初中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

摘? 要：以“常量與變量”一課為例，對(duì)精準(zhǔn)教學(xué)的實(shí)施路徑和方法進(jìn)行研究，提出數(shù)學(xué)教學(xué)必須在深度解讀教材、深入了解學(xué)情、精心設(shè)計(jì)教學(xué)的基礎(chǔ)上才可能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)精準(zhǔn)、過程精準(zhǔn)和問題精準(zhǔn)的有效教學(xué).

關(guān)鍵詞：目標(biāo)精準(zhǔn);過程精準(zhǔn);問題精準(zhǔn)

《現(xiàn)代漢語辭典》中，“精”有提煉出來的精華、完善、最好的意思，“準(zhǔn)”有標(biāo)準(zhǔn)、準(zhǔn)確的意思. 從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度看，通常認(rèn)為精準(zhǔn)教學(xué)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)生發(fā)展的實(shí)際，遵循教學(xué)規(guī)律和學(xué)生成長規(guī)律，聚焦數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值，準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，細(xì)化教學(xué)流程，促進(jìn)學(xué)生基于理解的學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高認(rèn)知水平的能力，從而實(shí)現(xiàn)較好教學(xué)效果的教學(xué)活動(dòng)過程. 換而言之，精準(zhǔn)教學(xué)是聚焦高階思維、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)方式. 2019年11月底，筆者有幸參加在杭州市舉辦的第27屆“名?！っ麕煛っn”經(jīng)典課堂教學(xué)展示活動(dòng)，并執(zhí)教了浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）“5.1 常量與變量”一課. 本文以該節(jié)課的教學(xué)為例，探索精準(zhǔn)教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)與方法.

一、教學(xué)過程簡案

環(huán)節(jié)1：情境引入.

某平臺(tái)2019年“雙十一”開場(chǎng)12分49秒成交額達(dá)到500億元. 觀察圖1，該平臺(tái)2017年—2019年“雙十一”成交額呈怎樣的變化趨勢(shì)？

【設(shè)計(jì)意圖】以現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生熟悉的、與學(xué)習(xí)內(nèi)容直接相關(guān)的大數(shù)據(jù)材料為背景，體現(xiàn)了問題情境的趣味性、場(chǎng)景性和學(xué)科相關(guān)性.

環(huán)節(jié)2：新知探究.

情境1：快遞員小王從家騎車到公司上班的過程中，公司和家之間的路程[s]有變化嗎？他騎車的平均速度[v]有變化嗎？他從家里到公司所需的時(shí)間[t]有變化嗎？

情境2：快遞員小王途經(jīng)加油站時(shí)看到一位車主在加6.68元 / 升的92號(hào)汽油. 在加油的過程中，汽油的單價(jià)有變化嗎？加油的升數(shù)[v]有變化嗎？加油的總價(jià)[w]有變化嗎？

情境3：一張圓形圖顯示了快遞公司的服務(wù)范圍，已知圓的面積公式為S = πr2，試選取服務(wù)半徑r的不同值，算出相應(yīng)的面積S的值.（結(jié)果保留π.）

r = __________cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

……

在取值、計(jì)算圓的面積的過程中，哪些量不變？哪些量變化了？隨著[r]的逐漸變大，[S]的值怎樣變化？

情境4：快遞公司保潔員的工資標(biāo)準(zhǔn)是30元 / 時(shí)，記工作時(shí)間為[t]（時(shí)），所得工資為[n]（元），則n =________. 取一些不同的[t]值，求出相應(yīng)的[n]的值.

當(dāng)t =__________時(shí)，n =__________元;

當(dāng)t =__________時(shí)，n =__________元;

當(dāng)t =__________時(shí)，n =__________元;

……

在計(jì)算保潔員所得工資的過程中，哪些量不變？哪些量變化了？[n]是如何隨著[t]的變化而變化的？

【設(shè)計(jì)意圖】整節(jié)課以與“快遞”相關(guān)的人物、事件、關(guān)系為教學(xué)明線，將教材內(nèi)容有機(jī)整合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)、探究問題、感悟方法、形成能力的過程中感受數(shù)學(xué)的生活應(yīng)用價(jià)值.

環(huán)節(jié)3：概念形成.

（1）上述四個(gè)實(shí)際情境中涉及了很多不同的量. 從數(shù)學(xué)的角度看，現(xiàn)實(shí)中通常有哪兩種量？

概念：在一個(gè)過程中，數(shù)值固定不變的量稱為常量，可以取不同數(shù)值的量稱為變量.

