基于核心素養(yǎng)的逆向教學(xué)設(shè)計課例“數(shù)列的概念”

摘?要：本著“以終為始”的逆向教學(xué)設(shè)計思路，從預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定倒推學(xué)生理解的表現(xiàn)證據(jù)，再著手設(shè)計教學(xué)活動幫助學(xué)生自然地理解核心概念。本課是人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修（2019版）第二冊第四章第一節(jié)，教學(xué)重點是數(shù)列的概念、表示方法及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。預(yù)設(shè)學(xué)生應(yīng)達(dá)目標(biāo)為通過觀察實例，初步形成數(shù)列的概念，能夠準(zhǔn)確辨析數(shù)組是否為數(shù)列;通過問題系統(tǒng)的引領(lǐng)，建立數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，并能對數(shù)列進(jìn)行簡單分類;了解數(shù)列幾種簡單的表示方法;培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);逆向教學(xué)設(shè)計;概念教學(xué)

為凸顯數(shù)學(xué)來源于生活并指導(dǎo)生活的實用性及時代特征，特安排班內(nèi)學(xué)習(xí)小組各上交一個生活中的“數(shù)列”例子，并在課堂上展示。通過“知”與“行”結(jié)合，一方面實現(xiàn)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;另一方面，培養(yǎng)學(xué)生形成正確的發(fā)展觀、價值觀，實現(xiàn)立德樹人目標(biāo)。

學(xué)生1：我有一本習(xí)題冊，每天做題1頁并記錄下完成頁碼。

學(xué)生2：我們每天上午跑操2圈，記下從本學(xué)期開學(xué)起按照日期把各天跑的圈數(shù)。

學(xué)生3：為防控新冠疫情，班級體溫檢測表上我每天早上的體溫數(shù)值。

學(xué)生4：從今天開始倒計時高考的天數(shù)，排成一個表每天劃消。

學(xué)生5：我們學(xué)校東邊快遞點每天收到的快遞數(shù)，按照日期記錄下來。

學(xué)生6：我爸爸炒股，記錄每個交易日大盤漲跌的點數(shù)。

教師：自2019年12月27日醫(yī)生張繼先上報中國第一例新冠疫情起，我國每日新增確診人數(shù)。

根據(jù)師生們提供的素材，設(shè)置問題組令學(xué)生小組合作探究。問題1：從數(shù)學(xué)的角度觀察思考，這些問題的答案有何共同特點？如果它們是某些“數(shù)列”，那么如何定義“數(shù)列”？如果認(rèn)為其中有的數(shù)組不是數(shù)列，又是什么原因？問題2：“千里之行始于足下”，任何一個數(shù)列都有第1項，若項的序號確定，則該項就是唯一確定的。你是否能聯(lián)想到某個相似的概念？請嘗試闡述二者的關(guān)系。問題3：觀察以上例子中項的變化特征，嘗試按照標(biāo)準(zhǔn)1：“遞增數(shù)列”、“遞減數(shù)列”、“常數(shù)列”、“擺動數(shù)列”進(jìn)行分類，再按照標(biāo)準(zhǔn)2：“有窮數(shù)列”與“無窮數(shù)列”進(jìn)行分類。問題4：哪些方式可以用來表示一個函數(shù)的自變量x與因變量y之間的對應(yīng)關(guān)系呢？數(shù)列部分又該如何表示呢？

通過學(xué)生展示、辨析與闡釋，師生達(dá)成共識。問題1抽象出“數(shù)列”的本質(zhì)特征：研究對象是數(shù)字且數(shù)字排列按照一定順序。教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中列涉及的各種名詞（項，首項，序號，項數(shù)及符號表示），將課本中提供的案例作為教學(xué)場景的擴(kuò)大。問題2提示學(xué)生聯(lián)系已有知識體系，感悟“函數(shù)”是本課的“大概念”，類比思考的對象數(shù)列其實是一種特殊的函數(shù)。問題3類比函數(shù)的單調(diào)性來對數(shù)列進(jìn)行分類;且分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類方式也不同。問題4利用以“舊”帶“新”、從一般到特殊的思考方式，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)三要素的角度思考，關(guān)注數(shù)列的表示方法，較為抽象的數(shù)列通項公式其實就是函數(shù)的解析式。而數(shù)列的其他表示方法（列表法、圖象法、遞推公式法）比較直觀，可以讓學(xué)生自學(xué)習(xí)得。

