高考考查球的常見方式與對策

摘 要：球是一種基本且重要的幾何體，與球有關(guān)的問題一直是高考考查的熱點(diǎn).加強(qiáng)對球問題考查特點(diǎn)的研究，提高教學(xué)的針對性和有效性，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中值得關(guān)注的一個(gè)課題.本文試圖以高考的視角，探究考查球的常見方式與應(yīng)對策略.不足之處，請批評指正.

關(guān)鍵詞：高考;球;考查方式;對策;截面;相接;相切

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0049-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：廖永福（1962.8-），男，福建省仙游人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考考查球的常見方式有三種：以“截面”為載體進(jìn)行考查、以“相接”為載體進(jìn)行考查和以“相切”為載體進(jìn)行考查.題型多為選擇題或填空題，難度基礎(chǔ)或中等.主要考查球的概念、球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計(jì)算、球的切接問題等.以近幾年高考試題為例闡述如下.

一、以“截面”為載體進(jìn)行考查

用一個(gè)平面去截球面，當(dāng)平面過球心時(shí)，截面是球的大圓;當(dāng)平面不過球心時(shí)，截面是球的小圓.解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住球的截面的性質(zhì)：（1）球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面;（2）球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2.

例1 （2013年新課標(biāo)Ⅰ文）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為.

分析 由截面圓的面積可求出截面圓的半徑，再根據(jù)球的截面性質(zhì)，列出關(guān)于球半徑的方程，求出球的半徑，即可求出球的表面積.

解答 設(shè)球的半徑為R，∵AH∶HB=1∶2，∴球心O到平面α的距離d=13R.

∵α截球O所得截面的面積為π，∴截面圓的半徑r=1.

由R2=r2+d2得R2=12+（13R）2，∴R2=98.

∴球的表面積S=4πR2=9π2.

故答案為9π2.

點(diǎn)評 本題考查球的截面性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

例2 （2013年大綱版）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK=32，且圓O與圓K所在的平面所成角為60°，則球O的表面積等于.

分析 正確作出圖形，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得OK⊥⊙K所在的平面，在Rt△OCK中求出OC，再在等邊△OAB中求出球的半徑OA，問題得解.

解答 如圖2，設(shè)C是兩圓公共弦AB的中點(diǎn)，則AB⊥OC，AB⊥CK，從而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角，∠OCK=60°.

圖2

在△OCK中，∵∠OKC=90°，OK=32，∴OC=3.

在△OAB中，∵AB=OA=OB，∴OA=OCsin60°=2.

∴球O的表面積等于S=4π·OA2=16π.故答案為16π.

點(diǎn)評 本題考查二面角、球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，正確作出圖形，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

二、以“相接”為載體進(jìn)行考查

若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.類似地，若一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)和底面圓周上各點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是這個(gè)球的內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體，這個(gè)球是這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的外接球.這類問題統(tǒng)稱為相接問題，球面與幾何體的公共點(diǎn)就是接點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相接的特點(diǎn)，即球心到接點(diǎn)的距離等于球的半徑.

1.球與柱體

例3 （2017年新課標(biāo)Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（? ）.

A.π? B.3π4? C.π2? D.π4分析 由于圓柱內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)知，連結(jié)圓柱上下底面圓心的線段O1O2的中點(diǎn)即為球心O，如圖，在Rt△OO2A中，求出圓柱底面半徑O2A，就能求出圓柱的體積.圖3

解答 如圖3，∵圓柱O1O2內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點(diǎn)，且O1O2⊥⊙O2所在的平面，∴O1O2⊥O2A.

在Rt△OO2A中，O2A=OA2-OO22=12-（12）2=32.

∴圓柱的體積V=Sh=π×（32）2×1=3π4.故選B.

點(diǎn)評 本題考查球與圓柱相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)和圓柱的體積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

例4 （2009年全國卷Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于.

分析 由于直三棱柱內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)知，連結(jié)直三棱柱上下底面外接圓圓心的線段O1O2的中點(diǎn)即為球心O，如圖，在Rt△OO2A圖4中，OA=OO22+O2A2，求出O2A，就能求出OA，進(jìn)而求出球的表面積.

解答 如圖4，設(shè)O1、O2為直三棱柱上下底面外接圓的圓心.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點(diǎn)，且O1O2⊥平面ABC，∴O1O2⊥O2A.

