問題導(dǎo)向結(jié)合數(shù)學(xué)建模在“數(shù)學(xué)物理方法”教學(xué)中的應(yīng)用

王秋玲，張開銀，劉乙飛，范 沁，崔北臣

（1.武夷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建武夷山354300；2.阜陽師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,安徽阜陽236037）

0 引言

數(shù)學(xué)物理方法是高等學(xué)校理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，定位在高等數(shù)學(xué)和普通物理的基礎(chǔ)上，以講授求解數(shù)學(xué)物理問題的常用古典方法為主，同時(shí)注重介紹實(shí)際物理問題的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用。該課程與電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、流體力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、工程等問題和理論有密切聯(lián)系，目的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述物理問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力，為學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程和擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[1]。它是以研究物理問題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法，主要包含復(fù)變函數(shù)、積分變換和偏微分方程等內(nèi)容。其中，復(fù)變函數(shù)和積分變換主要是數(shù)學(xué)內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)邏輯性強(qiáng)，涉及的物理學(xué)知識(shí)比較少，學(xué)生接受相對(duì)容易一些。而偏微分方程多起源于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁場(chǎng)理論，在介紹這些方程的時(shí)候，經(jīng)典教材使用的物理學(xué)問題相對(duì)單一，呈現(xiàn)的物理學(xué)問題大都是理想化的，而且大都偏重于數(shù)學(xué)理論，強(qiáng)調(diào)偏微分方程的解析求解方法[2]。

教材中此類偏微分方程的定解問題包括泛定方程、初始條件和邊界條件，求解方法隨泛定方程和定解條件的變化差異極大[3-4]。以輸運(yùn)問題為例，教學(xué)過程中，往往從最基本的無限長(zhǎng)均勻桿熱傳導(dǎo)方程開始，推演到二維、三維熱傳導(dǎo)方程，求解方法隨逐步增加的限制條件完全不同。從行波法求解半無限長(zhǎng)均勻桿溫度分布問題開始，增加限制到第一、二和三類邊界條件則需要用分離變量法求解，最后至非齊次方程的定解問題時(shí)需要用沖量定理法處理。盡管教材中的例題通常具有明確的物理意義，但是要從內(nèi)容繁多，公式推導(dǎo)繁雜的數(shù)學(xué)推理及其數(shù)學(xué)表達(dá)式中看出所要表達(dá)的物理圖像，不僅對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高，還需要一定的專業(yè)知識(shí)基礎(chǔ)。自1999年高等教育大規(guī)模擴(kuò)招以來，高等教育已經(jīng)完全轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟊娊逃?，多?shù)高校擴(kuò)招后學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理功底已大不如從前。在重視數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，如何增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因材施教，提高教學(xué)和學(xué)習(xí)效果，是一個(gè)值得廣泛而且深入研究的問題。

1 問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)與數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)相結(jié)合的策略

最近幾年，慕課和翻轉(zhuǎn)課堂等啟發(fā)式教學(xué)得到了廣泛認(rèn)可，是當(dāng)前教學(xué)改革的潮流，能夠有效開發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)潛能。而問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)（Problem based learning，PBL）更是強(qiáng)調(diào)學(xué)生的中心地位，鼓勵(lì)學(xué)生組成科研、學(xué)習(xí)小組，激勵(lì)學(xué)生以團(tuán)隊(duì)形式就各種有意義的個(gè)案，比如科研難題、工程案例等，進(jìn)行問題分析、解決和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)等。吳建成等人針對(duì)需要本碩銜接的課程教學(xué)，提出了PBL的十個(gè)問題表單并列舉了解決具體問題的七個(gè)步驟[5-6]。問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)可以高效激發(fā)自主學(xué)習(xí)能力、問題解決能力和協(xié)作交流能力。在問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)中，學(xué)生是主體，問題是導(dǎo)向。該模式在一門課程中的應(yīng)用能否成功，科學(xué)、生動(dòng)、有趣的問題設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，需要教師和教輔人員投入相當(dāng)?shù)木蜁r(shí)間，考驗(yàn)非常大。

在大多數(shù)高校的人才培養(yǎng)方案中，數(shù)學(xué)物理方法一般安排在大二下學(xué)期開設(shè)。在這個(gè)階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“高等數(shù)學(xué)”、“線性代數(shù)”、“大學(xué)物理”、“C程序設(shè)計(jì)”、“Matlab”、“計(jì)算物理”等相關(guān)知識(shí)，具備了數(shù)學(xué)建模和數(shù)值計(jì)算的基本能力，經(jīng)過一定的培訓(xùn)可以參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。在數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)過程中，學(xué)生會(huì)接觸到多種類型的物理、工程、統(tǒng)計(jì)等實(shí)際問題。特別是指導(dǎo)老師，經(jīng)過多年的積累往往收集了大量的類型多樣的案例，其中會(huì)有相當(dāng)數(shù)量的案例與數(shù)學(xué)物理方法課程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)特別是偏微分方程相關(guān)。如果將這些案例進(jìn)行分類整理，并補(bǔ)充一些來自生活實(shí)踐的案例，豐富問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)的案例庫，既能增加課程的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能消除學(xué)生的畏懼和消極心態(tài)，激發(fā)好勝心，使數(shù)學(xué)物理方法課程成為一門學(xué)生愿意學(xué)習(xí)并能為其所用的課程，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

