解答圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的兩個(gè)技巧

彭斌輝

圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題常涉及直線、圓錐曲線、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等，題型多變，運(yùn)算量大.此類型問(wèn)題主要考查同學(xué)們的分析和邏輯思維能力.本文將以2020年全國(guó)新課標(biāo)I卷第20題為例，探討一下解答圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的兩個(gè)技巧.

本題主要考查了橢圓的方程以及定點(diǎn)問(wèn)題.我們首先要根據(jù)題意繪制相應(yīng)的圖形，如圖所示，然后結(jié)合圖形來(lái)分析問(wèn)題.第一個(gè)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，同學(xué)們根據(jù)題意，設(shè)出G點(diǎn)的坐標(biāo)，由 =8即可求出a的值，進(jìn)而得出E的方程： .這里主要討論一下第二個(gè)問(wèn)題.第二個(gè)問(wèn)題是一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題，主要有兩種解答方法.

一、直接法

直接法主要是指依據(jù)題干信息，選擇一個(gè)與定點(diǎn)相關(guān)的變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等，列出定點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，然后利用其他輔助條件消去變量，得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

本題可以通過(guò)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo) ，結(jié)合已知條件 與橢圓方程的關(guān)系，直接聯(lián)立方程組， 坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線 的方程，通過(guò)化簡(jiǎn)證明直線CD恒過(guò)定點(diǎn).

二、利用韋達(dá)定理

利用韋達(dá)定理解答定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路是選擇一個(gè)參數(shù)，設(shè)出直線或者圓錐曲線的方程，然后構(gòu)建方程組，通過(guò)消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出 與直線k，m的關(guān)系式，再根據(jù)其他條件將關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到直線的方程或與定點(diǎn)相關(guān)的關(guān)系式，進(jìn)而確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

在本題中，我們可以直接設(shè)出 ，直線 的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求得 ，再結(jié)合 的方程，消去 得到關(guān)于k，m的表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)最終證明直線過(guò)定點(diǎn).

運(yùn)用這兩種方法解答圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的思路是設(shè)出參數(shù)或者變量，通過(guò)化簡(jiǎn)證明直線恒過(guò)定點(diǎn).解答圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的計(jì)算量非常大，要求同學(xué)們具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和分析推理能力.因此，同學(xué)們不僅要熟練掌握這兩個(gè)解題技巧，還要強(qiáng)化運(yùn)算訓(xùn)練.

（作者單位：江西省贛州市會(huì)昌縣第三中學(xué)）