在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理可得BC=23，再由正弦定理可得O2A=2.

在Rt△OO2A中，OA=OO22+O2A2=12+22=5.

故此球的表面積為4πOA2=20π，故答案為：20π.

點(diǎn)評 本題考查球與棱柱相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.球與錐體

例5 （2011年新課標(biāo)）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的316，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.

分析 由于圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)，線段AB是球O的直徑. 由圓錐底面面積是球面面積的316，可得O1COC=32， O1OOC=12，從而可求得O1AO1B=13.

圖5

解答 如圖5，依題意得πO1C24πOC2=316，∴O1COC=32.

∵圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球，

∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面，∴AB⊥O1C.

在Rt△OO1C中，O1OOC=1-（O1COC）2=12，∴OC=2O1O.

從而O1AO1B=OA-O1OO1O+OB=2O1O-O1OO1O+2O1O=13.

點(diǎn)評 本題考查球和圓錐相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)以及圓錐高的計(jì)算等，確定球心的位置，得出OC=2O1O是解題的關(guān)鍵.

例6 （2014年大綱版）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（? ）.

A.81π4? B.16π? C.9π? D.27π4

分析 由于正四棱錐內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)，球心O必在正四棱錐的高PO1所在的直線上 且OA=OP.如圖，在Rt△OO1A中，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

解答 設(shè)球O的半徑為R，PO1⊥平面ABCD.圖6

∵正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O，∴O∈PO1，OA=OP.

在Rt△OO1A中，OA2=OO21+O1A2.

∵PO1=4，AB=2，∴R2=（4-R）2+（2）2，∴R=94.

∴球的表面積為4π·（94）2=81π4.故選A.

點(diǎn)評 本題考查球和棱錐相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)以及球的表面積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

三、以“相切”為載體進(jìn)行考查

若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.類似地，若一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的底面和各母線都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是這個(gè)球的外切旋轉(zhuǎn)體，這個(gè)球是這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球.這類問題統(tǒng)稱為相切問題，球面與幾何體的公共點(diǎn)就是切點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相切的特點(diǎn)，即球心到切面（或切線）的距離等于球的半徑.

例7 （2016年新課標(biāo)Ⅲ）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（? ）.

A.4π? B.9π2? C.6π? D.32π3

分析 易知直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球必與三個(gè)側(cè)面都相切或與上、下底面都相切，根據(jù)相切的特點(diǎn)，可求出體積最大的球的半徑為32，進(jìn)而求出球的體積.

解答 ∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10.

故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r=6+8-102=2.

又由AA1=3，故直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球的半徑為32.

此時(shí)V的最大值為43π·（32）3=9π2，故選B.

點(diǎn)評 本題考查球與棱柱相切的特點(diǎn)和球的體積的計(jì)算等，根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答的關(guān)鍵.

圖7

例8 （2006年江西）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2，則必有（? ）.

A.S1<S2? B.S1>S2

C.S1=S2D.S1，S2 的大小關(guān)系不能確定

分析 由于球內(nèi)切于四面體，所以球心到四面體各面的距離都等于球的半徑.利用割補(bǔ)法可以把四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC體積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為表面積之間的關(guān)系，問題得解.

解答 連結(jié)OA，OB，OC，OD，OE，OF，則

VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD，

VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.

∵VA-BEFD=VA-EFC，∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC

又∵每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，

∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC，∴S1=S2.故選C.

點(diǎn)評 本題考查球與多面體相切的特點(diǎn)以及多面體表面積的計(jì)算等，抓住相切的特點(diǎn)，找出表面積和體積之間的共有特征是解題的關(guān)鍵.

綜上可見，理解球的概念，掌握球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計(jì)算公式以及球的切接問題的特點(diǎn)是解題的基礎(chǔ);正確畫出圖形，選擇恰當(dāng)?shù)钠矫?，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵;如能掌握化歸思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法就等于拿到了開啟數(shù)學(xué)解題大門的金鑰匙.

參考文獻(xiàn)：

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[2]李昭平.高考“球問題”考點(diǎn)透視[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（5）：42-45.

[3]任文海.新課標(biāo)高考對球及其組合體的考查趨勢[J].高中數(shù)理化，2017（7）：10-11.

[責(zé)任編輯：李 璟]