本環(huán)節(jié)看似只有四個思考問題，但在生生交流、師生交流中的不斷設(shè)問追問，整個問題系涉及十多個小問題，層層遞進(jìn)，遍布數(shù)列概念的內(nèi)涵與外延。這種探究模式意在培養(yǎng)學(xué)生“自學(xué)自問自答自悟自查”的學(xué)習(xí)方法。其中“自查”體現(xiàn)在“過程性自我評價”的模塊，它是“逆向教學(xué)設(shè)計”的一個主要特征，是指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自我了解的工具，有定位、提醒、鞭策、激勵的作用。評價的描述是按三個程度設(shè)計的，學(xué)生閱讀勾選符合的選項。

【過程性評價1】

①可感知哪些數(shù)組是數(shù)列，但無法準(zhǔn)確概括數(shù)列概念的要點，無法建立數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，在數(shù)列分類時有模糊的地方。

②可闡述數(shù)列概念，初步感知數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，但還不能熟練使用術(shù)語、符號描述涉及的數(shù)據(jù)及關(guān)系，可以對給定數(shù)列進(jìn)行正確分類，但耗費時間較長。

③能理解并闡述數(shù)列概念的要點，理解數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，能熟練使用術(shù)語、符號描述案例涉及的數(shù)列及分類標(biāo)準(zhǔn)，可以快速準(zhǔn)確的對給定數(shù)列進(jìn)行分類。

為使學(xué)生順利將數(shù)列這一新概念及符號納入已有知識網(wǎng)絡(luò)、夯實運算基礎(chǔ)，將課本中的例題1（根據(jù)給定數(shù)列的通項公式寫出前5項，并畫出圖象）、例題2（根據(jù)給定數(shù)列的前4項，再寫出數(shù)列的一個通項公式）與例題3（給定一個數(shù)列的通項公式，試判斷某個數(shù)字是否為該數(shù)列中的項），采用“開火車”的游戲進(jìn)行練習(xí)與批改。該環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，即小學(xué)初中“找規(guī)律”的延伸，將所找規(guī)律用數(shù)學(xué)的符號語言概括出來，這正是“用數(shù)學(xué)的觀點、手段認(rèn)識、表達(dá)世界”的要求。教師追問：是否所有的數(shù)列都有自己的通項公式？如果一個數(shù)列有通項公式，那么通項公式的形式是唯一的嗎？學(xué)生已經(jīng)可以輕松作答。

【過程性評價2】

①在老師或同學(xué)的提示下能理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可簡單運用某種數(shù)列的表示方法，尚難以自如選擇合適的方法。

②知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能以函數(shù)的觀點理解數(shù)列的通項公式的意義;可以選擇合適的表示方法來表示數(shù)列。

③知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能以函數(shù)解的觀點來理解數(shù)列的通項公式的意義，并能用于解決問題、用數(shù)學(xué)的語言闡釋原理;可以多角度、辯證的理解數(shù)列表示方法的多樣性及優(yōu)劣，選擇合適的方法。

本課尾聲設(shè)計一個半開放情境：現(xiàn)階段中國在抗擊新冠疫情的戰(zhàn)斗中取得了輝煌成就，我們的黨和國家領(lǐng)導(dǎo)人匯集多方面專業(yè)人士的智慧，及時號召全民帶口罩出行、減少聚集甚至封城等舉措，極大的降低了病毒傳染速度和數(shù)量，為世界抗疫率先垂范。試想當(dāng)初如果沒有這些舉措，1個病毒感染者平均傳染個健康人，那么每日新增確診人數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，會是什么？累計確診人數(shù)又會是多少？累計確診人數(shù)相當(dāng)于數(shù)列問題中的什么要素呢？請各小組選擇不同的值，通過今天所學(xué)的知識，來談?wù)勛约旱母邢搿?/p>

教師點評：人類歷史浩渺如海，新冠疫情僅是滄海一粟，只要我們運用科學(xué)與智慧必將戰(zhàn)勝困難。所有一切詆毀抹黑中國抗疫措施的言論，在血淋淋的病患、病亡數(shù)字面前是多么不堪一擊。愿同學(xué)們學(xué)以致用，發(fā)揚年輕人的使命感、民族自豪感，成長為不懼艱險、敢為天下先的棟梁之才。

參考文獻(xiàn)：

[1]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格?.追求理解的教學(xué)設(shè)計（第二版）[M]/上海：華東師范大學(xué)出版社2017-03-01.

作者簡介：馬燕麗（1983-），女，漢，山東青島人，中學(xué)二級教師，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)逆向教學(xué)設(shè)計