（2）試分別指出上述四個(gè)實(shí)際情境中的常量和變量，并思考：常量和變量有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生經(jīng)歷共性分析、歸納、抽象本質(zhì)特征的過程. 為什么提出以上問題？不妨與如下幾個(gè)問題做比較. 觀察上述四個(gè)情境，你發(fā)現(xiàn)了哪些共同點(diǎn)？從數(shù)學(xué)的角度看，你發(fā)現(xiàn)了哪些共同點(diǎn)？從研究對(duì)象與表達(dá)方式上看有哪些共同點(diǎn)？通過這幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生悟出“以上四個(gè)情境中的兩個(gè)量都是在一個(gè)變化過程中”. 不同點(diǎn)在于有的量數(shù)值固定不變，有的量可以取不同的數(shù)值. 但由于這幾種設(shè)問方法和問題或指向不明，或?qū)W生理解不了，放在這個(gè)位置，不符合學(xué)生的認(rèn)知. 因此，筆者在概念形成之后的關(guān)鍵詞辨析及反思?xì)w納環(huán)節(jié)，提出問題“常量與變量有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”，通俗易懂地呈現(xiàn)問題.

環(huán)節(jié)4：新知應(yīng)用.

應(yīng)用1：（1）若快遞車輛以40千米 / 時(shí)的速度用[t]小時(shí)行駛了[s]千米，則這一過程中的常量是________ ，變量是________ .

（2）若快遞車輛以[v]千米 / 時(shí)的速度用[t]小時(shí)行駛了100千米，則這一過程中的常量是________ ，變量是________ .

（3）若快遞車輛以[v]千米 / 時(shí)的速度用3小時(shí)行駛了[s]千米，則這一過程中的常量是________ ，變量是________ .

上述三個(gè)問題都涉及速度、時(shí)間和路程，但是結(jié)果不同. 由此，你能得出什么結(jié)論？

應(yīng)用2：快遞公司用電的單價(jià)是0.56元 / （千瓦·時(shí)），用電量 x（千瓦·時(shí)）與應(yīng)付電費(fèi) y（元）之間的關(guān)系式是y = 0.56x，則這一過程中的常量是________ ，變量是________ .

應(yīng)用3：快遞公司訂閱了[n]份定價(jià)為[a]元的某報(bào)紙，共需[b]元，則b = an. 這一過程中的常量是________ ，變量是________ .

通過對(duì)應(yīng)用2和應(yīng)用3的回答，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用1中的三個(gè)問題，既是對(duì)常量與變量概念的簡單應(yīng)用，又能自然地過渡，引出新的問題——常量與變量的相對(duì)性. 進(jìn)一步地，通過應(yīng)用2和應(yīng)用3延伸到“常量不一定是具體的數(shù)，也可以用字母來表示”.

環(huán)節(jié)5：問題探究.

一家快遞公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖2所示，其中[t]表示每件郵件的質(zhì)量， [p]表示每件快遞的費(fèi)用，[n]表示快遞郵件的件數(shù).

（1）填寫下表.

（2）在投寄快遞郵件的事項(xiàng)中，t，p，n是常量，還是變量？若0 < t ≤ 10，投寄[n]件郵件的快遞費(fèi)記為[w]，此時(shí) t，p，n，w 中哪些是常量？哪些是變量？

【設(shè)計(jì)意圖】以上問題來源于教材例題，是本節(jié)課的難點(diǎn)，涉及常量與變量的辨析、常量與變量的相對(duì)性，蘊(yùn)涵數(shù)形結(jié)合、分類討論、數(shù)學(xué)建模等多種數(shù)學(xué)思想方法，是一道好題.

環(huán)節(jié)6：學(xué)以致用.

仔細(xì)閱讀從某報(bào)紙中選取的材料1和材料2，寫出一段涉及不同量的短文，并分別指出其中的變量和常量. 要求：先獨(dú)立思考，再小組交流.

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生所在地的報(bào)紙中選取原始材料，設(shè)置指向本節(jié)課核心內(nèi)容的開放性問題，重溫概念形成的過程，歸納實(shí)際情境中判斷變量和常量的步驟，即確定某一過程，尋找涉及的量，判斷其中的變量和常量. 在教學(xué)組織上，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立探究、小組交流、班級(jí)展示、評(píng)價(jià)反思的學(xué)習(xí)過程.

