔ)、為后續(xù)的學習提供的思維導向;二、分析《反比例函數(shù)的應(yīng)用》一課在本單元中的地位。

二、學情分析

（一）本節(jié)課之前學生學習了反比例函數(shù)的概念、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式。

（二）學生對反比例函數(shù)的性質(zhì)的具體條件掌握不太熟練，用反比例函數(shù)進行說理的語言表達不嚴謹，邏輯不嚴密。

（三）在用函數(shù)思想解決實際問題時，學生對數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合、將反比例函數(shù)的建模思想進行類比推廣等數(shù)學思想掌握不夠。

學情分析部分主要預(yù)設(shè)學生在學習過程中可能出現(xiàn)的問題，為教學過程的具體實施提供導向。

三、教學目標

（一）知識與技能：能判斷數(shù)量間的反比例函數(shù)關(guān)系;能求反比例函數(shù)的解析式;能運用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題;能將反比例函數(shù)的建模思路推廣至一次函數(shù)建模、二次函數(shù)（未來）、方程、不等式等建模問題。

知識與技能目標的設(shè)計著重體現(xiàn)本次“送教下鄉(xiāng)”的主題，體現(xiàn)本堂課的建模思路在初中數(shù)學中的推廣和應(yīng)用。

（二）要素與素養(yǎng)：經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學建模——拓展應(yīng)用”的過程，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、運用反比例函數(shù)解決問題的能力;運用雙曲線滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生將反比例函數(shù)知識應(yīng)用于生活實際的數(shù)學思想。通過運用反比例函數(shù)知識解決實際問題的過程，體會數(shù)學來源于生活、服務(wù)于生活的應(yīng)用數(shù)學的意識并加以推廣。

（三）學習與發(fā)展：經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關(guān)系建立反比例函數(shù)模型進而解決實際問題的過程，體現(xiàn)數(shù)學的實用性，提高學習數(shù)學的意識。通過探究合作交流展示過程，提高學生探索精神和創(chuàng)新意識，養(yǎng)成良好的學習習慣。

四、教學重點

綜合運用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題

五、教學難點

能夠分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，綜合運用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題。

六、教學過程

（一）復(fù)習導入

1.知識鏈接

⑴反比例函數(shù)的概念：一般地，形如 （K是常數(shù)K≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。

⑵反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)。

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線

反比例函數(shù)：當k>0時，兩支曲線分別在_________，在每一象限內(nèi)，y的值隨x的增大而______。當k<0時，兩支曲線分別在_________，在每一象限內(nèi)，y的值隨x的增大而______。

（設(shè)計意圖：從知識點角度復(fù)習反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)）

⑶甲乙兩地相距200千米，一輛汽車從甲地駛往乙地，汽車的平均速度x（千米/小時）和所用的時間y（小時）之間的關(guān)系為

⑷請列舉一個你喜歡的反比例函數(shù)，使它的圖象的兩支分別在第一、三象限。

⑸已知變量y與x成反比例函數(shù)，且其圖象經(jīng)過點（4，-5），則反比例函數(shù)的解析式為 ? ? ? ;已知點（2，a）在反比例函數(shù)的圖象限上，則a= ? ? ? ? 。

（設(shè)計意圖：從習題角度復(fù)習反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)）

⑹小結(jié)：

2.問題情境

求生專家埃德·斯塔福特在一次荒野求生中需要穿過一條冰封的河流。當行進到河流中央時，埃德發(fā)現(xiàn)腳下的冰面產(chǎn)生了裂紋。為了逃生，下列選擇最恰當?shù)奶幚矸绞绞牵?/p>

A.踮著腳，慢慢走向河岸

B.迅速平趴，張開雙手雙腳，爬向河岸

C.我有更好的建議

請結(jié)合物理學和數(shù)學相關(guān)知識說明你選擇的理由。

（設(shè)計意圖：通過觀看視頻導入新課，易于抓住學生的注意力，案例來源于生活，易于被學生接受。A、B選項具有對比性，用于切入本堂課的主題，C選項為思路活躍的學生留有余地，也保證了本堂課的發(fā)散性。）

（二）新知探究：

1.小組合作，推薦代表展示成果。

分析：（1）解決上述問題需用哪些物理學知識？它們之間有什么關(guān)系？你能寫出它們?nèi)咧g的關(guān)系式嗎？

（2）本題中A、B三種不同的逃生方式中上述哪種量近似不變？改變的是哪種數(shù)量？埃德·斯塔福特需要改變哪種量來保證自己的安全？

（3）你能用數(shù)學知識來解釋這個物理學問題嗎？

a、在壓力不變的情況下（假定壓力為400牛頓），壓強和受力面積是什么函數(shù)關(guān)系？

b、請畫出這個函數(shù)的圖象。（設(shè)計意圖：通過畫圖，進一步培養(yǎng)學生的函數(shù)觀念，以及用變化的角度來解決問題的思維方式。）

c、你能用反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)結(jié)合圖形來解釋這個物理學問題嗎？

（4）小組討論方案A的可行性。（提示：注意運用函數(shù)知識說明理由）

（5）總結(jié)歸納：

生活實踐——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)建?！鉀Q問題

（設(shè)計意圖：以上為本堂課的核心內(nèi)容，著重訓練學生由生活實例抽象出數(shù)量關(guān)系，由數(shù)量的定、變量關(guān)系概括出函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)關(guān)系解決實際問題的思維方式，以后續(xù)的課堂練習、推廣應(yīng)用打下基礎(chǔ)。）

