截口橢圓離心率問題的探究

摘 要：“圓錐曲線與方程”是在圓與立體幾何之后學(xué)習(xí)，教材中簡明扼要地介紹了圓錐曲線的由來.圓錐曲線的離心率問題一直是高考中的熱點(diǎn)，而求橢圓的離心率又是最?？嫉膬?nèi)容，本文就一道求平面截圓錐形成的橢圓的離心率進(jìn)行探究，以期找到求圓錐曲線離心率的一般規(guī)律.

關(guān)鍵詞：橢圓;離心率;圓錐截面

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0068-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：康琳（1979.10-），女，四川省南充人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

題目 設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，用一個(gè)與圓錐底面成30°夾角的平面去截圓錐，所得截口曲線是橢圓，則該橢圓的離心率為.

思路1 確定橢圓上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

如圖1，不妨令正△ABC邊長43，重心G，橢圓中心N，中線BD，底面圓心M.PG與長軸垂直. BG=4，GD=2，則NG=1.PG為過G與底面平行的圓的半徑.如圖2在△AMC，作GE∥MC，由相似易得GE=433，所以PG=433.如圖3，即P（1，433），代入方程x2a2+y2b2=1，又2a=6，解得b2=6，e=33.

思路2 橢圓短軸所在的圓截面上利用勾股定理計(jì)算短半軸長

如圖4，不妨令正△ABC邊長43，重心G，底面圓心M.橢圓中心N，過N作底面的平行平面，得⊙O.橢圓N與⊙O交線PQ即為短軸長2b.如圖5，在圓錐的軸截面正△ABC中，易得NG=1.Rt△NGO中，GO=12，作OF∥MC，由相似易得OF=PO=332.如圖6，在⊙O的Rt△PON中，由勾股定理易得PN=b=6，e=33.

思路3 構(gòu)造三角形，利用相似計(jì)算短半軸長如圖7，不妨令正△ABC邊長43，橢圓中心N，底面圓心M，NE為橢圓的短半軸，連接AN并延長交BC于點(diǎn)P，連接AE并延長交底面于點(diǎn)F.如圖8，在圓錐的軸截面正△ABC中，NO⊥AM，由△APM～△ANO，

AN∶AP=AO∶AM=3∶4，PM=233.由底面半徑23易得PF=463，故NE=b=6，e=33.

思路4 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算短半軸長.?

如圖9，不妨令正△ABC邊長43，重心G，底面圓心M.橢圓中心N，過N作底面的平行平面，得⊙O.橢圓N與⊙O交線PQ即為短軸長2b.同思路2得AO=332，NO=32.在Rt△AON中，由勾股定理易得AN=21，在Rt△AOP中，⊙O的半徑OP=332，由勾股定理易得AP=1082.又因?yàn)镽t△APQ是等腰三角形，所以在Rt△ANP中， PN=b=6，e=33.

思路5 利用Dandelin球與截面、側(cè)面相切，切點(diǎn)為焦點(diǎn)

如圖10，圓錐上部球O1與橢圓截面、圓錐側(cè)面相切，如圖11，軸截面△ABD的內(nèi)切圓O1，與三邊的切點(diǎn)分別為M，N，F(xiàn)，其中F是橢圓的右焦點(diǎn). 不妨令正△ABC邊長43，則AB=43，AD=23，BD=BF+DF=6=2a，又BF-DF=BN-DM=AB-AD=23=2c，所以e=33.

點(diǎn)評(píng) 以上五種思路都充分利用了特殊的幾何關(guān)系，特別是條件里的正三角形使計(jì)算比較容易，如果將題目中軸截面改為等腰三角形（非正三角形），夾角非特殊角度時(shí)，幾何關(guān)系的不明確將增加運(yùn)算難度，甚至運(yùn)算難以進(jìn)行，于是產(chǎn)生了對(duì)這道題的進(jìn)一步探究.

結(jié)論 平面截圓錐所得截口曲線——橢圓的離心率e=cosαcosβ，其中截面與底面夾角的余角為α，圓錐母線與軸夾角為β，如圖12.

證明 如圖13，A1A2為橢圓的長軸，圓錐上部球O1與橢圓截面、圓錐側(cè)面相切，軸截面的內(nèi)切圓O1，半徑為r，與A1A2切點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F.設(shè)∠O1A1F=θ，∠O1A2F=φ，易得θ=α-β2①，φ=π-（α+β）2②.A1F=a+c=rtanθ ③，A2F=a-c=rtanφ④.由③÷④得，a+ca-c=tanφtanθ=1+e1-e，解得e=tanφ-tanθtanφ+tanθ=sin（φ-θ）sin（φ+θ），

聯(lián)立方程①②，解得φ+θ=π2-β，φ-θ=π2-α，所以e=sin（π2-α）sin（π2-β）=cosαcosβ.

思路6 e=cosαcosβ=cosπ3cosπ6=33.

點(diǎn)評(píng)用此公式求截口曲線——橢圓的離心率不僅快捷，而且更具有普適性.

推廣 平面截圓錐形成的三種截口圓錐曲線均可以利用公式e=cosαcosβ求離心率.

若α>β，cosα<cosβ，e=cosαcosβ∈（0，1），則截口曲線為橢圓.

若α<β，cosα>cosβ，e=cosαcosβ∈（1，+∞），則截口曲線為雙曲線.

若α=β，cosα=cosβ，e=cosαcosβ=1，則截口曲線為拋物線.

小結(jié) 本文的題目以“截面橢圓”為載體，既考查了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，也考查了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，在這個(gè)過程中，還需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力;就這個(gè)題目而言，以上多種思路需要用到數(shù)形結(jié)合的思想，化歸及轉(zhuǎn)化的思想.同時(shí)也揭示了平面解析幾何的本質(zhì)思想—幾何問題代數(shù)化.這強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的交叉，滲透和綜合，因此，這個(gè)題目的綜合性較強(qiáng)，是立體幾何與平面解析幾何綜合考查的典范，極具探究意義.

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[責(zé)任編輯：李 璟]