普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中“幾何與代數(shù)”主題解讀

摘?要：新舊課程標(biāo)準(zhǔn)中幾何和代數(shù)主題的教材內(nèi)容安排有很多變化，新課標(biāo)中提出了數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，分三個水平對學(xué)生應(yīng)該達(dá)成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評價，教師教學(xué)活動與評價，教材編寫、相應(yīng)考試命題提出了要求，需教師明確才能更好地把握教學(xué)。

關(guān)鍵詞：幾何;代數(shù);學(xué)業(yè)質(zhì)量

一、 背景：數(shù)學(xué)科學(xué)首先作為幾何出現(xiàn)

幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中最古老的內(nèi)容。幾何學(xué)產(chǎn)生于古埃及測量土地，為了計算產(chǎn)生了代數(shù)，在古代兩者密不可分。此后，數(shù)學(xué)發(fā)展為歐氏幾何和方程的研究，經(jīng)過長期的分離后，解析幾何的產(chǎn)生又使兩者緊密聯(lián)系在一起。尤其在近代，向量內(nèi)容融入后，幾何和代數(shù)成為一個整體，發(fā)展為數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一。

二、 新舊課標(biāo)對幾何和代數(shù)主題的要求和教材內(nèi)容安排的變化

（一）不同版本教材的課程目標(biāo)要求

舊大綱，使學(xué)生學(xué)好從事社會主義建設(shè)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。培養(yǎng)思維能力，運(yùn)算能力，空間想象能力，解決實(shí)際問題的能力，即雙基，四能。以幾何代數(shù)內(nèi)容為主。概率統(tǒng)計，微積分的初步知識未列入高考的范圍。

新大綱，除雙基要求外，培養(yǎng)思維能力具體化為，空間想象，直覺猜想，歸納抽象，符號表示，運(yùn)算求解，演繹證明，體系構(gòu)建等，并對數(shù)學(xué)教學(xué)過程，探究，建模，交流提出了要求，在雙基中對概率統(tǒng)計，微積分初步知識的要求提高，教材內(nèi)容在舊大綱版的基礎(chǔ)上，增加了概率，微積分知識，提高了考查的要求，由初步知識變?yōu)榛A(chǔ)知識，提出了直覺猜想的能力要求。

現(xiàn)行課標(biāo)，提出了進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，為雙基，五能，分別是，空間想象，抽象概括，推理論證，運(yùn)算求解，數(shù)據(jù)處理。同時對問題情境，概念，結(jié)論產(chǎn)生的背景提出了要求。

新課標(biāo)，使學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想，基本活動經(jīng)驗(yàn)，簡稱四基，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，簡稱四能。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（二）與幾何與代數(shù)內(nèi)容密切相關(guān)的課程目標(biāo)要求

新舊大綱及現(xiàn)行課標(biāo)都有運(yùn)算，空間想象推理能力的要求。新課標(biāo)變?yōu)榘l(fā)展直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算三個素養(yǎng)，說法由能力深化為核心素養(yǎng)，即培養(yǎng)數(shù)學(xué)的綜合能力。主要變化是把空間想象變?yōu)橹庇^想象，這樣要求就更廣泛，不僅僅局限在幾何內(nèi)容中。體現(xiàn)為由圖描述，分析，理解，解決數(shù)學(xué)問題。對構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型提出了要求，內(nèi)容要求從以幾何代數(shù)內(nèi)容為主，變?yōu)橐蟾S富，涉及數(shù)學(xué)其他分支。

總之，課標(biāo)要求由能力要求上升為核心素養(yǎng)要求，即思維層面要求。幾何方面要求由空間想象能力上升為直觀想象的素養(yǎng)。代數(shù)由僅運(yùn)算求解的要求上升為數(shù)學(xué)運(yùn)算，不僅會算，還要明確算理。

（三）幾何與代數(shù)教材內(nèi)容的變化

中學(xué)階段代數(shù)知識學(xué)習(xí)主要為方程問題（如待定系數(shù)法，化歸轉(zhuǎn)化法，坐標(biāo)法及向量法，多數(shù)最終都轉(zhuǎn)化為方程求解問題）。幾何知識的學(xué)習(xí)主要為圖形基本性質(zhì)（如平面，立體幾何中的性質(zhì)，定理，圓錐曲線的幾何性質(zhì)）極其簡單的幾何變換（如平移和伸縮，對稱變換）。解析幾何通過向量及坐標(biāo)法把幾何與代數(shù)統(tǒng)一起來了，也就是直觀的幾何關(guān)系代數(shù)化，抽象的運(yùn)算直觀化（如平行、垂直判定方法，方程組與曲線的交點(diǎn)問題等），即數(shù)學(xué)符號是文字化的圖形，幾何圖形是圖象化的公式。

