米勒問題的數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用

摘 要：21世紀(jì)的中國迎來了教育大變革的時(shí)代，新的課程改革強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，新課標(biāo)要求數(shù)學(xué)建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程已成必然.本文以數(shù)學(xué)史上的一道數(shù)學(xué)名題-米勒問題為問題藍(lán)本，探索了數(shù)學(xué)建模的一般過程及其米勒問題的數(shù)學(xué)模型在中學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;米勒問題

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0014-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張俊暢（1976.8-），男，廣東省梅州人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求數(shù)學(xué)建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程已成必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)施策略，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)營造更為寬廣的空間.筆者通過數(shù)學(xué)史上的一道名題-米勒問題的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用作些研究.

一、關(guān)于米勒問題

1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在地球上什么部位，視角最大？最大視角問題，是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問題中第一個(gè)極值問題，因而引人注目.因?yàn)榈聡鴶?shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”.

二、米勒問題的數(shù)學(xué)問題形式

米勒問題可以轉(zhuǎn)化為這樣的幾何模型：如圖1，線段AB垂直于直線EF，垂足為點(diǎn)O，在直線EF上任選一點(diǎn)C，使得∠ACB的值最大，求此時(shí)點(diǎn)C的位置.

三、米勒問題的數(shù)學(xué)模型及其求解

1.米勒問題的代數(shù)解法

解 不妨設(shè)AB長度為a，OB長度為b，∠ACB=θ，OC距離為x，因?yàn)锳B⊥EF，所以△AOC和△BOC都是直角三角形.所以tanθ=tan∠ACO-tan∠BCO1+tan∠ACO·tan∠BCO

=a+bx-bx1+a+bx·bx=axx2+a+b·b

=ax+a+b·bx≤a2a+bb.

當(dāng)x=a+b·bx，即x=a+b·b時(shí)，取等號(hào).

2.米勒問題的幾何解法（Ad.Lorsch解法）

在水平直線上選擇點(diǎn)C，使得△ABC外接圓與水平直線剛好相切于點(diǎn)C，則切點(diǎn)就是視角最大的點(diǎn).

理由如下：如圖2，在OF上任取一異于點(diǎn)C的點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，設(shè)BC′與圓的交點(diǎn)為D，因?yàn)椤螦DB=∠ACB（同弧所對(duì)的圓周角相等），又∠ADB是△ADC′的外角，所以∠ADB>∠AC′B，所以∠ACB>∠AC′B，因此切點(diǎn)C就是∠ACB取得最大值時(shí)的點(diǎn).由切割線定理可知：OC2=OB·OA，所以x2=a+b·b，即x=a+b·b.

3.米勒問題的推廣

如圖3，已知點(diǎn)A，B是銳角∠MON的邊OA上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)C在何處時(shí)，∠ACB最大？利用Ad.Lorsch的幾何解法，我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大（這里證明省略）.

4.結(jié)論提煉

通過上面的數(shù)學(xué)建模的論證，我們可以得出如下重要結(jié)論（我們這里稱為米勒定理）：

米勒定理 已知點(diǎn)A，B是銳角∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，

點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大.

四、米勒問題的應(yīng)用

例1 要測(cè)量電視塔AE的高度H（單位：m），如圖4，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠

ABE=α，∠ADE=β，若該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d，使α，β之差較大，可以提高測(cè)量精度.若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，α-β最大？

解 設(shè)BD=x，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)AE2=AB·AD，即dx+d=1252①時(shí)，∠DEB=α-β最大.又由△DBC～△DAE得xx+d=4125②.①×②得xd=125×4.將其代入①得d2=1252-125×4=125×121，所以d=555m，故當(dāng)d為555m時(shí)，α-β最大.

點(diǎn)評(píng) 本題是以實(shí)際應(yīng)用和平面幾何為背景考查最大角問題，此解法以米勒定理和相似三角形等知識(shí)為突破口，結(jié)合方程思想求解，綜合性強(qiáng)，能力立意高，有一定難度.

例2 已知橢圓x216+y24=1的左右焦點(diǎn)是E，F(xiàn)，點(diǎn)P在直線x-3y+8+23=0上，當(dāng)∠EPF最大時(shí)，求PE∶PF.

解 如圖5，設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)M-8-23，0，

易求得E-23，0，F(xiàn)23，0，則ME=8，MF=8+43.

由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)MP=ME·MF=8×8+43=43+1時(shí)，∠EPF最大，

此時(shí)△PEF的外接圓與直線相切于點(diǎn)P.由弦切角定理得∠MPE=∠MFP，又∠PME=∠PMF，

所以△MPE∽△MFP，所以PEPF=MPMF=43+143+8=3-1.

點(diǎn)評(píng) 本解法不僅用到米勒定理的結(jié)論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段比，運(yùn)算量小解法簡單快捷.

最大視角問題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查.若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[責(zé)任編輯：李 璟]