基于線段圖解決有關(guān)倍的問題的研究與實踐

胡建芳 陳亞峰

摘?要：在解決有關(guān)倍的問題時理清量與量之間的數(shù)量關(guān)系起著非常重要的作用，本文對教學(xué)“解決有關(guān)倍的問題”的過程中利用線段圖幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系并解決問題進(jìn)行了研究和實踐。

關(guān)鍵詞：倍的問題;線段圖;數(shù)量關(guān)系

“解決倍的問題”是人教版三年級上冊第五單元的內(nèi)容，教材上出現(xiàn)了兩類問題：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍（求幾倍數(shù)）;求一個數(shù)的幾倍是多少（求比較量）。而在我們實際解決有關(guān)倍的問題時，往往還會出現(xiàn)第三類問題：已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)（求標(biāo)準(zhǔn)量）。這些問題看似簡單，但學(xué)生卻很容易出現(xiàn)“見倍就乘”或無從下手的情況，究其原因是沒有理清問題中“標(biāo)準(zhǔn)量”、“比較量”和“幾倍數(shù)”這三種量之間的數(shù)量關(guān)系。

數(shù)量關(guān)系是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的，能夠揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念。它能為學(xué)生在解決類似問題指引方向，提供基本方法，形成思維，幫助學(xué)生有效解決問題。

筆者認(rèn)為，線段圖可以幫助學(xué)生快速而準(zhǔn)確理清數(shù)量關(guān)系。線段圖是由一條或幾條線段組合在一起，利用線段的長短關(guān)系表示問題中抽象的數(shù)量關(guān)系的一種解題形式。線段圖有利于把抽象的概念形象化，幫助學(xué)生理清題目中的條件和問題，抓住它們之間的數(shù)量關(guān)系，成功解決難題。線段圖可以讓“倍的問題”中三種量的關(guān)系更加的直觀，三年級的學(xué)生以具體形象思維為主，數(shù)量關(guān)系又比較抽象，所以我們可以利用線段圖的直觀形象，幫助學(xué)生理解并分析數(shù)量關(guān)系。

一、動態(tài)演變，初識線段圖

理清問題中的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生解決有關(guān)倍的問題的關(guān)鍵所在，因此我們要讓學(xué)生讀懂線段圖，了解線段圖中每一部分表示的意思，知道各部分之間的關(guān)系。

1.思考：圖示在學(xué)生思維發(fā)展過程中的變化及聯(lián)系

三年級的學(xué)生之前并沒有接觸過線段圖，這主要和學(xué)生的思維發(fā)展有關(guān)。學(xué)生的思維特點在小學(xué)階段是一個動態(tài)的發(fā)展：具體形象思維→抽象邏輯思維，但他們的抽象思維很大程度上仍然和直觀經(jīng)驗相關(guān)聯(lián)，需要具體形象的幫助。

筆者對教材中出現(xiàn)三類圖示的運用情況進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)示意圖通常出現(xiàn)在一年級至三上年級，高年級也有出現(xiàn)，但一般在“數(shù)學(xué)廣角”和“綜合實踐”課;色條圖只在二上年級出現(xiàn)過一次;線段圖是在三上年級解決“求一個數(shù)的幾倍是多少”時開始出現(xiàn)，并且在高年級成為學(xué)生解決問題中的有力工具?？梢?，圖示應(yīng)用的改變也體現(xiàn)了學(xué)生思維發(fā)展的變化。

圖示是思維的具象表現(xiàn)，但不得不說，三種圖示還是有所不同：示意圖是最具象的一種圖示，學(xué)生最容易理解并且利用它解決問題，所以是學(xué)生在低段常用的解決問題的方法;色條圖是對示意圖的初步抽象，教材中使用不多，學(xué)生對于這種圖示并不熟悉;線段圖是對圖示的再一次抽象，對三年級的學(xué)生而言，線段圖的理解有一定的困難。

2.教學(xué)實踐：

針對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對于色條圖和線段圖的理解有困難，我對這兩種圖示的呈現(xiàn)給予動畫演變的過程，即示意圖→色條圖→線段圖，動態(tài)的演變過程能讓學(xué)生將抽象的圖示與已經(jīng)理解的具象的圖示聯(lián)系起來，幫助對抽象圖示的理解。