從整個教材變化來看，是從綜合幾何向向量幾何改變，大家知道，是古老的三個幾何作圖問題（倍立方，三等分角，化圓為方）的研究促使了近代抽象數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，使幾何代數(shù)在更深層次有了統(tǒng)一性，向量內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)最主要的內(nèi)容，坐標(biāo)系的拓展都是從向量基底的角度進(jìn)行的，解析幾何及線性代數(shù)的研究都離不開向量。正因如此，現(xiàn)行及今后數(shù)學(xué)教材都把用向量解決幾何問題作為主要內(nèi)容，同時新課標(biāo)對基底的思想和方法提出了更高要求。

（四）不同版本教材內(nèi)容的安排及變化

舊大綱版幾何和代數(shù)是分開的，幾何為立體幾何和平面解析幾何，立體幾何先學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以位置為主線安排教學(xué)內(nèi)容，每個定理都有純幾何的證明。然后是空間幾何體的學(xué)習(xí)，便于學(xué)生較理論的認(rèn)識幾何體，即按點(diǎn)、線、面、體的順序安排教材內(nèi)容。同時有祖暅原理，球缺，擬柱體、正等測畫法等知識，邏輯體系完整，無三視圖知識。

平面解析幾何，為直線、圓，圓錐曲線，極坐標(biāo)及參數(shù)方程，體系完整。直線有定比分點(diǎn)及夾角公式。圓錐曲線內(nèi)容學(xué)習(xí)第二定義，有橢圓、拋物線的畫法，坐標(biāo)平移變換的內(nèi)容，極坐標(biāo)有圓錐曲線的統(tǒng)一方程。

代數(shù)中復(fù)數(shù)有三角形式，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的乘除的幾何意義，此外，還有二階行列式的知識。正、余弦定理，在三角中學(xué)習(xí)。

新大綱版（實(shí)驗(yàn)本）幾何與代數(shù)合為“數(shù)學(xué)”，稱試驗(yàn)修訂本。分A版和B版，B版中引入了向量的內(nèi)容。

立體幾何在高二學(xué)習(xí)，用向量方法論證（如線面垂直判定定理）一些定理。并用空間向量解決夾角和距離問題，有多面體的知識，為文理都學(xué)必修內(nèi)容，無三視圖知識，邏輯要求有所降低。

解析幾何無定比分點(diǎn)知識，增加了線性規(guī)劃內(nèi)容，降低了對圓錐曲線第二定義要求，刪去了坐標(biāo)變換的內(nèi)容，極坐標(biāo)內(nèi)容，參數(shù)方程只學(xué)圓、橢圓的參數(shù)方程。

代數(shù)中正、余弦定理，在三角形知識中學(xué)習(xí)。復(fù)數(shù)刪去了三角形式，為文理都學(xué)內(nèi)容，總之，與舊大綱版比削去了一些枝節(jié)知識，融入了向量工具。

課標(biāo)版（試驗(yàn)本）立體幾何分兩個階段學(xué)習(xí)，第一階段是立體幾何初步，為文理都學(xué)內(nèi)容，增加了三視圖知識，先整體感知空間幾何體，再以性質(zhì)為主線，安排點(diǎn)，線，面內(nèi)容，突出了學(xué)生對幾何知識的直觀感知，判定定理沒有證明，降低了幾何學(xué)的邏輯要求。第二階段是空間向量與立體幾何（供理科生學(xué)習(xí)），在新大綱版基礎(chǔ)上增加了一些用向量方法解決幾何中垂直和夾角問題的例題，刪去了異面直線的距離的知識，對距離問題沒做要求，空間坐標(biāo)內(nèi)容放在了必修2學(xué)習(xí)。

解析幾何在實(shí)驗(yàn)本基礎(chǔ)上刪去了直線的夾角公式，把線性規(guī)劃的知識放到必修5的不等式一章中，沒有圓錐曲線的第二定義。文科為掌握圓、橢圓內(nèi)容，了解拋物線、雙曲線的內(nèi)容。理科為掌握橢圓、拋物線的內(nèi)容，了解雙曲線內(nèi)容，文理要求不同，與之前兩版本對三種曲線要求都為掌握，變?yōu)橐恍┱莆?。極坐標(biāo)內(nèi)容，在新大綱版基礎(chǔ)上又加上了參數(shù)方程內(nèi)容，增加了直線參數(shù)方程，例題內(nèi)容比前面版本更豐富，放在4-4中以專題形式學(xué)習(xí)。

