晾衣架模型的解題策略

摘 要：在兩個(gè)豎直的柱子之間掛一根繩子，用光滑的衣架鉤掛在繩子上，再把需要晾曬的衣服掛在衣架構(gòu)上，然后就可以在衣架上晾曬衣服了，這種模型我們稱為“晾衣架模型”. 這種模型的結(jié)論是：繩子的拉力大小與兩懸掛點(diǎn)的水平距離有關(guān).兩懸掛點(diǎn)的水平距離不變，繩子的拉力就不變;兩懸掛點(diǎn)的水平距離變大，繩子的拉力就變大;兩懸掛點(diǎn)的水平距離變小，繩子的拉力就變小.

關(guān)鍵詞：晾衣架模型;同一根繩子;活結(jié);兩懸掛點(diǎn)水平距離;共點(diǎn)力平衡狀態(tài)

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0087-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張巖松（1963.6-），男，山東省泰安市岱岳區(qū)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

在兩個(gè)豎直的柱子之間掛一根繩子，用光滑的衣架鉤掛在繩子上，再把需要晾曬的衣服掛在衣架構(gòu)上，然后就可以在衣架上晾曬衣服了，這種模型我們稱為“晾衣架模型”.如圖1所示.

結(jié)論推導(dǎo)：

因?yàn)橐录茔^光滑，而且衣架鉤兩側(cè)是同一根繩子，所以兩側(cè)繩子拉力大小相等，這種連接方式我們稱為“活結(jié)”.兩側(cè)繩子的拉力關(guān)于豎直方向?qū)ΨQ，設(shè)兩邊的繩子與豎直方向的夾角均為α.并設(shè)兩個(gè)懸掛點(diǎn)的水平距離為S（即兩根豎直木樁的水平距離是S），繩子的總長度為L，左側(cè)繩長為L1，右側(cè)繩長為L2.如圖2所示：圖2

則由幾何知識(shí)，得：S=L1sinα+L2sinα=（L1+L2）sinα=Lsinα，∴sinα=SL.

設(shè)繩子的拉力大小為T，重物的重力為G，以衣架鉤為研究對象，因?yàn)槲矬w處于靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件，合外力為零，所以：

2Tcosα=G，∴T=G2cosα.

因此可以得出以下兩個(gè)結(jié)論：

①sinα=SL? ;②T=G2cosα.

即在繩子的長度一定的情況下，兩懸掛點(diǎn)的水平距離不變，繩子的拉力不變;兩懸掛點(diǎn)的水平距離變大，繩子的拉力就變大;兩懸掛點(diǎn)的水平距離變小，繩子的拉力就變小.

例題 （2017年天津高考第8題）如圖3所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說法正確的是（?? ）.

A. 繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B. 將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C. 繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D. 若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣服架懸掛點(diǎn)右移.

解析 本題屬于“活結(jié)”連接，而且“衣架靜止”，處于平衡狀態(tài).所以上面兩個(gè)結(jié)論成立.

解答：對于A、C：設(shè)繩子的張力為T，兩邊的繩子與豎直方向的夾角均為α.并設(shè)兩個(gè)懸掛點(diǎn)的水平距離為S（即兩根豎直木樁的水平距離是S），繩子的總長度為L.根據(jù)上面推導(dǎo)出來的結(jié)論：sinα=SL;T=G2cosα.可知：A正確，C錯(cuò)誤.

對于B：將桿N向右移一些，則S增大，L不變，∴α增大，cosα減小，T增大，故B正確.

對于D：繩長和兩桿距離不變的情況下，θ不變，所以掛的衣服質(zhì)量變化，不會(huì)影響懸掛點(diǎn)的移動(dòng)，D錯(cuò)誤.

綜上所述，應(yīng)選AB.

變式：若將衣架鉤換成滑輪.

將衣架鉤換成滑輪時(shí)，仍然是同一根繩子，這種連接方式仍然是“活結(jié)”，繩子的張力大小仍然處處相等，因此仍然滿足上面的兩個(gè)結(jié)論： ①sinα=SL? ;②T=G2cosα.

練1 如圖4所示，A和B是兩根豎直立在地上的木樁，輕繩系在兩木樁上不等高的P和Q兩點(diǎn)，C為光滑的、質(zhì)量不計(jì)的滑輪，下面懸掛著重物G，現(xiàn)保持結(jié)點(diǎn)P的位置不變，當(dāng)Q點(diǎn)的位置變化時(shí)，輕繩的張力大小變化情況是（?? ）.

A.Q點(diǎn)上下移動(dòng)時(shí)，張力不變

B.Q點(diǎn)向上移動(dòng)時(shí)，張力變大

C.Q點(diǎn)向下移動(dòng)時(shí)，張力變小

D.條件不足，無法判斷

解析 因?yàn)槭峭ㄟ^“活結(jié)”連接，且處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，所以上面的兩個(gè)結(jié)論成立.

解答：又因?yàn)閮蓱覓禳c(diǎn)水平距離不變，

繩子的拉力不變，故：應(yīng)選A.練2 如圖5所示，為建筑工地一個(gè)小型起重機(jī)的起吊重物的示意圖.一根輕繩跨過光滑的動(dòng)滑輪，輕繩的一端系在位圖5

置A處，動(dòng)滑輪的下端掛上重物，輕繩的另一端掛在起重機(jī)的吊鉤C處.起吊重物前，重物處于靜止?fàn)顟B(tài).起吊重物過程是這樣的：先讓吊鉤從位置C豎直向上緩慢的移動(dòng)到位置B，然后再讓吊鉤從位置B水平向右緩慢地移動(dòng)到D，最后把重物卸載某一個(gè)位置.則關(guān)于輕繩上的拉力大小變化情況，下列說法正確的是（? ）.