二、精準(zhǔn)教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)與方法

1. 目標(biāo)精準(zhǔn)——深度解讀教材，深入了解學(xué)情

本節(jié)課是本章的起始課，也是學(xué)習(xí)函數(shù)的啟蒙課. 在本節(jié)課之前，學(xué)生已初步接觸過變量的概念. 與小學(xué)學(xué)習(xí)的感受變量變化的要求不同，初中要求明確相對(duì)嚴(yán)格意義上的常量與變量的概念. 判斷常量與變量的前提條件是在一個(gè)過程中，而不是在多個(gè)過程中，判斷的標(biāo)準(zhǔn)是量的數(shù)值是否變化. 本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)既濃縮了一般概念教學(xué)的過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、概括、抽象的思維能力有一定的作用，還對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究思路的形成與遷移有著積極的促進(jìn)作用，更進(jìn)一步地，對(duì)促進(jìn)學(xué)生形成關(guān)于運(yùn)動(dòng)變化的辯證觀念和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)有較大的幫助. 本節(jié)課的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在教學(xué)法、核心素養(yǎng)、研究思路和學(xué)科育人價(jià)值等諸多方面.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：（1）通過實(shí)例體驗(yàn)在一個(gè)具體的過程中有些量的數(shù)值固定不變，有些量的數(shù)值不斷變化，初步感受一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化;（2）了解常量與變量的概念，體驗(yàn)常量與變量在不同的過程中是相對(duì)存在的，會(huì)在某個(gè)簡單的過程中辨別一個(gè)量是常量還是變量;（3）通過讓學(xué)生探索身邊的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步感受函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是掌握常量與變量的概念. 常量與變量是初中學(xué)習(xí)函數(shù)這一概念的前提，它對(duì)一般概念的學(xué)習(xí)方法具有指導(dǎo)意義. 從教材的編寫意圖來看，本節(jié)課其他的內(nèi)容都是為學(xué)習(xí)概念而設(shè)置的，如情境、例題等.

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是理解常量與變量的相對(duì)存在. 事實(shí)上，本節(jié)課環(huán)節(jié)5中涉及的教材例題也是學(xué)生理解的難點(diǎn). 這道例題的情境較為復(fù)雜，體現(xiàn)在涉及的量很多，且呈現(xiàn)的方式比較綜合，有文字、圖象和表格;過程復(fù)雜，屬于分段函數(shù).

2. 過程精準(zhǔn)——遵循教育理論，精心設(shè)計(jì)教學(xué)

宏觀上，概念教學(xué)應(yīng)遵循一定的規(guī)律，遵循認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念獲得的相關(guān)理論. 一般來說，可以從概念形成的方式出發(fā)設(shè)計(jì)教與學(xué)的過程，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、綜合、歸納與概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷概念抽象的過程. 為了將數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透其中，將本節(jié)課具體的教學(xué)流程設(shè)置為：問題情境—共性分析與歸納—本質(zhì)特征的抽象—關(guān)鍵詞的辨析—簡單的應(yīng)用—聯(lián)系與綜合.

微觀上，怎樣算精準(zhǔn)？以教學(xué)難點(diǎn)為例，以符合規(guī)律的方法突破難點(diǎn)為準(zhǔn). 對(duì)于環(huán)節(jié)5中的教材例題這一難點(diǎn)就可以從難的原因入手，涉及的量多就由少到多進(jìn)行分析;過程復(fù)雜，就從單一過程到綜合過程進(jìn)行過渡.

本節(jié)課中，針對(duì)環(huán)節(jié)5的教學(xué)，具體分為以下四步.

第1步，理清總價(jià)、單價(jià)與件數(shù)之間的關(guān)系. 通過類比熟悉的路程、速度與時(shí)間之間的關(guān)系，得出總價(jià) = 單價(jià) × 件數(shù). 在0 < t ≤ 10的情況下，如果快遞費(fèi)每件6元，那么2件幾元？3件幾元？n件呢？由此得到w = pn.

第2步，理解實(shí)際生活中每件包裹的快遞費(fèi)p與郵件的質(zhì)量t有關(guān). 快遞1個(gè)刷子的費(fèi)用是5元，快遞1本書的費(fèi)用是5元，快遞1張桌子的費(fèi)用也是5元嗎？快遞1臺(tái)冰箱呢？看來[p]是與[t]有關(guān)的.

