一道2020年高考橢圓定值問題的多解和變式探究

羅文軍

2020年新高考Ⅰ卷（山東卷）是一道橢圓的定值問題，主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓錐曲線中的定點、定值問題，旨在考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

四、方法總結(jié)

解圓錐曲線綜合問題的一般步驟：第一步：確定曲線方程（一般根據(jù)待定系數(shù)法或定義法）;第二步：設(shè)直線方程并與曲線方程聯(lián)立，得關(guān)于x或y的一元二次方程;第三步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系（或求出交點出標(biāo)）;第四步：將第三步得出的關(guān)系代入題目條件，解決范圍、最值或定點、定值等問題;第五步：反思回顧，考慮方程有解條件和圖形完備性.

五、備考建議

1. 第一輪復(fù)習(xí)主要強調(diào)對考點知識全面覆蓋基礎(chǔ)上的學(xué)科體系構(gòu)建. 在第一輪圓錐曲線的復(fù)習(xí)中要做到回歸選修2-1和選修1-1課本，夯實基礎(chǔ)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，要把握好復(fù)習(xí)難度. 近幾年內(nèi)高考圓錐曲線數(shù)學(xué)試題遵循“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的方針，重視圓錐曲線基礎(chǔ)知識和基本技能的考查. 回歸課本應(yīng)貫穿圓錐曲線一輪復(fù)習(xí)的自始至終. 因為課本是數(shù)學(xué)知識“生長地”，課本是高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”，回歸課本是高考復(fù)習(xí)的起點，研課本，就是要看歷年高考圓錐曲線真題與課本的關(guān)系，從高考的要求出發(fā)，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發(fā)揮”. 在回歸課本的基礎(chǔ)上，要著重強化對圓錐曲線知識的梳理、優(yōu)化圓錐曲線知識結(jié)構(gòu)、構(gòu)建圓錐曲線知識網(wǎng)絡(luò). 在一輪圓錐曲線復(fù)習(xí)中，要注重“設(shè)而不求法”“線參發(fā)”“點差法”“相關(guān)點法”和“交軌法”等通性通法. 在一輪圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)中，“先羅列概念，再對應(yīng)性的例題選講”型模式的復(fù)習(xí)課并不少見，但這種課一般不會有好效果. 因為“羅列”對優(yōu)等生來說，不新奇，無刺激，他們不會積極參與;對后進(jìn)生來說，光憑“羅列”也會不了，記不住，所以也不會有興趣. 好的方法是重點概念采取“問題趨動”，在解決圓錐曲線問題中獲取概念.

2. 第二輪復(fù)習(xí)中，主要是強化圓錐曲線框架性問題的梳理和專題綜合訓(xùn)練，提升學(xué)生知識遷移，學(xué)以致用的能力.

（1）研高考，鎖定復(fù)習(xí)方向

研究高考圓錐曲線試題的源頭. 圓錐曲線高考題的兩個重要源頭，源自教材和歷年高考真題. 通過分析歷年全國新課標(biāo)圓錐曲線高考真題的變化趨勢，弄清楚圓錐曲線專題哪些知識和方法是必備的，哪些是可以拓展的，哪些是可以整合融會貫通的，哪些是高頻考點哪些是次高頻考點，然后編寫二輪復(fù)習(xí)專題，可以按學(xué)科主干知識為體系編寫模塊. 由于圓錐曲線高考試題注重考查從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在圓錐曲線知識點網(wǎng)絡(luò)點的交匯點處設(shè)計試題，因此在二輪復(fù)習(xí)專題中要設(shè)置一些圓錐曲線知識交匯的綜合題目.

（2）研究學(xué)生實際

二輪圓錐曲線復(fù)習(xí)中，深刻研究學(xué)生實際，要以中檔題為主，立足基礎(chǔ)題，也要做一定的圓錐曲線難題，因為歷年圓錐曲線解答題普遍難度較大，具有很好的區(qū)分度. 二輪圓錐曲線復(fù)習(xí)專題的編寫把著力點放在高考重點和熱點上、學(xué)生問題的盲點，誤點，困惑點上.

（3）在二輪圓錐曲線的復(fù)習(xí)中，運用好一題多解和一題多變

在二輪圓錐曲線復(fù)習(xí)中，我們要嘗試對典型圓錐曲線題目進(jìn)行多解探究和變式探究，通過“一題多解”和“一題多變”演繹圓錐曲線問題的產(chǎn)生過程，打破思維定勢，提高思維的變通性，開拓圓錐曲線知識視野，增強綜合思維能力和發(fā)展創(chuàng)造思維，同時有助于深刻理解圓錐曲線知識的系統(tǒng)性、特殊性和廣泛性，提高綜合思維能力和解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

責(zé)任編輯 徐國堅