2.知識遷移：

你能根據(jù)玻意耳定律（在溫度不變的情況下，氣體的壓強p與它的體積V的乘積是一個常數(shù)k（k>0），即pV=k）來解釋，為什么使勁踩氣球時，氣球會爆炸？

先由學生小組討論，然后由小組代表回答，最后教師引導總結(jié)：

由pV=k可得， ，p是V的反比例函數(shù)，當使勁踩氣球時，隨著氣球體積減小，氣體的壓強p增大，所以氣球會爆炸。

（設(shè)計意圖：由上述的總結(jié)歸納進行推廣應(yīng)用，借以培養(yǎng)學生語言表達能力及表述時的思維的嚴密性。）

（三）課堂練習

下表為九年級一班物理實驗中測量的電流（I）與電阻（R）的對應(yīng)數(shù)據(jù)表。觀察下表，回答問題：

（1）猜想電流（I）和電阻（R）的關(guān)系，并寫出電流I關(guān)于電阻R的表達式。

（2）完成上表。

（3）怎樣調(diào)整電路中的電阻R，使電路中的電流I增大？

（四）反饋內(nèi)化

1.知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

生活情境——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)建?！鉀Q問題

（設(shè)計意圖：利用此環(huán)節(jié)將本堂課建立的模型推廣到其他函數(shù)、方程、不等式等其他數(shù)學模型，增強本課思維模型的普適性。）

2.收獲與疑惑

本節(jié)課我們學到了什么？啟發(fā)學生談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

⑴利用反比例函數(shù)的知識解決實際問題，首先找出數(shù)量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出解析式，再根據(jù)解析式解得。

⑵反比例函數(shù)與實際問題緊密相聯(lián)，了解了數(shù)學在其他學科中的應(yīng)用，特別是為討論一些物理量之間的關(guān)系打下良好的基礎(chǔ)。

⑶從埃德·斯塔福德身上學習勇于面對困難、珍愛生命等精神。

（五）學海拾貝

1.下列各點在反比例函數(shù)y= 上的是

A.（3，2） ? B.（-3，2） ?C.（3， ） ?D.（- ，3）

2.已知y與2（x+1）成反比例，且 x=1時y=3，那么當x=0時y= ? ? ?。

3.教師節(jié)來臨之際，班委會用500元購買同種鮮花送給各位科任老師，試寫出鮮花支數(shù)y（支）與單價x（元/支）之間的函數(shù)關(guān)系式。

4.日常生活中的許多現(xiàn)象應(yīng)用了反比例函數(shù)，下列現(xiàn)象應(yīng)用了反比例函數(shù)的有（ ? ）

（1）刀越磨越鋒利;（2）臺燈的亮度可以調(diào)節(jié);（3）汽車負載越重，行駛得越慢;（4）氣球可以飛上天。

A.1個 ? ?B.2個 ? ?C.3個 ? ?D.4個

5.在埃德冰面求生的問題中，本節(jié)課我們從增大受力面積的角度用反比例函數(shù)知識解決了問題，請問能否換個角度來達到求生的目的呢？

（設(shè)計意圖：照應(yīng)前文，進一步深化本堂課的思維模型的拓展，用正比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題。）

（六）必做作業(yè)P16 A組：1

（七）選做作業(yè)：

如圖A是反比例函數(shù)y= （x>0）圖象上任意一點，AB平行于 x軸交反比例函數(shù)y=- （x<0）的圖象于點B，P為x軸上一點，求三角形ABP的面積。

七、板書設(shè)計

綜上所述：

課前，我花費大量心思備學生，力求創(chuàng)造師生共同學習，以學生為主體教師適時點撥的自主學習課堂。由于是異地授課，又是農(nóng)村學生，我擔心學生沒見過幾十位老師在現(xiàn)場聽課的大場面，會因為緊張而冷場，于是我課前分組時加入了一個小游戲——聽組號站立、坐下，并為激勵學生，準備了一套《數(shù)學奧賽題解》作為獎品送給表現(xiàn)突出的小組。現(xiàn)場反饋，這種方式效果不錯，值得我今后繼續(xù)完善使用。

本課由復(fù)習——情境導入——新知探究——課堂練習——反饋內(nèi)化——學海拾貝——作業(yè)幾個環(huán)節(jié)組成。本堂課采用視頻導入的方式切入課題，在農(nóng)村中學中并不常見，實踐中效果不錯。而后的問題拋出，既緊密貼合視頻，又充分體現(xiàn)本堂課的主題，是本堂課設(shè)計中的一個亮點。由于課前準備充分，預(yù)案考慮周到，學生的各種回答均在我掌控之中，故此環(huán)節(jié)既體現(xiàn)了學生的主體作用，又很好地把握住了本堂課的實質(zhì)（沒有跑馬），此環(huán)節(jié)自我較為滿意。

本節(jié)課作為此次“送教下鄉(xiāng)”的示范課，目的是為了示范“反比例函數(shù)的應(yīng)用”這一課時在《反比例函數(shù)》這一章及初中數(shù)學中的地位。故我在本堂課的“反饋內(nèi)化”環(huán)節(jié)設(shè)置了將本堂課的思想拓展為——“函數(shù)建?！笨梢宰儞Q為“一次函數(shù)建?！薄胺匠探！薄安坏仁浇！薄岸魏瘮?shù)建?！钡?，提升了本堂課作為應(yīng)用課的“建模”作用。學生學習了本堂課之后，可以將此課的模式推廣到其他數(shù)學模型，增強了本堂課的普適性。