【教學(xué)片段：】

（1）示意圖解決問題

（課件出示數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生提出有關(guān)倍的問題：擦桌椅的有12人，掃地的有4人。擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍？）

①引出示意圖，請學(xué)生描述對示意圖的理解（明確：一個○表示一個人）

②利用示意圖解決問題

問：你能看出擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍嗎？怎么看的？（把掃地的4人看作一份，擦桌椅的就有這樣的3份，就是三倍。）也可以用圈一圈的方法，看出有這樣的3份。（課件演示圈一圈解決問題的過程）

（2）色條圖解決問題

①色條圖的認(rèn)識

（利用課件動態(tài)演示呈現(xiàn)色條圖：）

問：你能從這個圖示中找到剛才的信息嗎？你能把剛才的信息填到這幅圖示中嗎？（“掃地的”旁邊一條長度表示4人，“擦桌椅的”旁邊一條表示12人）

提出：這樣的圖我們把它叫做色條圖，它的長短表示數(shù)量的多少。

②利用色條圖解決問題

問：怎樣才能從色條圖中知道擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍？（用掃地的一條去下面比一比，看看有幾個這樣的一條？）

（3）認(rèn)識線段圖

（將色條圖演變成線段圖：）

請學(xué)生根據(jù)自己的理解將信息填入線段圖中。

二、二次畫圖，感知數(shù)量關(guān)系

1.數(shù)量關(guān)系在線段圖中的體現(xiàn)

解決問題能綜合培養(yǎng)學(xué)生各方面能力，學(xué)生解決問題的過程中，有時候會遇到數(shù)學(xué)信息頗多的題目，那么學(xué)生往往會不知道從何開始分析題目，找不出其中的數(shù)量關(guān)系，特別是有些問題中是多個數(shù)量關(guān)系的疊加，因此利用線段圖，標(biāo)注簡單的符號、簡潔的文字，讓學(xué)生直觀感知問題中單一的或多重的數(shù)量關(guān)系，從而得出解決問題的思路和方法。

在人教版的教材中，問題中的數(shù)量關(guān)系有單一數(shù)量關(guān)系以及由單一數(shù)量關(guān)系組成的多重數(shù)量關(guān)系，筆者對小學(xué)階段用線段圖來解決問題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了整理：

（1）體現(xiàn)單一數(shù)量關(guān)系的線段圖

以上線段圖基本上涵蓋了所有數(shù)量關(guān)系的不同形式，主要為和差關(guān)系、總分關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。當(dāng)我們解決“小明有4個氣球，小紅有6個氣球，兩人共有多少個氣球？”這個問題時，我們就可以用①號線段圖來幫助學(xué)生理解題意，理清數(shù)量關(guān)系，解決問題;當(dāng)我們解決“汽車每小時行駛60千米，2小時行駛了多少千米？”這個問題時，可以用④號線段圖來速度、時間和路程之間有“速度×?xí)r間=路程”的關(guān)系;④號線段圖還可以幫助學(xué)生解決“每箱有12瓶水，4箱共有多少瓶水？”這樣的問題，學(xué)生能夠在理解的基礎(chǔ)上提煉出數(shù)量關(guān)系：每箱的數(shù)量×箱數(shù)=總數(shù);像⑦號線段圖既可以解決“求一個數(shù)的幾倍是多少”，也可以解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”這類倍率問題。

（2）體現(xiàn)多重數(shù)量關(guān)系的線段圖

我們不難發(fā)現(xiàn)，這些能夠體現(xiàn)多重數(shù)量關(guān)系的線段圖里所包含的數(shù)量關(guān)系，都是兩個單一數(shù)量關(guān)系的組合，當(dāng)然，若出現(xiàn)更復(fù)雜的問題也會包含更多個單一數(shù)量關(guān)系。這也說明線段圖可以幫助我們理清各類問題中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生分析各類問題都可以使用線段圖這個工具來分析題意，理清關(guān)系，突破問題的關(guān)鍵。

2.數(shù)量關(guān)系在線段圖中的形成

數(shù)學(xué)思維就是用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維活動形式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)問題的解決需要通過思維來實現(xiàn)，學(xué)生畫圖的過程既是學(xué)生思維活動的過程，同時也是數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過程。而對于一些已知條件比較多、關(guān)系比較復(fù)雜的問題，我們也可以將線段圖作為學(xué)生思考的媒介。