A.吊鉤從C向B移動(dòng)的過程中，輕繩上的拉力不變

B.吊鉤從B向D移動(dòng)過程中，輕繩上的拉力變小

C.吊鉤從C向B移動(dòng)過程中，輕繩上的拉力變大

D.吊鉤從B向D移動(dòng)過程中，輕繩上的拉力不變

解析 本題屬于“活結(jié)”連接，而且“緩慢地移動(dòng)”，滑輪始終處于平衡狀態(tài)，所以上面兩個(gè)結(jié)論成立.

解答 如圖6所示，由C到B的過程，因?yàn)樗骄嚯x不變，根據(jù)結(jié)論①sinα=SL 可知，繩子與豎直方向的夾角不變，再根據(jù)結(jié)論②T=G2cosα，可知輕繩上的拉力不變.因此A對，C錯(cuò).

由B到D的過程，水平距離變大，根據(jù)結(jié)論①sinα=SL 可知，繩子與豎直方向的夾角α變大，再根據(jù)結(jié)論②T=G2cosα 可知輕繩上的拉力變大.因此B、D都是錯(cuò)的.

綜上所述，應(yīng)選AC.

圖1練3 在上海世博會(huì)最佳實(shí)踐區(qū)，江蘇城市案例館中穹形門窗充滿了濃郁的地域風(fēng)情和人文特色，如圖7所示，在豎直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛一重物G，現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點(diǎn)，另一端從B點(diǎn)沿支架緩慢地向C點(diǎn)靠近（C點(diǎn)與A點(diǎn)等高）.則繩中拉力大小變化的情況是（? ）.

A.先變小后變大? B.先變小后不變

C.先變大后不變D.先變大后變小

解析 本題屬于“活結(jié)”連接，而且是“緩慢”移動(dòng)，滑輪始終處于平衡狀態(tài)，因此上面兩個(gè)結(jié)論成立.

解答 當(dāng)輕繩的右端從B點(diǎn)移到直桿最上端時(shí)，因?yàn)槔K子的兩懸掛點(diǎn)之間的水平距離S增大，根據(jù)結(jié)論①sinα=SL 可知，α增大，再根據(jù)結(jié)論②T=G2cosα 可知，繩子的拉力T 變大.當(dāng)輕繩的右端從直桿最上端移到C點(diǎn)時(shí)，繩子的兩懸掛點(diǎn)之間的水平距離不變，根據(jù)結(jié)論①sinα=SL 可知，α不變，再根據(jù)結(jié)論②T=G2cosα可知，繩子的拉力T不變.所以繩中拉力大小變化的情況是先變大后不變.

故應(yīng)選C.

由上面的例題和練習(xí)題可以得出兩個(gè)結(jié)論：

①sinα=SL;

②T=G2cosα.

要特別注意，這兩個(gè)結(jié)論是在兩個(gè)前提條件下推導(dǎo)出來的，第一個(gè)條件必須是“活結(jié)”，即必須保證是同一根繩子.如果有東西固定在繩子上，比如夾子夾住繩子，再比如在繩子打了個(gè)結(jié)，或者是兩根繩子系在衣架上，那么就不再是同一根繩子了，這種連接方式我們稱為“死結(jié)”.對于“死結(jié)”這種連接方式，兩邊的張力不一定相等，那么兩邊繩子與豎直方向的夾角也不一定相等了，這兩個(gè)結(jié)論就不一定成立了.第二個(gè)條件是所掛物體必須處于平衡狀態(tài)，即處于靜止?fàn)顟B(tài)，或者處于緩慢移動(dòng)狀態(tài)，否則合外力就不為零了，兩個(gè)結(jié)論也不成立了.因此，在使用這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，一定要看清楚兩個(gè)條件是否滿足.

上面這四道題，看上去形式上是不同的，但是解題思路是相同的，是具有相同特點(diǎn)的物理模型——“晾衣架模型”，這就是建模的過程.在物理解題過程中，為了形象、簡捷的處理物理問題，人們經(jīng)常把復(fù)雜的實(shí)際情況轉(zhuǎn)化成一定的容易接受的簡單的物理情境，從而形成一定的經(jīng)驗(yàn)性的規(guī)律，即建立物理模型，簡稱建模.我們要善于建模，這樣做往往能夠起到舉一反三的作用，達(dá)到事半功倍的效果.建模是一種能力，需要長期的積累，經(jīng)過抽絲剝繭，抓住問題的實(shí)質(zhì)，才能構(gòu)建出物理模型，總結(jié)出解題的一般規(guī)律和方法.當(dāng)再遇到類似的題目時(shí)，就可以把原來的思路遷移過來，順著原來的思路去求解，這樣做能夠節(jié)省時(shí)間，提高成功率.當(dāng)然，同一種模型，必然有相同的條件，要看清條件符合才能利用，千萬不能滿目的套用.像“晾衣架模型”，必須是同一根繩子，屬于“活結(jié)”連接，而不是“死結(jié)”連接.再者，所懸掛的物體必須處于平衡狀態(tài)，否則就不能用.

[責(zé)任編輯：李 璟]