Tempered分?jǐn)?shù)階微分方程解的全局存在性和穩(wěn)定性*

張玉瑤，鐘文勇

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

近年來,學(xué)者們對(duì)tempered分?jǐn)?shù)階微分方程理論和數(shù)值分析的研究非?；钴S[1-6].例如，Zayernouri等[1]利用不動(dòng)點(diǎn)定理探討了tempered分?jǐn)?shù)階Sturm-Liouville特征值問題，Li等[2]和Morgado等[5]利用不動(dòng)點(diǎn)定理討論了一類Cauchy問題.但就tempered分?jǐn)?shù)階微分方程而言，局部Lipschitz條件下解的全局性質(zhì)和穩(wěn)定性問題還有待進(jìn)一步研究.最近，對(duì)于連續(xù)和有界的分?jǐn)?shù)階積分函數(shù),Tuan等[7]和Gomoyunov[8]都建立了涉及凸Lyapunov函數(shù)的不等式,并得到了一些含標(biāo)準(zhǔn)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程解的穩(wěn)定性判斷依據(jù).受文獻(xiàn)[7-8]中的方法和結(jié)果的啟發(fā)，筆者擬利用凸Lyapunov函數(shù)研究含Caputo型tempered分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的全局存在性和穩(wěn)定性.

1 相關(guān)定義

Caputo型tempered分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的具體形式如下：

(1)

本研究中均假設(shè)0<α<1.

上述定義中的α為相應(yīng)積分或?qū)?shù)的階.

對(duì)于定義在[0,T]上、取值于Rd的矢量值函數(shù),其相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)也是Rd矢量值函數(shù),它的分量由矢量值函數(shù)中相應(yīng)分量的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)構(gòu)成.若矢量值函數(shù)的每個(gè)分量在此區(qū)間上都是非負(fù)的，則在區(qū)間上稱之為非負(fù)函數(shù).

2 相關(guān)引理

引理2[2]設(shè)f(·)∈C(Rd,Rd)，b(·)∈C(R+,R)且在R+上有界.若f(·)在Rd上滿足Lipschitz條件，則問題(1)在R+上存在唯一解.

在建立主不等式之前，需要引入幾個(gè)引理來描述Rd上凸函數(shù)的性質(zhì)，并對(duì)凸函數(shù)做一些假設(shè).由文獻(xiàn)[10]中的定理4.5可直接得到如下結(jié)論：

引理4(鏈?zhǔn)椒▌t) 設(shè)ν∈C1(O,R)，則對(duì)于??∈ACloc(I,O)，ν(?(·))∈ACloc(I,R)，ν′(?(t))=ν(?(t))·?′(t)在I中幾乎處處成立，其中點(diǎn)·表示Rd上的內(nèi)積.

引理5[11-12]設(shè)ν∈C1(S(ρ),R)，則以下命題等價(jià)：

(S1)ν在S(ρ)上是凸的；

(S2)對(duì)于?θ，?∈S(ρ)，有ν(?)-?(θ)-ν(θ)·(?-θ)≥0；

(S3)ν的Hessian矩陣在S(ρ)中是半正定的.

令函數(shù)ν：S(ρ)|→R滿足如下假設(shè)：

(H1)ν(?)是S(ρ)上的凸函數(shù)且ν(0)=0；

(H2)ν(?)在S(ρ)上是連續(xù)可微的；

(H3)對(duì)于??∈S(ρ)，有λ(ν(?)-ν(?)·?)≤0.

φα(t)=t-α,

h(s)=(eλsν(?(s)))′-ν(?(t))·(eλs?(s))′,

其中0≤s

(2)

以下待證對(duì)于?t∈I有H(t)≤0.為此,先考察函數(shù)h(s),由鏈?zhǔn)椒▌t可得

h(s)=(eλsφ(s))′+λeλs(ν(?(t))-ν(?(t)))·?(t)，

(3)

其中φ(s)=ν(?(s))-ν(?(t))-ν(?(t))·(?(s)-?(t)).由假設(shè)(H2)和中值定理可知,對(duì)于從?(s)到?(t)的線段上的某個(gè)點(diǎn)ξ,有φ(s)=(ν(ξ)-ν(?(t))·(?(s)-?(t)).因此，對(duì)于I中幾乎所有t,有

(4)

由假設(shè)(H3)和ν的凸性確保在區(qū)間[0,t]上φ≥0.結(jié)合(2)式可知，對(duì)于?t∈I有H(t)≤0.證畢.

