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    某二階偏微分方程計(jì)算方法對(duì)比分析

    2020-09-10 07:22:44賈濤牛華東解景濤盧瑞軍蘇茂輝
    內(nèi)燃機(jī)與配件 2020年2期
    關(guān)鍵詞:數(shù)值計(jì)算

    賈濤 牛華東 解景濤 盧瑞軍 蘇茂輝

    摘要:CAE在汽車和發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中發(fā)揮越來越重要的作用,然而CAE的本質(zhì)是求解各種常微分方程組或偏微分方程組;常微分方程又稱動(dòng)力系統(tǒng)方程,通常用來求解動(dòng)力系統(tǒng)問題。偏微分方程則廣泛應(yīng)用于電磁學(xué)、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域;對(duì)于偏微分方程通常很難求得其解析解,需要借助數(shù)值計(jì)算來獲取其方程的近似解。拉普拉斯方程(Laplace)是一種橢圓形二階偏微分方程,并且可以求取其解析解。本文通過解析法以及數(shù)值法對(duì)拉普拉斯方程求解,并對(duì)比不同求解方法的效率和精度;結(jié)論顯示解析法雖然精度較高,但是需要很大的計(jì)算量,并且大多數(shù)偏微分方程沒有解析解。因此,在汽車和發(fā)動(dòng)機(jī)等工程應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)精度需求選擇最優(yōu)的途徑求解偏微分方程問題。

    關(guān)鍵詞:Laplace方程;偏微分方程;數(shù)值計(jì)算;CAE

    1? 理論分析

    拉普拉斯方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下,

    2? 問題描述

    研究某矩形二維傳熱問題,已知傳熱問題的導(dǎo)熱微分方程式如下[2]:

    3? 解析解

    求解偏微分方程的核心在于邊界條件,不同的邊界條件甚至?xí)霈F(xiàn)完全不同的解;根據(jù)該問題描述,通過邊界條件將上述方程簡(jiǎn)化:

    由于公式(5)比較繁瑣,并且涉及到n(0~∞)求和計(jì)算;方程組規(guī)模小則計(jì)算量小,可以快速得到計(jì)算結(jié)果;方程組規(guī)模大則計(jì)算量很大,通常需要很久才能完成計(jì)算。本例中算法1取n=110,對(duì)5000個(gè)數(shù)據(jù)編程計(jì)算,則耗時(shí)近1小時(shí);而采用算法2則只需要數(shù)秒時(shí)間。

    算法1:

    clc;

    clear;

    sum=zeros(100,50);

    syms x;

    for i=1:100;

    for j=1:50;

    for k=1:110;

    Dn=int(100*sin(k*pi*x/50),0,50);

    An=1/(25*sinh(2*pi*k));

    Cn=sinh(k*pi*(100-i)/50);

    Bn=sin(k*pi*j/50);

    Un=Dn*An*Cn*Bn;

    sum(i,j)=sum(i,j)+Un;

    end

    end

    end;

    算法2:

    clc;

    clear;

    sum=zeros(100,50);

    for i=1:100;

    for j=1:50;

    for k=1:110;

    Dn=5000*(1-cos(k*pi))/(k*pi);

    An=1/(25*sinh(2*pi*k));

    Cn=sinh(k*pi*(100-i)/50);

    Bn=sin(k*pi*j/50);

    Un=Dn*An*Cn*Bn;

    sum(i,j)=sum(i,j)+Un;

    end

    end;

    end;

    4? 數(shù)值解法

    通過數(shù)值方法求解偏微分方程是常用的求解方法,如下通過有限元方法以及EXCEL迭代、軟件編程等不同方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,對(duì)比不同計(jì)算方法的精度和計(jì)算效率。

    4.1 有限元方法

    借助有限元軟件,建立平面模型并搭建穩(wěn)態(tài)熱力學(xué)模型,生成5151個(gè)節(jié)點(diǎn)、10000個(gè)單元;設(shè)置邊界條件如上所述,計(jì)算得到的溫度場(chǎng)分布如圖2所示:該方法更偏向于工程的應(yīng)用。在求解過程中,模型搭建過程花費(fèi)較多時(shí)間;但是求解計(jì)算效率較高,普通電腦計(jì)算只需要20sCPU時(shí)間。