畫線段圖是從已有的數(shù)學(xué)信息出發(fā)，用線段來表示條件和問題，并用簡潔的文字、符號進(jìn)行一一對應(yīng)的標(biāo)注。

例如：甲數(shù)是5，乙數(shù)是甲數(shù)的3倍，丙數(shù)比乙數(shù)多4，丙數(shù)是多少？

畫法：根據(jù)“甲是5”，可以用一條線段來表示甲;“乙數(shù)是甲數(shù)的3倍”，那么表示乙數(shù)的線段就有

3條表示甲數(shù)的線段那么長;再根據(jù)“丙數(shù)比乙數(shù)多4”，知道表示丙數(shù)的線段比乙數(shù)長一些。同時將條件和問題準(zhǔn)確的填補上去（如右圖）。根據(jù)已有的數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系來作圖的，每畫一步都體現(xiàn)其中兩個量的關(guān)系，學(xué)生在作圖的過程中不知不覺感知其中的數(shù)量關(guān)系：“甲數(shù)×3=乙數(shù)”和“乙數(shù)+4=丙數(shù)”，并建構(gòu)出兩個關(guān)系之間的聯(lián)系：甲數(shù)×3+4=丙數(shù)，從而得出解決問題的思路。

3.教學(xué)實踐：

放手讓三年級的學(xué)生畫線段圖難度是比較大的，因此筆者在該部分以一問一答一畫的形式，讓學(xué)生說，教師板演畫圖的方式進(jìn)行執(zhí)教，為學(xué)生理清思路，感知不同的有關(guān)倍的問題中包含的幾個量的關(guān)系。

（1）第一次畫圖解決問題

【教學(xué)片段】

師：我們也來動手畫一畫，先畫什么？再畫什么？代表什么？

師：然后我們把信息標(biāo)上去，一般情況下表示具體的人數(shù)我們標(biāo)在線段的下面，“幾倍”表示兩個量之間的關(guān)系，我們標(biāo)在線段上面。

師：現(xiàn)在我們來從線段圖中來解決這個幾倍問題，你是怎么想的？（就是求12里面有幾個4）

（2）第二次畫圖解決問題

【教學(xué)片段】

師：3倍一定對嗎？我們是不是要來檢驗一下，我們再來畫畫線段圖。

師：先畫什么？再畫什么？一樣長的一段說明什么？為什么畫3段？

師：這樣看來我們求4的3倍就是求3個4是多少？

兩次畫圖體現(xiàn)并解決了有關(guān)倍的兩類問題：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，求一個數(shù)的幾倍是多少。本環(huán)節(jié)通過對前面的結(jié)果進(jìn)行質(zhì)疑，學(xué)生自然而然提出有關(guān)“求一個數(shù)的幾倍是多少”的問題，提出檢驗要求，使學(xué)生初步感受兩種問題之間存在著聯(lián)系。兩次畫圖，先畫都是“掃地的4人”，學(xué)生充分明白解決有關(guān)倍的問題第一要素是要找出“標(biāo)準(zhǔn)量”，體現(xiàn)對倍概念本質(zhì)的理解，再根據(jù)先畫已知條件再畫問題的方式來逐步畫出比較量和幾倍數(shù)，若已知比較量求幾倍數(shù)，則先畫比較量再標(biāo)注問題，若已知幾倍數(shù)求比較量，則先畫同樣長的幾段標(biāo)準(zhǔn)量的長度，再標(biāo)注問題。在這樣的過程中，讓學(xué)生感知標(biāo)準(zhǔn)量、比較量和幾倍數(shù)這三種量存在著一定的聯(lián)系。

（3）在比較中提煉數(shù)量關(guān)系

比較法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法，是思維發(fā)展的展現(xiàn)。讓學(xué)生對兩次畫的線段圖進(jìn)行觀察比較，找到它們的聯(lián)系和區(qū)別。

