極限思想與微積分

極限思想與微積分之間的聯(lián)系緊密.在微積分的創(chuàng)立和發(fā)展過程中，牛頓、萊布尼茲等數學家以無窮思想為重要依據， 成功地利用無窮小方法、無限過程之間的聯(lián)系進行推理、運算，獲得了一系列的研究成果.這為極限思想的發(fā)展和完善奠定了堅實的基礎.通過數學家們的努力，極限理論逐步得到了完善.

一、極限思想的應用

人們很早就應用了極限的思想.例如歐多克索斯的窮竭法，阿基米得的圓、球、拋物線圖形求積法.此外，我國古代數學家對此也做過很多的工作，如劉徽的割圓術、祖恒之的截面原理等.

17 世紀上半葉，德國天文學家、數學家開普勒在（ Kepler，1571-1630）1615 年發(fā)表的《酒桶的立體幾何》中，論述了其利用無限小元求旋轉體體積的積分法.他的無限小元法是用無數個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積和旋轉體的體積.他認為球的體積是無數個頂點在球心、底面在球上的小圓錐的體積的和，從而得出球的體積是球的面積與球的半徑乘積的1/3.他將圓周看成是有無限多個邊的正多邊形，于是圓就被視為以這些多邊形的邊為底、頂點在圓心的三角形之和，從而得出圓的面積等于圓周長與圓半徑乘積的1/2.與此同時，他還用無窮小方法算出了圓環(huán)體、圓柱等的體積.雖然這些計算都是不嚴謹的，但是他得出的結果卻是正確的.這些簡單易行的方法，同我們現在采用的“微元法”有著相似之處.開普勒是第一個在求積中運用無窮小方法的數學家， 這是他對積分學的最大貢獻.

1629年，法國數學家費馬首次獲得了求函數極值的法則，用類似方法他還求出了平面曲線的切線，拋物線體積的重心和拐點;用極限求出了拋物線的面積等.

意大利數學家、伽利略的學生、波倫那大學教授卡瓦列（ Cavalieri， 1598-1647） 在開普勒和伽利略的影響下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推進的連續(xù)的不可分量的幾何學》中系統(tǒng)地發(fā)展了不可分量法.他認為點運動形成線， 線運動形成面， 體積則是由無窮多個平行平面組成的， 并分別把這些元素叫作線、面和體的不可分量.他建立了一條關于這些不可分量的一般原理（后稱卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出橢圓的面積為πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以幾何形式表示的無窮小量，這種用不可分量法求和的思想為后來定積分概念的形成奠定了基礎.但由于他的不可分量法回避了求極限的過程， 因而在論證上缺乏嚴密性.

英國的數學家巴羅（Barrow，1630-1677）是牛頓的老師，也是英國皇家學會的首批會員.他在1669年出版的著作《幾何講義》中，利用所謂微分三角形或者特征三角形求出了曲線的斜率.他的方法的實質是把切線看作割線的極限位置， 并利用忽略高階無限小的項來求極限.

這些先驅者在研究極限的過程中為微積分的創(chuàng)立積累了大量的資料， 而這些資料無一不是以極限的思想為基石一步一步堆積起來的.

二、微積分的創(chuàng)立

1.牛頓的工作

牛頓（Newton， 1642 -1727）發(fā)現微積分首先得益于其老師巴羅，巴羅關于“微分三角形”的思想給他帶來的影響極大，另外費馬（Fermat， 1601-1665）的切線方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《無窮算術》也給了他很大的啟發(fā).

牛頓是總結和發(fā)展了前人的思想， 得出關于微積分的理論. 1666年，牛頓寫出第一篇關于微積分的論文《流數短論》，在該文中首先提出了流數概念.1671年，牛頓完成了《流數法與無窮級數》（1736年出版），牛頓進一步對自己的思想作了更廣泛更明確的說明，系統(tǒng)的引進了他所獨創(chuàng)的概念和記法.他將變量稱作“流”，將變量的變化率稱作“流數”.

1676年，牛頓完成了另一部著作《求曲邊形的面積》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”兩個新概念，并且明確的給出了將導數作為增量比的極限思想.

1711年，牛頓發(fā)表了《運用無窮多項方程的分析學》.在這本書中， 他運用了無限小的方法和二項式定理， 擴大了微積分的應用范圍.采用了面積的無限小矩形，找到了曲邊梯形求積的一般方法.牛頓不僅給出了求一個變量對另一個變量的瞬時變化率的普遍方法， 而且證明了面積可以用無窮小面積的和來表示，進而證明了這樣的和能通過由求變化率的逆過程得到.牛頓將和的極限用于微分中得到我們今天所說的微積分基本定理.

