多產(chǎn)的數(shù)學(xué)大師歐拉

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的一位數(shù)學(xué)家，他生前共出版了800多篇論文和著作，其中58%是數(shù)學(xué)方面的，物理力學(xué)和天文學(xué)各占了28%和11%，余下的3%是關(guān)于航海學(xué)和建筑學(xué)的，不可思議的是，在他逝世后，人們又整理發(fā)現(xiàn)了他的400多篇尚未發(fā)表的論文，時(shí)至今日，其著作和信件仍未全部面世，它們多達(dá)70卷，長達(dá)幾萬頁。

歐拉涉足的研究領(lǐng)域十分廣泛，從數(shù)論、圓幾何、音樂理論等“純粹”領(lǐng)域的研究，到無窮級(jí)數(shù)、對(duì)數(shù)、微積分和力學(xué)，再到光學(xué)、天文學(xué)、行星運(yùn)動(dòng)、航海學(xué)及其它實(shí)用領(lǐng)域的研究，歐拉提出的想法如此之多，以至于其后繼者們一直在忙于跟進(jìn)這些想法，法國應(yīng)用數(shù)學(xué)家皮埃爾一西蒙·拉普拉斯（pierre-Simon Laplace）對(duì)人們提出了這樣的忠告：“讀讀歐拉的作品吧，他是我們所有人的老師，”許多概念都以歐拉的名字命名：歐拉常數(shù)、多面體歐拉定理、三角形的歐拉線、歐拉動(dòng)力學(xué)方程、歐拉圖、歐拉五邊形數(shù)定理等，歐拉的一生可以分為幾個(gè)時(shí)期：1707年4月15日，歐拉生于瑞士巴塞爾，他在那里長大并步人大學(xué);20歲時(shí)，他在俄羅斯圣彼得堡學(xué)院擔(dān)任數(shù)學(xué)系教授;然而由于在圣彼得堡的處境愈發(fā)艱難，他于1741年移居柏林，并在那里生活了25年;而再次由于處境艱難（雖原因不同），他于1766年回到圣彼得堡，在那里度過了余生，于1783年去世。

一、巴塞爾時(shí)期

歐拉的父親保羅·歐拉（Paul Euler）是一名謙遜的基督教加爾文宗的牧師，他希望歐拉可以子承父業(yè)，于是小歐拉在14歲時(shí)進(jìn)入巴塞爾大學(xué)主修神學(xué)、希伯來語、法學(xué)和哲學(xué)，但在大學(xué)期間，歐拉遇到了當(dāng)時(shí)歐洲最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（Johann Bernoulli），他對(duì)歐拉的數(shù)學(xué)能力印象深刻，并愿意在每周六為他單獨(dú)授課，在授課過程中，伯努利很快意識(shí)到他的這位學(xué)生是多么與眾不同，而歐拉也在跟隨伯努利的學(xué)習(xí)中與他的兩個(gè)兒子丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）和尼古拉二世·伯努利（Nicolaus II Bernoulli）成為了摯友。

1724年，17歲的歐拉在取得了哲學(xué)碩士學(xué)位之后，受到父親的影響進(jìn)入神學(xué)院，為成為一名合格的牧師做準(zhǔn)備，他在回憶錄中寫道：我必須進(jìn)入神學(xué)系讀書，并認(rèn)真學(xué)習(xí)希臘語和希伯來語，但我并沒有取得多少進(jìn)展，因?yàn)槲覍⒋蟛糠值臅r(shí)間都用在了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上，令我感到開心和幸運(yùn)的是，每周六我仍可以去拜訪約翰·伯努利先生，雖然歐拉的父親十分不情愿，但伯努利還是說服他相信自己那位天賦異稟的兒子是命中注定要成為一名偉大的數(shù)學(xué)家，于是，歐拉被允許離開神學(xué)系，開始了他璀璨耀眼的數(shù)學(xué)研究生涯，歐拉在20歲時(shí)就取得了第一個(gè)重要的數(shù)學(xué)成就，他在回憶錄中寫道：巴黎科學(xué)院曾主辦過一個(gè)有獎(jiǎng)?wù)魑母傎?，問題是如何找出船上桅桿的最優(yōu)放置點(diǎn)，歐拉的論文敗給了當(dāng)時(shí)有“艦船建造學(xué)之父”稱號(hào)的皮埃爾·布格，只獲得二等獎(jiǎng)，不過，歐拉此后共獲得一等獎(jiǎng)達(dá)12次之多！之后，歐拉試圖留在巴塞爾大學(xué)申請(qǐng)數(shù)學(xué)系教授一職，遺憾的是沒有成功，此時(shí)，他的好友丹尼爾·伯努利正在俄羅斯圣彼得堡科學(xué)院任職，并邀請(qǐng)歐拉前往，但當(dāng)時(shí)圣彼得堡科學(xué)院職位緊缺，唯有醫(yī)學(xué)和生理學(xué)系的教職仍有空席，因此，歐拉就自學(xué)了這些科目，并在研究耳部的過程中對(duì)聲音的數(shù)學(xué)原理和波的傳播產(chǎn)生了興趣。