    4.2 Excel迭代方法

    設(shè)置步長(zhǎng)dx=dy=1,采用五點(diǎn)差分法求解;如圖4所示,使用EXCEL建立數(shù)值計(jì)算表格,啟用迭代計(jì)算,設(shè)置誤差以及最大迭代次數(shù)進(jìn)行求解;該方法計(jì)算效率較高,只需要1~2s CPU時(shí)間;得到計(jì)算結(jié)果如圖5[3]。

    4.3 軟件編程計(jì)算

    借助軟件編寫五點(diǎn)差分程序,使用高斯賽德爾迭代法,同樣可以計(jì)算出最終的結(jié)果;編程耗時(shí)較長(zhǎng),計(jì)算耗時(shí)60s左右的CPU時(shí)間[4]。

    計(jì)算程序:

    clear

    clc

    u=1:1:50;

    v=1:1:50;

    [x,y]=meshgrid(u,v);%通過坐標(biāo)軸點(diǎn)在平面畫網(wǎng)格

    p=[x,y];

    plot(p);

    spy(p);

    for i=2:50

    for j=2:100

    p(i,j)=(j-1)+98*(i-2);

    end;

    end;

    for i=1;

    for j=1:100

    p(i,j)=0;

    end;

    end;

    for i=50;

    for j=1:100

    p(i,j)=0;

    end;

    end;

    for j=1;

    for i=1:50

    p(i,j)=0;

    end;

    end;

    for j=100;

    for i=1:50

    p(i,j)=0;

    end;

    end;

    PP=delsq(p);

    load('my.dat');

    b=spconvert(my);

    N=length(b);? ?%Gauss – Seidel迭代法

    u=inv(PP)*b;

    u=zeros(N,1);%迭代初始值

    D=diag(diag(PP));

    E=-tril(PP,-1);%下三角

    F=-triu(PP,1);%上三角

    B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;

    eps=0.000001;

    for k=1:10000 %最大迭代次數(shù)

    y=B*u+g;

    if norm(u-y)<eps

    break;

    end

    u=y;

    end

    s=zeros(50,100);

    for i=1:48

    for j=1:98;

    s(i+1,j+1)=u(98*(i-1)+j,1);

    end

    end

    for i=1:50

    s(i,1)=100;

    end

    subplot(1,1,1);

    mesh(s);

    5? 誤差分析

    對(duì)比計(jì)算結(jié)果第二列(x=1,u(x,y))數(shù)據(jù)并繪制圖表;如圖8所示,數(shù)值解和解析解的四條曲線重合在一起,說明這些數(shù)值大小相同,整體趨勢(shì)一致。圖9誤差分析顯示,EXCEL和編程計(jì)算誤差重合在一起,誤差在0~0.01%之間;有限元計(jì)算在中間部分誤差接近0,說明其計(jì)算誤差相對(duì)較小;三種數(shù)值計(jì)算方法誤差在工程可以接受的范圍內(nèi)。

    6? 總結(jié)

    本文通過不同方法求解偏微分方程,對(duì)偏微分方程的求解思路有了深入的理解;各種解法中,效率最高的是使用EXCEL迭代求解,操作簡(jiǎn)單并且計(jì)算速度快、精度較高。借助軟件編程的方法求解效率相對(duì)較低,并且需要對(duì)程序調(diào)試,精度方面和EXCEL求解差別不大。借助有限元求解則需要搭建有限元模型,并設(shè)置邊界條件,計(jì)算效率同樣很高,精度方面可以滿足工程需要。而解析法求解拉普拉斯方程雖然精度高,但是對(duì)算法要求較高。因此,對(duì)于偏微分方程工程方面應(yīng)用,在滿足精度的前提下,解析解不一定是最優(yōu)的方法;具體需要根據(jù)實(shí)際情況選擇相應(yīng)的求解方法。

    參考文獻(xiàn):

    [1]陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].清華大學(xué)出版社,2004.

    [2]楊世銘,陶文銓.傳熱學(xué)[M].四版.高等教育出版社,2006.

    [3]賈新民,嚴(yán)文.有限差分法求解拉普拉斯方程[J].昌吉學(xué)院學(xué)報(bào),2009.

    [4]劉大衛(wèi),高明.正方形環(huán)域Laplace方程的簡(jiǎn)明數(shù)值解法[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào),2006.

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