牛頓始終不渝地努力改進、完善自己的微積分學說，經過20年左右的時間，他的微積分從以無窮小為基礎，轉變?yōu)橐詷O限為基礎.但由于時代或認識的局限性，牛頓始終沒能給出無窮小和極限的嚴格定義，但瑕不掩瑜，他將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有機地統(tǒng)一起來.正是因為這，我們說牛頓創(chuàng)立了微積分.

2.萊布尼茨的工作

德國自然科學家、數學家、哲學家萊布尼茨（Leibniz， 1646 -1716） 從研究幾何問題入手完成了微積分的基本計算理論，引進了常量、變量和參考變量的概念.他把微積分稱為“無窮小算法”.他建立的微積分也是以無窮小為基礎的.創(chuàng)建了微積分的符號及積分符號，并提出了函數的和、差、積、商的微分法則和在積分量下對參變量求微分的方法以及旋轉體體積公式.

1684年，萊布尼茨在《博學文摘》上發(fā)表了第一篇論文，文中提出了切線、極大值、極小值和拐點的方法.但他對微積分學基礎的解釋和牛頓一樣也是含混不清的， 由于缺少嚴密的定義，有時他把無窮小微分作為有限的確定的量， 有時又作為無窮小舍去.

然而，兩位數學家的貢獻也有所不同.牛頓較多的注重于創(chuàng)立微積分的體系和基本方法，從考慮變化率的角度出發(fā)解決面積和體積問題.而萊布尼茨更多地關心微積分運算公式的建立和推廣，從而建立了微積分法則和公式.

三、對極限和微積分的進一步研究

繼牛頓和萊布尼茨之后，17—18世紀初產生了不少極限與微積分成果.

捷克數學家波爾查諾（Bolzano，1781-1848）是為微積分提供更加嚴密的基本概念的先驅.他給連續(xù)函數所下的定義第一次清楚表明， 連續(xù)性觀念的基礎將在極限中找到.然而他的工作長期被忽略， 沒能引起數學家們的注意.

瑞士數學家、物理學家歐拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陸派的微積分內容，先后發(fā)表了《無窮小分析應論》《微分學》《積分學》等著作.在這些著作與一系列論文中，歐拉對微積分的發(fā)展作出了偉大的貢獻.（1）對函數概念進行了系統(tǒng)的探討，定義了多元函數和超越函數概念，區(qū)分了顯函數和隱函數，單值函數和多值函數;（2）給出了用累次積分計算有界區(qū)域的二重積分方法;（3）研究了數列極限的存在性，并把該極限記為e;對于發(fā)散級數，把實函數的許多結果都推廣到復數域，從而推動了復變函數的理論發(fā)展;（5）通過對函數極值問題的研究，解決了一般函數問題的極值問題，并成功的找到了極值函數必須滿足的微分方程——歐拉方程.

法國數學家、力學家和天文學家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）試圖徹底拋棄模糊不清的無窮小概念.在其名著《解析函數論》（1797年發(fā)表）中，他曾經嘗試把微分、無窮小和極限與概念，從微積分中排除，用代數方法證明了泰勒展開式.由于對無窮小級數的收斂問題仍無法回避極限，因而他的“純代數的微分學”嘗試并未成功.但他對函數的抽象處理卻可以說是實變函數的起點.此外，他還給出了泰勒級數的余項公式，運用極限思想研究了二元函數的極值，闡明了條件極值的理論，并研究了三重積分的變量代數式.

德國數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）認識到微積分的基礎必須建立在靜態(tài)的極限的定義上.他提出了極限的靜態(tài)的定義， 這個定義就是我們至今仍在使用的極限的ε-N 定義.這個定義借助不等式， 通過ε和 N 之間的關系， 定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系.該定義只用到了存在、任取等詞語， 已經擺脫了“趨近”一詞，排除了極限概念中運動的直觀痕跡， 給微積分提供了嚴謹的理論基礎， 也為極限思想在數學科學中贏得了合法的席位.

大部分的數學家在解決問題時都不同程度地使用了無窮小方法，進而采用了極限的思想和方法，但都沒有給出明確的定義，包括被譽為微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲，他們中有很多人在創(chuàng)立微積分的過程中也沒有給出無窮小和極限的數學定義.但這絲毫也無損于這些科學偉人的歷史功績，因為任何科學理論的創(chuàng)立，都不是某個數學家憑空臆想出來的，而是社會發(fā)展的需要.從認識論的角度看，人的認識規(guī)律是由具體到抽象，那么人類對極限理論的認識和發(fā)展也不應例外.極限思想作為人類思想寶庫中的一種重要思想，它的發(fā)展歷程與微積分、積分學的發(fā)展有著密不可分的關系，并且極限思想在微積分發(fā)展中起了重要的作用.