第3步，從圖象到表格，從形到數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想. 筆者先呈現(xiàn)[t]在0 ～ 10范圍的圖象，再設(shè)置如下問題串：橫軸、縱軸分別表示什么量？任取一個(gè)[t]的值，觀察圖象，說出相應(yīng)的[p]的值，并填寫t，p對(duì)應(yīng)值的表格. 接下來，思考：p，t分別是常量還是變量？[t]在10 ～ 16的范圍呢？[t]在0 ～ 16的范圍呢？

第4步，問題解決. 同步緊跟以下三個(gè)追問.

追問1：在第（2）小題“若0 < t ≤ 10，投寄[n]件郵件的快遞費(fèi)記為[w]，此時(shí)t，p，m，w中哪些是常量？哪些是變量？”中，常量與變量概念中的“一個(gè)過程”，是指[t]在什么范圍？

追問1的設(shè)計(jì)意圖是鞏固概念的內(nèi)涵.

追問2：試找出一個(gè)[t]的范圍，使得[p]是常量.

追問2的設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題.

追問3：在一定范圍內(nèi)[p]是常量，隨著[t]范圍的變化，[p]也有可能是變量，這進(jìn)一步說明了什么？

追問3的設(shè)計(jì)意圖是拓展概念的外延.

3. 問題精準(zhǔn)——目標(biāo)導(dǎo)向，循序漸進(jìn)

問題是為目標(biāo)服務(wù)的，是為學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、發(fā)展服務(wù)的. 問題優(yōu)劣是以是否有明確的問題設(shè)計(jì)意圖為出發(fā)點(diǎn)，以能否通過循序漸進(jìn)地教學(xué)達(dá)成預(yù)期目標(biāo)為歸宿點(diǎn)的.

例如，在環(huán)節(jié)1設(shè)置的四個(gè)問題情境中，前兩個(gè)情境是讓學(xué)生初步感受量的變與不變，重點(diǎn)是理解變與不變，不是量本身，因此筆者直接提問某個(gè)量變或者不變;情境3中提出“哪些量不變，哪些量變化了”，突出“哪些量”，要求學(xué)生自己找出具體的量，在認(rèn)知要求上相比前兩個(gè)情境中的問題要求有所提高. 所謂循序漸進(jìn)，不僅體現(xiàn)在解題的難度上，思維上的變化也應(yīng)如此. 情境3中，之所以設(shè)置“隨著r的逐漸變大，S的值怎樣變化？”一問，是因?yàn)楸竟?jié)作為章節(jié)起始課，要為接下來函數(shù)概念的學(xué)習(xí)做鋪墊.

在實(shí)際教學(xué)中，筆者增加了如下兩個(gè)追問.

追問1：當(dāng)r = 2時(shí)，S = 4π，是怎么計(jì)算的？

通過追問1與下一節(jié)課將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的圖象法、解析法、表格法三種函數(shù)表示方法相銜接.

追問2：在情境3中，哪些數(shù)刻畫了同一個(gè)量？有哪幾個(gè)量？

該問的設(shè)計(jì)意圖是通過對(duì)數(shù)值的分析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從數(shù)到量的抽象，體會(huì)量的意義，并且是通過在一個(gè)變化過程來識(shí)別的. 問題精準(zhǔn)，即問題要符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì).

需要說明的是，對(duì)于什么是量，教材中并沒有給出明確的定義，但學(xué)生要學(xué)會(huì)區(qū)別“數(shù)”與“量”. 本節(jié)課中，筆者是這樣提問的：當(dāng)r = 1，S = π;當(dāng)r = 2，S = 4π. 那么2和4π是量嗎？學(xué)生回答：不是量，是數(shù)值，它們分別刻畫的半徑r和面積S才是量. 這樣，學(xué)生既理清了數(shù)與量的關(guān)系，又為判斷諸如環(huán)節(jié)6中具體問題中的常量與變量等實(shí)際問題提供了有益的經(jīng)驗(yàn). 問題精準(zhǔn)，即問題要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合教學(xué)規(guī)律.

當(dāng)然，精準(zhǔn)教學(xué)的內(nèi)涵頗為豐富，要關(guān)注學(xué)習(xí)方式的變革和信息技術(shù)的融合，特別是基于大數(shù)據(jù)分析的個(gè)性化診斷、同類或變式問題的及時(shí)推送等，都是很好的研究方向. 過程評(píng)價(jià)要適時(shí)、適度，關(guān)注促進(jìn)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的多元評(píng)價(jià)，關(guān)注體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)成長的動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)，關(guān)注凸顯過程發(fā)展的小組評(píng)價(jià).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

收稿日期：2020-08-20

作者簡介：陳建新（1973— ），男，高級(jí)教師，浙江省特級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.