二、前圣彼得堡時(shí)期

就在1727年5月17日歐拉抵達(dá)俄羅斯的當(dāng)天，命運(yùn)跟他開了個(gè)玩笑，俄國開明的女皇葉卡捷琳娜一世在這一天去世了，同時(shí)俄國皇家科學(xué)院也就失去了當(dāng)權(quán)者的支持。

當(dāng)時(shí)，皇位的繼承者彼得二世還是個(gè)小男孩，由俄國貴族掌權(quán)的派系將科學(xué)院看作是一種不必要的財(cái)政負(fù)擔(dān)，不僅切斷了很多科研資助，而且還經(jīng)常找外籍人員的麻煩，歐拉只埋頭于自己的研究，并借宿在丹尼爾·伯努利的家中，與之一起工作，1733年，丹尼爾·伯努利無法忍受在科學(xué)院遭受的種種麻煩與敵視，回到瑞士一學(xué)術(shù)崗位任職，當(dāng)時(shí)年僅26歲的歐拉接替丹尼爾·伯努利成為了科學(xué)院數(shù)學(xué)所所長，歐拉下定決心要克服重重困難并安定下來，1734年他結(jié)了婚，并先后育有13個(gè)子女（僅有5個(gè)活到成年），歐拉非常享受孩子們?cè)谏磉叺纳睿踔烈贿叡е⒆?，一邊撰寫論文，在任何情況下都沒有放棄和中斷他的數(shù)學(xué)研究。

在18世紀(jì)30年代期間，歐拉著作頗豐，他不僅在數(shù)論上取得了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，在級(jí)數(shù)求和、力學(xué)領(lǐng)域也頗有收獲，期間，他還擔(dān)任俄國政府的科學(xué)顧問，為政府測繪地圖，為俄羅斯海軍提供建議，擔(dān)任消防設(shè)備的設(shè)計(jì)審定工作，并為俄羅斯的學(xué)校編撰教科書，歐拉終其一生都在致力于數(shù)論的研究，1729年12月，他收到了同事克里斯蒂安·哥德巴赫（christian Goldbach）的來信，信中就是有關(guān)尚未證實(shí)的哥德巴赫猜想，哥德巴赫在來信中提出了如下猜想：任何大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，例如：20=13+7，30=11+19.哥德巴赫在信中還提到了費(fèi)馬數(shù)，即形如2+1這樣的數(shù)，例如，當(dāng)n=0.1，2，3，4時(shí)，我們分別得到質(zhì)數(shù)3，5，17.257.65537.那么所有這樣形式的數(shù)都是質(zhì)數(shù)嗎？費(fèi)馬猜想它們都是，并宣稱找到了一個(gè)生成質(zhì)數(shù)的公式，但遺憾的是，歐拉在1732年就發(fā)現(xiàn)下一個(gè)數(shù)2+1是一個(gè)可以被641整除的十位數(shù)，自那以后，再無其它費(fèi)馬數(shù)被證明是質(zhì)數(shù)，因此費(fèi)馬的這個(gè)猜想并不成立。

歐拉的計(jì)算能力也稱得上傳奇，傳說某一天，歐拉的兩個(gè)學(xué)生試圖對(duì)一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)進(jìn)行求和，但算到小數(shù)點(diǎn)后第50位時(shí)，兩人的計(jì)算結(jié)果有所不同，歐拉只通過心算便得到了結(jié)果，作出了正確的判斷，歐拉驚人的心算能力使法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家弗朗瓦·阿拉戈也不免為之驚呼：“歐拉計(jì)算時(shí)顯得毫不費(fèi)力，就像人在呼吸或者鷹在風(fēng)中保持平衡一樣?！?/p>

歐拉面臨的另一項(xiàng)挑戰(zhàn)是找到四個(gè)不同的數(shù)字，使任意兩者之和都等于一個(gè)完全平方數(shù)，而歐拉成功地找到了它們，分別是：18530.38114.45986和65570.比如下面幾個(gè)示例：

38114+18530=238，

38114+65570=322，

381 14+459R6=290

德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨（Leib-niz）就曾在1679年寫給荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯（christiaan Huygens）的信中提到，希望得到一種不涉及長度、距離和角度等度量概念的“位置分析”幾何方法，而歐拉就是找到了這樣一種方法來解決“七橋問題”，現(xiàn)在，我們將其稱為“拓?fù)鋵W(xué)”或“橡皮幾何學(xué)”，如果我們?cè)谙鹌ど侠L制地圖并將其拉伸，就發(fā)生了類似的拓?fù)渥儞Q。

