圖象性質顯身手 指數(shù)函數(shù)妙應用

摘 要：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用是指數(shù)函數(shù)中的一個重要應用問題，可以用來比較兩個數(shù)的大小、解決含參數(shù)問題，以及指數(shù)不等式和指數(shù)函數(shù)的綜合應用問題等，巧妙借助指數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，可以有效應用，巧妙破解.

關鍵詞：圖象;指數(shù)函數(shù);數(shù)形結合;轉化化歸;分類討論;現(xiàn)實生活

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0027-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張霆熊（1982.7-），男，江蘇省常州人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學最基本的函數(shù)模型之一，也是最重要的函數(shù)模型，是中學基本初等函數(shù)中非常重要的一種，是高考必考內(nèi)容之一.特別指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，其綜合了指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值、定義域、值域、圖象以及性質等相關知識，應用比較兩個數(shù)的大小、解決含參數(shù)問題，以及指數(shù)不等式和指數(shù)函數(shù)的綜合應用問題等.特別對于其圖象與性質的應用是比較常見的題型.

一、數(shù)形結合巧應用

正確作出指數(shù)函數(shù)的圖象，并借助圖象與性質加以數(shù)形結合，可以用來解決很多與指數(shù)函數(shù)相關的數(shù)學問題.直觀形象，簡單快捷.

例1 設函數(shù)y=x3與y=（12）x-2的圖象的交點為（x0，y0），則x0所在的區(qū)間是（? ）.

A.（0，1）? B.（1，2）

C.（2，3）? D.（3，4）

分析 直接判斷x0所在的區(qū)間有圖1困難，而通過作出相關指數(shù)函數(shù)與函數(shù)y=x3的圖象，數(shù)形結合來確定兩函數(shù)圖象的交點，進而確定x0所在的區(qū)間.

解析 將y=（12）x的圖象向右平移2個單位，得y=（12）x-2的圖象.

如圖1所示.易見兩個圖象交點的橫坐標滿足1<x0<2，故選擇答案：B.

點評 對于涉及多個基本初等函數(shù)的交點問題，或是涉及指數(shù)函數(shù)的方程或不等式問題，經(jīng)?？梢院侠矸纸?，轉化為兩個相應的函數(shù)問題，數(shù)形結合，直觀明晰，化難為易，快捷處理.

二、化歸轉化巧應用

在破解一些比較復雜或不易直接切入的指數(shù)函數(shù)問題時，往往借助化歸與轉化思想，利用相關條件的化歸與轉化，進而把問題具體化，直觀化，方便結合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質來有效處理，合理化歸，巧妙轉化.

例2 已知關于x的不等式1+2x+（2a+1）4x>0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 通過對涉及指數(shù)函數(shù)的不等式恒成立問題加以化歸與轉化，引入?yún)?shù)，把相應的指數(shù)函數(shù)問題轉化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖象與性質來確定對應的參數(shù)取值范圍問題，達到等價轉化解決的目的.

解析 由于2a+1>-（14）x-（12）x=-（12）2x-（12）x，令t=（12）x.

∵x>0，∴0<t<1，∴-（12）2x-（12）x=-t2-t.

當0<t<1時，由二次函數(shù)的圖象知-2<-t2-t<0，∴2a+1≥0，解得a≥-12.

故所求實數(shù)a的取值范圍為{a| a≥-12}.

點評 化歸與轉化思想可以有效實現(xiàn)抽象問題具體化，復雜問題簡單化，同時實現(xiàn)不同問題之間的等價轉化與變形.而利用化歸與轉化思維，結合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質是解決指數(shù)函數(shù)問題的很好方法.

三、分類討論巧應用

在指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）中，如果涉及的題目中沒有對底數(shù)a的取值范圍加以確定，往往要根據(jù)題目條件分0<a<1和a>1兩種不同情況加以分類討論，進而解決相應問題.

例3 設f（x）=x2-ax<12在（-1，1）上恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

分析 結合恒成立的不等式的等價轉化，構建熟悉的基本初等函數(shù)，通過指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的構建，結合對應的函數(shù)圖象加以數(shù)形結合，在此基礎上分類討論，從而得到參數(shù)的取值范圍.

解析 由x2-ax<12Symbol12<ax，在同一坐標系中作出y=x2-12與y=ax圖象.

（1）當0<a<1時，在（-1，1）上y=ax圖象在y=x2-12的上方，即y=ax通過B（1，12）或在B的上方，∴a≥12，∴12≤a<1;

圖2

（2）當a>1時，在（-1，1）上y=ax圖象在y=x2-12的上方，即y=ax通過A（-1，12）或在A的上方，∴aSymbolm@@1≥12，即a≤2，∴1<a≤2.

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為{a|12≤a<1或1<a≤2}.

點評 帶有參數(shù)的函數(shù)問題，特別在利用函數(shù)圖象來分析參數(shù)值時，根據(jù)參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，經(jīng)常利用分類討論來分析與處理，特別對于指數(shù)函數(shù)問題，底數(shù)情形比較不同，不能進行統(tǒng)一研究時，則應分類進行研究.

四、現(xiàn)實生活巧應用

指數(shù)函數(shù)模型來源于現(xiàn)實，并用于解決實際問題.在實際生活中，經(jīng)常有一些對應的指數(shù)函數(shù)模型，可以有效借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質來分析與處理.

圖3

例4 如圖所示，已知某池塘中的浮萍蔓延速度所對應的面積y（m2）與時間t（月）滿足函數(shù)關系式：y=at，給出以下五個敘述：

①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a=2;

②第5個月時，浮萍面積不低于28m2;

③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過2個月;

④浮萍每月增加的面積都相等;

⑤若浮萍蔓延的面積為2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則有t1+t2=t3.

其中敘述正確的所有編號為：.

分析 根據(jù)題目條件，關鍵在于通過特殊點求出對應的指數(shù)函數(shù)的解析式，從而再根據(jù)相應的指數(shù)函數(shù)判斷對應的性質等.

解析 取圖象上的點（1，2）代入y=at可得a=2，則①是正確的;

對于指數(shù)函數(shù)y=2t，當t=5時對應y=25=32>30，則②是正確的;

當y=4時對應t=2，當y=12時對應2t=12，此時對應的t<4，則從

4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過不到2個月，則③是錯誤的;

對于指數(shù)函數(shù)y=2t，每月增加的面積都不相等，則④是錯誤的;

對于指數(shù)函數(shù)y=2t，若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則有2t1=2，2t2=3，2t3=6，那么有2t1×2t2=2t1+t2=6=2t3，則t1+t2=t3成立，故⑤是正確的.

綜上分析，其中敘述正確的是：①、②、⑤.

點評 對于科學生活中的指數(shù)函數(shù)問題，關鍵是把實際應用中的問題轉化為指數(shù)函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、性質等加以分析處理，從而得出科學合理的判斷與推理.以現(xiàn)實生活為背景材料的新穎的應用題已成為高考命題的熱點應用之一.

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[2]陳雪平.變活數(shù)學例題教學實現(xiàn)課堂有效教學[J].學子（理論版），2015（06）：24-25..

[責任編輯：李 璟]