數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)例分析

何金蘭

摘 ?要：數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)最重要的思想之一，它是連接數(shù)學(xué)中具體問(wèn)題與抽象問(wèn)題之間的紐帶。它既充分體現(xiàn)了學(xué)生的解題思維能力，又為后續(xù)深入的高層次學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。本文結(jié)合了本人的一些教學(xué)體會(huì)，主要從代數(shù)、幾何和統(tǒng)計(jì)方面來(lái)分析：數(shù)轉(zhuǎn)化為形，形轉(zhuǎn)化為數(shù)，數(shù)形結(jié)合，在教學(xué)中如何使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性。

關(guān)鍵字：數(shù)形結(jié)合;思想;代數(shù)幾何統(tǒng)計(jì);思維能力

一、數(shù)與代數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

新一輪課程改革中的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，它要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，那么，作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一的數(shù)形結(jié)合思想在新課程中又是怎樣體現(xiàn)的呢？

在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)里，我認(rèn)為，應(yīng)該抓住實(shí)數(shù)與樹(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，借助數(shù)軸處理好相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算，不等式的解集在數(shù)軸上的表示等。教師讓學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)、探索的過(guò)程，體驗(yàn)如何用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。

教學(xué)案例1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解可以理解為函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與函數(shù)值y=0，即x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

當(dāng)方程中△>0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)方程中△=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)方程中△<0 方程無(wú)實(shí)數(shù)根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)。

以上所提到的“數(shù)” “形”揭示了數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中應(yīng)遵循的規(guī)律，“數(shù)”與“形”的教學(xué)不能孤立進(jìn)行，而應(yīng)是交錯(cuò)進(jìn)行，相輔相成。

例：①x2-x-6=0，△=25>0，x1=-2，x2=3，即y=x2-x-6與x軸的公共點(diǎn)A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，△=0，x1=x2=1即y=x2-2x+1與x軸的公共點(diǎn)A（1，0）。

③x2+1=0，△<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根即y=x2+1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生建立由數(shù)想到形，由形想到數(shù)的思想，這樣可以加深學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”的理解和認(rèn)識(shí)，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式，利用函數(shù)圖像理解函數(shù)的變化趨勢(shì)等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的極好的方法。

二、“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合

新課程中的幾何內(nèi)容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過(guò)程形式化的要求和證明的難度。教師要把握好數(shù)學(xué)思想方法在整個(gè)教學(xué)發(fā)展中的地位，對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數(shù)，揭示“形”中“數(shù)”的本質(zhì)。

教學(xué)案例2：如圖，是連接在一起的兩個(gè)正方形，大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的2倍。問(wèn)：若只許剪兩刀應(yīng)如何裁剪，使之能拼成一個(gè)新的大正方形？

對(duì)于這一問(wèn)題學(xué)生往往采取實(shí)驗(yàn)的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但卻極少有人能在短時(shí)間內(nèi)拼湊好。如果對(duì)題目認(rèn)真加以分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，從已知到結(jié)論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒(méi)變的東西——面積，若設(shè)小正方形的面積為1，則其邊長(zhǎng)就是1，這樣一來(lái)，我們僅需沿著圖4中邊長(zhǎng)為 的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒(méi)有幾條，于是很快就能找到答案。

問(wèn)題之所以能很快解決，關(guān)鍵是我們從問(wèn)題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數(shù)”這一實(shí)質(zhì)。一個(gè)似乎是純幾何的問(wèn)題，在“數(shù)”的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

三、“統(tǒng)計(jì)與概率”中的數(shù)形結(jié)合

新課標(biāo)中的統(tǒng)計(jì)與概率，在內(nèi)部編排和內(nèi)容要求上卻有所加強(qiáng)，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，收集和整理?shù)據(jù)，運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)圖來(lái)展示數(shù)據(jù)做出決策。

教學(xué)案例3：甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母A和B;乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母C，D和E;丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母H和I.從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球.

（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？

（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？

解：根據(jù)題意，可以畫(huà)出如下樹(shù)狀圖：

綜上所述，“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微”，由于數(shù)形結(jié)合具有形象直觀、易于接受的優(yōu)點(diǎn)，它對(duì)于溝通知識(shí)間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開(kāi)闊學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的潛能，提高學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和開(kāi)拓精神，使學(xué)生充分張揚(yáng)個(gè)性，充分發(fā)揮潛能，真正實(shí)現(xiàn)個(gè)體的最優(yōu)化發(fā)展都有很大幫助。

參考文獻(xiàn)：

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