1736年，歐拉給維也納宮廷的天文學(xué)家喬凡尼·馬里諾尼（Giovanni Marinoni）寫了一封信，描述他對(duì)“七橋問題”的看法：“雖然這個(gè)問題十分乏味，但在我看來，值得注意的是幾何、代數(shù)甚至計(jì)數(shù)法都不足以解決這個(gè)問題，因此，經(jīng)過認(rèn)真思考，我得到了一種簡單但完全成立的規(guī)則，借助該規(guī)則可以快速解決所有這類‘一筆畫’問題，”歐拉對(duì)哥尼斯堡七橋問題的解決方案被認(rèn)為是對(duì)圖論的最早貢獻(xiàn)，如今，“一筆畫”問題已可以通過觀察“節(jié)點(diǎn)”（代表陸地）和“邊”（代表橋梁）構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來解決了，但用以表示這一謎題的網(wǎng)絡(luò)直到150年后才真正誕生，同年，歐拉發(fā)表了一篇論文《力學(xué)》（Mechanica），這是他關(guān)于粒子動(dòng)力學(xué)研究的第一篇論文，伴隨著他對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)，包括剛體自由運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的深入研究，他于1750年在這一領(lǐng)域取得了顯著的成果，通過選取一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取相對(duì)于慣量的主軸坐標(biāo)為體坐標(biāo)軸系，歐拉推導(dǎo)出了我們現(xiàn)在所說的“歐拉運(yùn)動(dòng)方程”，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量這個(gè)概念也來自歐拉，甚至在16年后，他還證明出剛體繞定點(diǎn)的任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)等價(jià)于繞過定點(diǎn)某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這項(xiàng)工作大量地使用了微積分方程，這些方程的運(yùn)用促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，而歐拉對(duì)此作出了很大貢獻(xiàn)，大約在18世紀(jì)30年代末期，歐拉右眼失明，他將其歸因于長期近距離地進(jìn)行地圖學(xué)工作所致，即便如此，病痛并未影響歐拉的學(xué)術(shù)生產(chǎn)力，他繼續(xù)撰寫了大量有關(guān)聲學(xué)、音樂理論、造船、質(zhì)數(shù)以及許多其它領(lǐng)域的論文。

三、柏林時(shí)期

隨著歐拉在數(shù)學(xué)屆名聲大噪，普魯士腓特烈大帝在1741年邀請(qǐng)他加入柏林科學(xué)院擔(dān)任數(shù)學(xué)部主任一職，歐拉考慮到當(dāng)時(shí)俄國的政治局勢仍不穩(wěn)定，就接受了這一邀請(qǐng)，隨后他在柏林度過了最多產(chǎn)的25年時(shí)光，起初，歐拉與腓特烈大帝相處融洽，但好景不長，特別是經(jīng)過了德國和俄羅斯之間的七年戰(zhàn)爭之后，腓特烈大帝對(duì)科學(xué)院的運(yùn)作越來越感興趣，但他們之間的關(guān)系開始降溫，即便如此，歐拉仍恪盡職守、孜孜不倦地在各個(gè)領(lǐng)域探索，在18世紀(jì)40年代到50年代間，他完成了有關(guān)潮汐理論、月球運(yùn)動(dòng)、流體力學(xué)（河流運(yùn)動(dòng)）和弦振動(dòng)等多個(gè)領(lǐng)域的論文。

歐拉當(dāng)時(shí)最重要的著作是《無窮小分析引論》（In-troductio in Analvsin Infinitolllm），正是在此書中，他介紹了自己對(duì)數(shù)字e的一些早期研究成果：將e定義為階乘倒數(shù)之無窮級(jí)數(shù)的和：

當(dāng)拆分成完全不同的數(shù)時(shí)，同樣是9.也恰好有8種拆分方案：

歐拉運(yùn)用“母函數(shù)”（Generating funetion）證明，對(duì)于任何數(shù)字，拆分成的數(shù)都是奇數(shù)的方案數(shù)，等于拆分成完全不同的數(shù)的方案數(shù)，這是一個(gè)有趣且意想不到的結(jié)論。

歐拉在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都作出過重大貢獻(xiàn)，他實(shí)際上支配了18世紀(jì)至今的數(shù)學(xué)發(fā)展;對(duì)于當(dāng)時(shí)新的數(shù)學(xué)分支——微積分，他推導(dǎo)出了很多結(jié)果彳艮多數(shù)學(xué)的分支也是由歐拉所創(chuàng)或因而有了極大的進(jìn)展，歐拉在他的時(shí)代，研究成果產(chǎn)量之多，無人能及，歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧、頑強(qiáng)的毅力、孜孜不倦的奮斗精神，永遠(yuǎn)值得后人學(xué)習(xí)。