3 全局存在性和穩(wěn)定性

定義5如果對(duì)于?ε>0，存在δ>0使得 |?0|<δ成立，且問題(1)對(duì)應(yīng)的解?(t,?0)滿足不等式|?(t,?0)|<ε,t∈R+，那么稱問題(1)中的零解是穩(wěn)定的.

定義7[13]如果函數(shù)k在C(R+,R+)中是嚴(yán)格遞增的且k(0)=0,那么稱k在K中,記作k∈K.

現(xiàn)對(duì)問題(1)中的函數(shù)做進(jìn)一步研究.令S(ρ)滿足下列假設(shè)：

(C1)f(·)∈C(Rd,Rd)，且f(·)在S(ρ)上滿足Lipschitz條件；

(C3)S(ρ)是R+上的非負(fù)連續(xù)有界實(shí)值函數(shù).

定理1假設(shè)S(ρ)滿足(C1)和(C3).若存在函數(shù)k∈K和ν(?)滿足(H1)—(H3)，且k(|?|)≤ν(?)和ν(?)·f(?)≤0在S(ρ)上成立，則對(duì)于每一個(gè)足夠小的初值，問題(1)在R+上存在唯一有界解.

證明(C1)和Kirszbraun′s定理[14]確保存在函數(shù)g:Rd|→Rd，在R+上滿足Lipschitz條件并與f具有相同的Lipschitz常數(shù)，且在S(ρ)上滿足g=f.用函數(shù)g構(gòu)造初值問題

(5)

于是由引理4可知，對(duì)于Rd上的任何初始數(shù)據(jù)?0，問題(5)在ACloc(R+,Rd)中存在對(duì)應(yīng)的唯一解.

接下來證明對(duì)于足夠小的初始數(shù)據(jù)，問題(5)的對(duì)應(yīng)解在R+上是有界的，且它也是問題(1)在R+上的唯一解.為此，在區(qū)間(0,ρ)中選擇一個(gè)正數(shù)ρ0.函數(shù)ν(?)的連續(xù)性和ν(0)=0的連續(xù)性能確保選取δ且0<δ<ρ0，只要?在S(δ)中就有ν(?)

|?(t,?0)|<ρ0

(6)

在R+上成立.

現(xiàn)用反證法證明這個(gè)推斷.若(6)式成立，則根據(jù)條件|?(0,?0)|=|θ0|<δ<ρ0和?(t,?0)的連續(xù)性可知，存在一個(gè)T1>0,使得對(duì)于?t∈[0,T1]，都有|?(t,?0)|<ρ0且|?(T1,?0)|=ρ0.在S(ρ)中,由k(|?|)≤ν(?)可得k(|?(t,?0)|)≤ν(?(t,?0)).再次利用(6)式和假設(shè)(H3)可知，在區(qū)間[0,T1)上，ν(?(t,?0))·g(?(t,?0))=ν(?(t,?0))·f(?(t,?0))≤0.結(jié)合假設(shè)(C3)，(H1)—(H3)和引理6可知，對(duì)于?t∈[0,T1]，都有

再利用推論1，得到ν(?(t,?0))≤ν(?0)e-λt.因此

k(|?(t,?0)|)≤ν(?(t,?0))≤ν(?0)e-λt≤ν(?0)

特別地，當(dāng)t=T1時(shí)，有

k(ρ0)≤ν(?(T1,?0))≤ν(?0)e-λT1≤ν(?0)

這明顯是矛盾的，所以(6)式在R+上成立，即解?(t,?0)在R+上有界.于是|?(t,?0)|<ρ在R+上顯然成立，從而g(?(t,?0))=f(?(t,?0))，因此

這說明?(t,?0) 也是問題(1)在R+上的唯一解.證畢.

定理2定理1的假設(shè)中用(C2)代替(C1)，其他假設(shè)不變.若λ>0， 則問題(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.

證明給出一個(gè)正數(shù)ε且ε<ρ.用ε代替定理1證明中的ρ0，則對(duì)于ε存在對(duì)應(yīng)的δ(0<δ<ε)，使得無論何時(shí)|?0|<δ，問題(1)在R+上都存在唯一解 ?(t,?0)，且?(t,?0)在R+滿足|?(t,?0)|<ε. 這驗(yàn)證了穩(wěn)定性.

再次使用與定理1的證明相似的技巧，得到

k(|?(t,?0)|)≤ν(?(t,x0))≤ν(?0)e-λt.

(7)

令t→+∞，由(7)式可推斷出|φ(t,?0)|→0.這確保了漸近性.證畢.