【教學(xué)片段：】

師：剛才我們因為要檢驗畫了第二幅線段圖，現(xiàn)在請你比較兩幅線段圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：兩幅圖中的三個量已知的變成未知，未知的變成已知，但他們的關(guān)系也沒有變。師：什么樣的關(guān)系？生1：擦桌椅的人數(shù)÷掃地的人數(shù)=3倍。生2：掃地的人數(shù)×3倍=擦桌椅的人數(shù)生3：掃地的人數(shù)看成1份，擦桌椅的人數(shù)里有若干個掃地的人數(shù)。

通過這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，學(xué)生能夠清楚的理解在有關(guān)倍的問題中有三種量：標(biāo)準(zhǔn)量（看作1份的量）、比較量（里面有若干個標(biāo)準(zhǔn)量的量）和幾倍數(shù)（表示另兩種量的倍比關(guān)系），這三種量之間有著固定的關(guān)系：即“比較量”里有“幾倍數(shù)”個“標(biāo)準(zhǔn)量”。

三、專項練習(xí)，豐富與倍有關(guān)的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)

練習(xí)是我們課堂上的一個重要組成部分，學(xué)生在鞏固對倍本質(zhì)的理解以及解決有關(guān)倍的問題都離不開練習(xí)這一基本活動。有效的練習(xí)不僅能使學(xué)生鞏固知識，發(fā)展學(xué)生的思維，也能有新的發(fā)現(xiàn)和運用，從而鞏固而豐富知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)。因此教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和將要實現(xiàn)的目標(biāo)設(shè)計一系列有效的練習(xí)。

【教學(xué)實踐】

1.獲取信息，編成應(yīng)用題。

課件出示情境圖（右圖），請學(xué)生選擇合適的信息，提出有關(guān)倍的問題，編成一道應(yīng)用題。

（1）獨立解決問題

（2）分析典型

①小鹿有18只，小猴有6只，小鹿的只數(shù)是小猴的幾倍？

②天鵝有8只，小兔的只數(shù)是天鵝的3倍，小兔有幾只？

（3）將信息填入線段圖中

請學(xué)生將兩題的信息填入空白信息的線段圖中

（4）分析解決問題

根據(jù)線段圖顯示的信息分析量與量之間的關(guān)系，理清關(guān)系，解決問題。

（5）對比兩幅線段圖

通過對比，發(fā)現(xiàn)兩組線段圖倍數(shù)關(guān)系一致，但一倍量不一樣。

本環(huán)節(jié)在教學(xué)過程中，有學(xué)生提出了這樣的問題：“小鹿有18只，天鵝有8只，小鹿的只數(shù)是天鵝的幾倍？”通過列式“18÷8=”，發(fā)現(xiàn)不能整除，這樣的問題超出了老師的預(yù)設(shè)，但我們不能進(jìn)行冷處理，而應(yīng)該有一定的教育機(jī)智，充分利用學(xué)生的課堂生成，通過追問來放大它的價值。這就是有余數(shù)除法，對于“18÷8=2……2”進(jìn)行追問兩個“2”分別是什么意思？引出“一個數(shù)是另一個的幾倍多或少幾”的問題，使學(xué)生感受到前面學(xué)習(xí)的有余數(shù)除法和“倍”的問題之間的密切聯(lián)系，并且感知兩種量的關(guān)系可以是倍比關(guān)系和差比關(guān)系共存。此外，用線段圖來表示他們的關(guān)系，讓學(xué)生深刻感知線段圖對于呈現(xiàn)量與量之間關(guān)系的強大功能性。

線段圖的分析是一種數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生將抽象的條件和問題轉(zhuǎn)化成形象的線段，能夠明確問題中的數(shù)量關(guān)系，這在教學(xué)“解決有關(guān)倍的問題”時起了很大的推進(jìn)作用，學(xué)生兩次畫圖，經(jīng)歷了數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過程，通過對比提煉數(shù)量關(guān)系，理清有關(guān)倍的問題中標(biāo)準(zhǔn)量、比較量和幾倍數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生能夠體會線段圖強大的工具性功能，為將來利用線段圖解決更復(fù)雜的問題做鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]人教版數(shù)學(xué)教師用書. [M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]鮑慶賀，線段圖在和差倍問題中的應(yīng)用[J].西部素質(zhì)教育.2015（13）：107

[4]師天龍，論小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中數(shù)量關(guān)系分析能力的培養(yǎng).2020（13）：145，147