以高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽題目為例，我們對(duì)2010年到2019年的題目進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)能夠與物理學(xué)和數(shù)學(xué)物理方法或多或少有一定的聯(lián)系的題目有近10道。以這些題目為背景，教師可以根據(jù)教學(xué)需要進(jìn)行一定的改造，從而變化出一定數(shù)量的個(gè)案，豐富問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)的案例庫供教學(xué)學(xué)習(xí)使用。當(dāng)然，其中的個(gè)別案例與課程關(guān)聯(lián)度不是很強(qiáng)，需要教師結(jié)合物理、工程等實(shí)際問題進(jìn)一步提煉出更多更有趣更有意義的案例，比如結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)選取一些生產(chǎn)實(shí)踐的實(shí)際問題作為應(yīng)用案例。把這些實(shí)例與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來應(yīng)用到課堂教學(xué)中去，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣應(yīng)用于實(shí)際，怎樣解決實(shí)際問題，有利于打破書本與實(shí)際的界限，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)科之間相互滲透、交叉，緊密結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)中的問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)理論分析和解決實(shí)際問題，形成“學(xué)”與“用”的良性循環(huán)。

在建立了融合數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練的問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)案例庫的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生大膽學(xué)習(xí)并應(yīng)用計(jì)算軟件，例如C程序、Matlab、Orign和Excell等，將傳統(tǒng)教學(xué)手段與計(jì)算機(jī)仿真相結(jié)合，改變只用符號(hào)和復(fù)雜數(shù)學(xué)公式教學(xué)的模式，使得學(xué)生對(duì)復(fù)雜、抽象和煩瑣的數(shù)學(xué)物理問題具有更深刻的理解。

2 教學(xué)案例

以2018年的一道數(shù)學(xué)建模題“高溫作業(yè)專用服裝的設(shè)計(jì)”為例，探究在教學(xué)過程中以問題導(dǎo)向結(jié)合數(shù)學(xué)建模思維，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。在此，我們先對(duì)該案例做個(gè)簡(jiǎn)單重述。在高溫環(huán)境下工作時(shí)，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，其中I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。為設(shè)計(jì)專用服裝，將體內(nèi)溫度控制在37°C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境中，測(cè)量假人皮膚外側(cè)的溫度。為了降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期，需要利用數(shù)學(xué)模型來確定假人皮膚外側(cè)的溫度變化情況。如給定專用服裝材料的某些參數(shù)值由表1給出，對(duì)環(huán)境溫度為75°C、II層厚度為6 mm、IV層厚度為5 mm、工作時(shí)間為90分鐘的情形開展實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到假人皮膚外側(cè)的溫度。建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算溫度分布。

表1 防護(hù)服的物理屬性

首先引導(dǎo)學(xué)生將負(fù)責(zé)的問題理想化，并將此問題近似為一維輸運(yùn)問題，也就是如圖1所示的環(huán)境-熱防護(hù)服-假人構(gòu)成的系統(tǒng)。本問題考慮的環(huán)境溫度較低，熱輻射效應(yīng)遠(yuǎn)小于熱傳遞，因此其影響可以忽略不計(jì)。防護(hù)服各層之間、防護(hù)服內(nèi)層與空氣之間、空氣層與假人皮膚之間的溫度分布都是連續(xù)的，通過界面的熱流通量連續(xù)[7]。

圖1：空氣層-高溫作業(yè)專用服-假人皮膚層系統(tǒng)

該系統(tǒng)可用的輸運(yùn)方程（1）表示，而且系統(tǒng)密度、比熱容以及熱傳導(dǎo)系數(shù)等均為位置依賴的參數(shù)。

系統(tǒng)顯熱容函數(shù)為

其中ρi、ci、di分別表示系統(tǒng)第i層材料的密度、比熱容和厚度。系統(tǒng)熱傳導(dǎo)函數(shù)為

其中ki表示系統(tǒng)第i層材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

系統(tǒng)的初始條件為

系統(tǒng)的邊界為外殼層左邊界面和假人皮膚層右邊界面。假定系統(tǒng)兩端界面均按照牛頓冷卻定律散熱[5]，即

其中Hshell和Hskin分別為殼層和假人皮膚層的熱對(duì)流系數(shù)，uL和uR分別為外界環(huán)境溫度和假人內(nèi)部溫度。

方程（1）～（6）構(gòu)成了描述熱防護(hù)服熱量輸運(yùn)過程的定解問題，求解該定解問題可獲得系統(tǒng)溫度隨空間和時(shí)間的分布。在Matlab軟件工具箱中有個(gè)pdepe函數(shù)，可以用來求解上述偏微分方程。該函數(shù)求解形式形如式（7）的偏微分方程。

