基于經(jīng)驗 理解概念

施孟君

摘要：本研究先結(jié)合實證分析了學(xué)生認(rèn)識“高”的困難點，再思考如何通過經(jīng)驗改造促進“高”概念的形成：基于經(jīng)驗，生長概念;逐步改造，理解概念;以理促畫，形成技能。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗改造;深度學(xué)習(xí);底和高

“底與高”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中一個很重要的概念，也是一大難點。那么學(xué)生在畫高時遇到了什么困難？如何幫助學(xué)生深度理解高的概念。

一、厘清：學(xué)生畫高出現(xiàn)的問題

課堂上我們一步一步列出畫高的具體步驟，反復(fù)強調(diào)畫法，但當(dāng)畫三角形的高時，每次都會有人做錯。下面是我們收集到的錯例，學(xué)生不能準(zhǔn)確地找到一個頂點、對應(yīng)的底邊，畫出垂線段。

二、剖析：學(xué)生畫高難的原因

1.教材的“講述”與學(xué)生的“理解”不符，不利于突破難點。北師大版教材從橋洞限高的線段抽象出梯形的高，再通過遷移畫出垂直線段，認(rèn)識平行四邊形和三角形的底和高，概括出高的概念。而在學(xué)生的認(rèn)知當(dāng)中，高是“從一個最高點到地面的垂直線段”，他很難理解為什么底可以不在地面？生活中的物體明明只有一種高度，為什么平行四邊形有兩種高度、三角形有三種高度？并且我們都知道三角形的高是平面圖形的高中最難的，尤其是鈍角三角形上以鈍角的邊為底時的高，教材從梯形的高引入，很難正遷移到三角形的高。據(jù)此分析，教材的講述與學(xué)生的認(rèn)知不符，導(dǎo)致學(xué)生很難準(zhǔn)確理解平面圖形高的概念。

2.概念與技能分離，重技能訓(xùn)練輕概念理解。在之前的教學(xué)中，我們通常先是介紹式的認(rèn)識“什么是高”，接著讓學(xué)生識記高的概念;然后教給學(xué)生畫高的具體步驟，并進行強化訓(xùn)練。在時間上我們會用盡量短的時間認(rèn)識“什么是高”，接著花大量的時間學(xué)習(xí)“怎么畫高”。然而一個正確的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該是以下面的“序”進行的：是什么（概念理解）→怎么得到（技能訓(xùn)練）。就高而言，高是從一個頂點到對面底邊的垂線段，而畫高也正是運用這一概念得到。由此，我們可以很清楚地認(rèn)識到，“什么是高”是根本與源泉，有了“什么是高”的理解，才能自然而然地生長出對畫法的理解。

三、思考：理解高概念的策略

俞特說“用學(xué)生的明白來明白數(shù)學(xué)的明白”，即學(xué)習(xí)過程應(yīng)立足于學(xué)生在生活中獲得的生活經(jīng)驗，經(jīng)過不斷的提煉、改造，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)識，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的語言要素。

（一）基于經(jīng)驗，生長概念

學(xué)生從出生開始就在體驗、運用“高”，小到自己的身高，大到人生的高度，已經(jīng)積累了豐富的生活經(jīng)驗。生活中不管是什么事物的高都是從最高點到最低點（地面）的距離。我們選擇“樹高”作為本節(jié)課的第一素材原因有三點：第一，樹高是每個孩子都熟悉的，哪怕是幼兒園的小朋友都知道“量樹高是從樹根量到樹的最高點”，熟悉的事物能容易喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗。第二，樹與三角形有異曲同工之處。樹是長在地面上的，地面可以無限延長，三角形的邊也可以延長。樹被吹彎了，樹高變了;三角形翻轉(zhuǎn)了，高也會變。第三，樹直立時樹長就是樹高，就像直角三角形中底和高重合;樹彎了時樹的高，好比鈍角三角形以鈍角的邊為底時的高。樹高的格式化為后面認(rèn)識三角形的高打下了良好的伏筆，從而讓三角形的高扎根于學(xué)生的已有認(rèn)知，自然生長。

（二）逐步改造，理解概念

生活中的物體通常是只有一種高的，如身高，不管人是站著還是坐著、躺著，身高都是指人直立站在地面時，從頭頂?shù)降孛娴木嚯x;樹高也是如此，是從樹頂?shù)降孛娴木嚯x。而三角形有三種高，為了讓學(xué)生自然地接受這個不同，我們創(chuàng)設(shè)了“臺風(fēng)來了，三角形翻轉(zhuǎn)了”的情境。在情境中學(xué)生明白了每個頂點都可以作為“最高點”，每條底邊都可以想成“地面”，3條底對應(yīng)3條高。

認(rèn)識“底和高”學(xué)生需經(jīng)歷兩次經(jīng)驗改造的過程，第一次從樹高是從樹頂?shù)降孛娴拇咕€段→三角形的高（有地面）是從頂點到地面邊的垂線段;第二次“去地面”，從三角形的高是從頂點到地面邊的垂線段→三角形的高是從頂點到底邊的垂線段。本節(jié)課的改造過程可以用下面的流程圖來表示。

環(huán)節(jié)1： ? ?樹高 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?最高點 ? 到 ? ?樹根 ? 的這條直線

↓ ? ? ? ?↓ ? ? ?↓ ? ? ? ? ? ↓

樹頂 ? ? 到 ? ?地面 ? ?的垂線段

↓ ? ? ? ?↓ ? ? ?↓ ? ? ? ? ? ↓

環(huán)節(jié)2： 鈍角三角形的高 ? ? 頂點 ? ? 到 ?地面邊 ? 的垂線段

↓ ? ? ? ?↓ ? ? ?↓ ? ? ? ? ? ↓

環(huán)節(jié)3： 銳角三角形的高 ? ? 頂點 ? ? 到 ? 底邊 ? ? 的垂線段

這個過程教師一點一點啟發(fā)學(xué)生用學(xué)過的知識將自己的明白格式化，從而在不知不覺中用學(xué)生的明白來明白數(shù)學(xué)的明白。這樣不僅使學(xué)生理解了高的概念，而且在一點一點的改造過程中學(xué)生找到了知識產(chǎn)生的根，了解了知識生長的序。

（三）以理促畫，形成技能

“什么是高”是這節(jié)課根本與源泉，只有真正理解“什么是高”，才能自然而然地生長出對“怎么畫高”的理解。因此，這節(jié)課我們將始終圍繞“什么是高”展開教學(xué)，強化高的概念、弱化畫高的技能。我們希望學(xué)生用概念思考概念、用概念思考技能，即學(xué)生在畫高時心中想的是“從一個頂點到對面底邊的垂線段”，進而找到一個頂點、對面的底邊、畫出垂線段，讓畫高的技能在理解高的本質(zhì)屬性的過程中自然而然地形成。用意義來支撐畫法的理解，呈現(xiàn)出一個完整的具有探究發(fā)現(xiàn)特質(zhì)的思考過程，其氣脈十分通暢。

參考文獻：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]俞正強.《種子課：一個數(shù)學(xué)特級教師的思與行》[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.