代數(shù)與新大綱版一致，復(fù)數(shù)只學(xué)代數(shù)形式，修訂后的兩個版本與舊大綱版比，都增加了用向量解決幾何問題的內(nèi)容，現(xiàn)行教材例題更豐富，涉及跨學(xué)科及體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的例子反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性及人文性。

新課標(biāo)版（不分文理）以主題方式安排教材內(nèi)容，分必修與選擇性必修，立體幾何初步刪去了三視圖，中心、平行投影內(nèi)容，內(nèi)容安排方式及要求與現(xiàn)行版本基本一致，判定、性質(zhì)定理仍為借助長方體模型通過直觀感知了解位置關(guān)系，歸納判定、性質(zhì)定理，只對性質(zhì)定理證明，僅限于位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，不涉及度量關(guān)系。仍遵循從整體到局部，從具體到抽象原則。

選擇性必修中，把空間坐標(biāo)系放到該主題，在現(xiàn)行教材對距離不做要求基礎(chǔ)上，新課標(biāo)對點(diǎn)，線，面間距離有要求，是能用向量方法解決，在現(xiàn)行教材基礎(chǔ)上略微提高了用向量研究幾何問題的要求。

解析幾何，降低了要求，刪去了線性規(guī)劃的知識，只掌握橢圓的內(nèi)容，拋物線及雙曲線內(nèi)容為了解，提出了以幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，再運(yùn)用代數(shù)方法得結(jié)論要求。以往教學(xué)只注重幾何問題的代數(shù)化，不注重幾何特征對代數(shù)思路的引導(dǎo)作用，這在這些年高考題的選擇題、填空題中多有體現(xiàn)。

代數(shù)，總體上對向量及復(fù)數(shù)內(nèi)容的要求略有提高，把必修5中的正、余弦定理安排在向量的應(yīng)用一單元，從三角形知識中拉了出來，平面向量的基本定理由了解變?yōu)槔斫?，增加了空間向量投影的知識，對理解向量基本定理，感悟“基”的思想提出要求，讓學(xué)生更本質(zhì)的認(rèn)識向量及其應(yīng)用。復(fù)數(shù)內(nèi)容要求也略有提高，代數(shù)表示及幾何意義由了解變?yōu)槔斫?，?fù)數(shù)四則運(yùn)算要求由“能進(jìn)行”變?yōu)椤罢莆铡保⒀a(bǔ)充了復(fù)數(shù)的三角表示內(nèi)容。

總之，新教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式與現(xiàn)行課標(biāo)版基本一致，知識體系安排與新大綱版，也就是實(shí)驗(yàn)本基本一致，為兩版本教材取長補(bǔ)短后形成的更加合理、科學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的教材。

三、 學(xué)業(yè)質(zhì)量要求解讀（類似于考綱）

數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生應(yīng)該達(dá)成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與課程內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評價，教師教學(xué)活動與評價，教材編寫的指導(dǎo)性要求，也是相應(yīng)考試命題的依據(jù)。學(xué)業(yè)質(zhì)量水平劃分為三個水平，每一個水平是通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面進(jìn)行表述的，為情境與問題，知識與技能，思維與表達(dá)，交流與反思?，F(xiàn)分三個水平列表對比說明。

總體上看

水平一，主要為對知識的掌握和理解層面（為學(xué)業(yè)水平考試命題的依據(jù)）。

水平二，主要為知識重新建構(gòu)融合形成能力層面（為高考命題的依據(jù)）。

水平三，主要為形成數(shù)學(xué)思維能力，從數(shù)學(xué)學(xué)科整體角度認(rèn)識知識內(nèi)在聯(lián)系及體系，為思維層面要求（為高校自主招生的依據(jù)）。

總之，課標(biāo)要求由能力要求上升為思維上的素養(yǎng)要求，新課程教材內(nèi)容削支強(qiáng)干，增強(qiáng)了向量在解決幾何問題中的作用。思維上降低了純幾何的邏輯推證要求，提高了代數(shù)推理及運(yùn)算要求，并以學(xué)科知識體系為主的主題形式展開內(nèi)容。教材例子趨于豐富，安排了一些跨學(xué)科，綜合運(yùn)用，人文性強(qiáng)的例子，增強(qiáng)了教材的實(shí)踐性，科學(xué)性，人文性。

參考文獻(xiàn)：

[1]王尚志，高定量.普通高中數(shù)學(xué)課程分析與實(shí)施策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2016.

作者簡介：

宋書君，甘肅省天水市，甘肅省武山縣第二高級中學(xué)。