該式中第一項(xiàng)指顯熱容隨空間時(shí)間的變化梯度；第二項(xiàng)指的是熱量隨空間時(shí)間的變化梯度；第三項(xiàng)指的是熱源隨空間時(shí)間的變化梯度。pdepe函數(shù)的調(diào)用格式為：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)，其中輸入函數(shù)@pdefun指的是PDE的問題描述函數(shù)，@pdebc指的是PDE的邊界條件描述函數(shù)，@pdeic指的是PDE的初始條件，輸出函數(shù)sol指的是一個(gè)三維數(shù)組，sol(:,:，1)表示一維系統(tǒng)溫度函數(shù)u的解。

在初始條件方程（4）中有u0=37°C，同時(shí)邊界條件方程（5-6）中uL=75°C，uR=37°C。由于殼層材料和假人材料未知，在求解問題時(shí)參數(shù)Hshell和Hskin作為可調(diào)參數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析。調(diào)節(jié)參數(shù)Hshell和Hskin，獲得問題的解，輸出假人皮膚處溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系，與實(shí)驗(yàn)測(cè)定的假人皮膚溫度變化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，確定最優(yōu)參數(shù)值。圖2是參數(shù)Hshell和Hskin取不同參數(shù)值時(shí)模擬得到的假人皮膚溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系曲線。由圖2可知，參數(shù)Hshell對(duì)曲線前期時(shí)間段的溫度分布影響明顯，而參數(shù)Hshell則對(duì)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)的后期溫度分布影響明顯。Hshell和Hskin取值為10和4.4時(shí)得到的模擬曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合的非常好。

圖2 假人皮膚溫度隨時(shí)間的分布

高溫防護(hù)服的熱傳導(dǎo)過程是典型的輸運(yùn)方程定解問題。通過該案例的訓(xùn)練，不僅可以使學(xué)生學(xué)到有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)具體物理過程的具體分析，抓住主要因素、進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化近似、建立數(shù)學(xué)模型來求解和對(duì)比分析，從而對(duì)該過程有較深的理解。

3 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

結(jié)合數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)中的作用，主要用于解決學(xué)生以下幾個(gè)問題：學(xué)習(xí)被動(dòng)、學(xué)時(shí)不足、學(xué)科交叉不突出和科學(xué)應(yīng)用的思維欠缺。就像上文所述的，問題導(dǎo)向中的案例庫是一個(gè)關(guān)鍵。構(gòu)建有趣有意的案例庫，能夠觸發(fā)學(xué)生的好奇心，吸引學(xué)生主動(dòng)參與，課后多思考多練習(xí)，自然也就增加了課時(shí)?？茖W(xué)的教學(xué)效果評(píng)價(jià)，能夠有助于教師和教學(xué)輔助人員更好地改進(jìn)案例庫，更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

為此，可以從以下三個(gè)方面對(duì)基于數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)：①考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握。這是一個(gè)短期效果的評(píng)價(jià)，一般在學(xué)期末課程結(jié)束的時(shí)候，通過考查考試等形式，檢查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方法的整體認(rèn)識(shí)和各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)性理解和把握；②考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方法相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。這個(gè)可作為中期效果評(píng)價(jià)，一般在學(xué)習(xí)量子力學(xué)、材料力學(xué)等專業(yè)課的時(shí)候，調(diào)研學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方法各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在相關(guān)課程中的靈活應(yīng)用情況，從而進(jìn)一步反饋教學(xué)效果，反映學(xué)生對(duì)學(xué)科交叉知識(shí)的靈活運(yùn)用；③考察學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。這個(gè)一般在大學(xué)生畢業(yè)前做調(diào)研，重點(diǎn)從競(jìng)賽、畢業(yè)論文設(shè)計(jì)和職業(yè)發(fā)展等多個(gè)角度進(jìn)行評(píng)價(jià)反饋。比如全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽可以直觀地反饋問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)結(jié)合數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的方法在數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)中的作用。畢業(yè)論文設(shè)計(jì)更能夠客觀地反映數(shù)學(xué)物理方法在畢業(yè)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用程度，反映學(xué)生對(duì)該課程的掌握及其靈活應(yīng)用解決問題的能力。

我們的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)教師主導(dǎo)、學(xué)生被動(dòng)參與的教學(xué)模式相比，基于問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)并結(jié)合數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)思想和案例庫的方法能使學(xué)生深刻地感受數(shù)學(xué)物理方法知識(shí)在實(shí)際學(xué)習(xí)和生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)開展一定的數(shù)值模擬計(jì)算，將結(jié)果可視化，更直觀地呈現(xiàn)出來，提高了教學(xué)效果，不僅使學(xué)生的數(shù)學(xué)物理方法學(xué)的比較扎實(shí)，而且在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中也取得了良好成績(jī)，一舉多得，事半功倍。

4 結(jié)束語

本文以三大類方程中的輸運(yùn)方程教學(xué)為例，介紹了在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)把生活中的一些實(shí)際問題與知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思維，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容具體化，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)。這樣可以使學(xué)生切實(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)物理方法的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)物理方法的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，并提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。通過實(shí)踐教學(xué)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以顯著提升教學(xué)效果，達(dá)到事半功倍的良好效果。